Flexão Composta Normal - Resistência dos Materiais II

15102021 1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Prof MSc Paulo Cesar Rodrigues RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Unidade 4 Flexão Composta Normal 41 Introdução Até o presente momento estudamos os esforços internos esforço normal esforço cortante torção e flexão separadamente como se cada um deles atuasse individualmente sobre uma peça Entretanto na prática constatase que na maioria dos casos dois ou mais esforços atuam ao mesmo tempo em uma mesma peça Nesta unidade passaremos a estudar um destes casos qual seja a combinação da flexão com o esforço normal Cabe ressaltar que o presente estudo é válido tanto para a flexão pura quanto para a flexão simples bem como para os esforços normais de tração e de compressão independentemente destes serem produzidos por um único carregamento ou por carregamentos distintos conforme ilustrado abaixo Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0252 15102021 2 a Flexão vertical Mz Esforço normal de tração Fx b Flexão vertical Mz Fy x Flexão horizontal My Fz x Esforço normal de tração Fx Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0352 Figura 402 M z z M Fx x F z Figura 401 x F y F Fz x Seção S z c Flexão vertical Mz Fx ey Esforço normal de tração Fx d Flexão vertical My Fx ez Esforço normal de tração Fx Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0452 Figura 403 Figura 404 15102021 3 e Flexão vertical Mz Fx ey Flexão horizontal My Fx ez Esforço normal de tração Fx Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0552 Figura 405 42 Classificação da flexão O estudo das tensões na flexão se inicia pela classificação da flexão A flexão é classificada de acordo com dois critérios 1 Classificação da flexão de acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos centrais de inércia da seção 2 Classificação da flexão de acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor 421 Classificação da flexão de acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos centrais de inércia da seção Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0652 15102021 4 a Flexão Normal Quando o plano do momento contém um dos eixos centrais de inércia da seção Na figura 406 o par de eixos centrais de inércia é constituído pelos eixos z e y Nas figuras a o plano do momento contém o eixo z e b o plano do momento contém o eixo y Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0752 b a z M y M Figura 406 Flexão normal b Flexão Oblíqua Quando nenhum dos eixos centrais de inércia da seção está contidos no plano do momento Na figura 407 o plano do momento está inclinado em relação ao par de eixos centrais de inércia da seção Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0852 Figura 407 Flexão oblíqua 15102021 5 422 Classificação da flexão de acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor Com este critério a flexão pode ser a Flexão Pura Quando o momento fletor é o único esforço solicitante que atua na seção M 0 V 0 N 0 b Flexão Simples Quando além do momento fletor atua uma força cortante na seção M 0 V 0 N 0 c Flexão Composta Quando além do momento fletor atua uma força normal na seção M 0 V 0 N 0 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0952 Classificação da flexão de acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1052 Flexão Flexão Simples M 0 V 0 N 0 Se V 0 Flexão Pura Normal ou Reta Oblíqua Flexão Composta M 0 V 0 N 0 Se V 0 Tração ou compressão excêntrica Normal ou Reta Oblíqua 15102021 6 43 Seções transversais com flexão composta normal 431 Seções transversais com carga axial centrada e momento fletor A flexão composta normal ocorre quando na seção transversal por exemplo de uma viga os esforços solicitantes são o momento fletor a força cortante e o esforço normal com a restrição do plano de ação do momento fletor conter um dos eixos centrais de inércia da seção transversal Observe que a força cortante pode ser igual ou diferente de zero e que a carga axial que origina a força normal deve ser aplicada no centro de gravidade da seção transversal centrada Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1152 Tensões normais Seja o exemplo de uma barra de seção transversal retangular figura 408 por simplicidade As tensões normais devidas a Mz e Nx tem mesma direção e portanto podem ser somadas algebricamente Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1252 Figura 408 Distribuição das Tensões Normais z y y y x xc xt LN LN x x A A B B Distribuição das tensões normais devido a Nx Distribuição das tensões normais devido a Mz Mz Nx 15102021 7 Lembrando que no caso do momento Mz girar a seção em torno do eixo z a tensão em cada ponto da seção pode ser determinada por Observese ainda que a presença de uma força cortante não irá alterar a tensão normal desenvolvida nos pontos da seção Sabendose que a força normal Nx desenvolve em cada ponto da seção uma tensão normal é possível concluir que a tensão normal resultante existente em uma flexão composta é o resultado da soma vetorial entre a tensão normal desenvolvida pelo momento Mz e a tensão normal desenvolvida pela força normal Nx Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1352 A Nx x y I M z z x 401 402 Assim para os esforços apresentados na figura 408 momento fletor em torno do eixo z Mz e uma força normal axial Nx na direção de x neste caso de tração figura 409 a tensão resultante em cada ponto na flexão composta fica Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1452 z y y y y x xc LN x xt xtB xcA y LN LN Tensão normal extrema de compressão Tensão normal extrema de tração x x A A B B Distribuição das tensões normais devido a Nx Distribuição das tensões normais devido a Mz y I M A N z z x x A y I M A N z z x x B Figura 409 Distribuição das Tensões Normais 15102021 8 Observações 1 As expressões 401 e 402 mostram que a resultante da tensão normal em cada ponto é o resultado da soma algébrica entre a tensão normal desenvolvida pelo momento fletor e a tensão normal desenvolvida pela força normal 2 Nos pontos que se encontram sobre o eixo em torno do qual a seção gira pelo momento a tensão normal resultante não é igual a zero A tensão normal resultante será nula nos pontos de uma linha paralela a este eixo Assim em uma flexão normal composta a linha neutra será um segmento de reta paralelo ao eixo em torno do qual a seção gira Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1552 3 Para determinar a posição desta linha neutra se deve lembrar que quando o momento gira a seção em torno do eixo z a tensão normal resultante deve ser igual a azero σ 0 portanto 4 Quando o momento gira a seção em torno do eixo y a posição da linha neutra é dada por Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1652 z z x z z x x M I A N y y I M A N 0 y y x y y x x M I A N z z I M A N 0 405 406 15102021 9 Exercícios 1 Para o elemento mostrado na figura cuja seção transversal é retangular determine o diagrama das tensões normais que a carga produz na seção S Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1752 S A B C D VA HA VB 125 sen α 125 cos α VB sen α VB cos α 4 m 2 m 15 m α α α Solicitações internas na seção S Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1852 16 45 kN 0 97 59 0 6 125 0 6 0 0 6 125 0 6 0 2193 kN 0 97 59 0 8 100 0 0 8 125 0 8 0 97 59 kN 0 0 9 4 8 56 25 500 0 0 6 15 0 8 6 125 0 8 5 125 0 6 0 75 0 H H V H F V V V V F V V V V V M A A B A H A A B A V B B B B B A 0 6 5 2 5 1 0 8 2 5 2 sen cos 2m 15m α 15102021 10 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1952 32 895 kNm 0 2193 15 0 2193 kN 0 2193 0 16 45 kN 0 16 45 0 M M M V V F N N F C V H 2193 kN 1645 kN S V N M 15 m A B C D Componentes das tensões Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2052 132MPa 132kNcm 0 01316 25 5 45 16 2 A N x x 6316 MPa 316 kNcm 6 6 31585 4 12 5 6510 5 3289 6316 MPa 316 kNcm 6 6 31585 4 12 5 6510 5 3289 2 2 y I M y I M tx z z tx cx z z cx A B C 132 MPa x 16 MPa 63 cx 16 MPa 63 tx 15102021 11 Superposição das tensões Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2152 6184 MPa 6316 132 na borda inferior CD Tensão 64 48 MPa 6316 132 na borda superior AB Tensão y I M A N y I M A N z z x z z x 6448 MPa x 84 MPa x 61 2 Para a barra mostrada na figura determinar o diagrama das tensões normais e das tensões de cisalhamento Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2252 Seção circular diâmetro de 40 cm 15102021 12 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2352 DEC kN DMF kNm DEN kN Diagrama das tensões normais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2452 3183 MPa 0 3183 kNcm 0 318309 7 20 125663 2000 3183 MPa 0 3183 kNcm 0 318309 7 20 125663 2000 0 239 MPa 0 0239 kNcm 0 023873 6 1256 30 1256 6 cm 1256 637 20 125663 7 cm 125663 706 64 40 64 kN 30 2000 kNcm kNm 20 2 2 2 2 2 2 4 4 4 y I M y I M A N r A d I N M z z tx z z cx x z y 40 cm 15102021 13 Diagrama das tensões normais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2552 2 944 MPa 3183 239 0 3 422 MPa 3183 239 0 y I M A N y I M A N z z ix z z sx Posição da LN 1 5 cm 0 7 125663 2000 6 1256 30 y y ix z y 40 cm x 0239 MPa 183 MPa tx 3 183 MPa 3 cx ix 2944 MPa 3422 MPa sx LN 15 cm A M N I y A N y I M y I M A N z z z z z z ix 0 Diagrama das tensões tangenciais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2652 0106 MPa 0 0106 kNcm 0 01061 7 40 125663 5333 3 10 cm 40 5333 3cm 3 20 2 3 2 3 4 2 1256 6 cm 1256 637 20 125663 7 cm 125663 706 64 40 64 kN 10 2 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 t I Q V d t r r r y A Q r A d I V máx 3 4 r y z y 40 cm y z y 40 cm 106 MPa máx 0 15102021 14 Solicitações internas na seção aa Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3052 4m 3m 0 0 8 0 0 0 6 20 0 0 0 8 0 3 0 6 4 20 1 0 F H F F V F F F M BD C C BD C V BD BD C 0 6 5 3 0 8 5 4 sen cos VC HC FBD 20 kN 030 m FBD sen α FBD cos α α α Solicitações internas na seção aa Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3152 6 06 kN 0 58 0 8 7 15 45 kN 0 7 58 0 6 20 7 58 kN 0 0 8 0 3 0 6 4 1 20 H H V V F F F C C C C BD BD BD 10 45 kNm 0 10 1 0 5 15 45 1 0 5 45 kN 0 15 45 10 1 0 6 06 kN 0 606 0 M M M V V F N N F S V H 606 kN 10 kNm 1545 kN 15102021 15 432 Seções transversais com força axial excêntrica Ocorre quando a força axial F aplicada num ponto sobre o eixo central de inércia y à distância e do centro de gravidade da seção transversal produz uma flexão composta normal com Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3252 P e M P N e Figura 410 F P e e F P M y A B z x x Distribuição das tensões normais para o carregamento excêntrico Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3352 Figura 411 A N x y I M cx y I M tx Tensão normal extrema de tração no ponto A Tensão normal extrema de compressão no ponto B x x y I M A N x B y I M A N x A 15102021 16 Exercícios Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3452 1 O elo aberto de uma corrente de aço tem as dimensões mostradas na figura Supondo uma força de tração na corrente de 750 N pedese determinar para a seção média do elo a máxima tensão de tração e compressão e a distância da linha neutra em relação ao ponto central da seção Seção média do elo Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3552 1 2 kNcm 1200 Ncm 16 750 N 750 P d M N d 16 cm seção média N 15102021 17 Tensões normais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3652 70 73 MPa 7 073 kNcm 7 07269 1018 0 6 0 2 1 70 73 MPa 7 073 kNcm 7 07269 1018 0 6 0 2 1 6 63 MPa 0 663 kNcm 0 66312 131 1 75 0 2 2 2 y I M y I M A N z z B x z z A x x A B 4 4 4 2 2 2 01018 cm 0101787 64 2 1 64 1131 cm 113097 6 0 d I r A y z 12 cm A B Diagrama das tensões normais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3752 6410 MPa 70 73 63 6 77 36 MPa 70 73 63 6 y I M A N y I M A N z z B x z z A x Posição da LN 0 056 cm 0 0562 0 1018 0 2 1 131 1 0 75 y y 6410 MPa A B 15102021 18 2 A viga indicada na figura é de ferro fundido e tem tensões admissíveis de 30 MPa à tração e de 120 MPa à compressão Determinar a maior força P que pode ser aplicada à seção transversal da viga distante 14 mm da parte inferior Para a seção transversal T ycg 44 cm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3852 P P l 96 mm 12 mm 12 mm 48 mm Tensões extremas nas bordas A e B Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3952 c z z z z B x t z z z z A x y I M A N y I M A N y I M A P y I M A N e P x e P M x 96 mm 12 mm 12 mm 44 mm 16 mm 48 mm 14 mm y z 4 2 cm 47 28 cm 17 zI A x x ty cy 15102021 19 Borda A Borda B Verificação Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4052 67 87 kN 3 0442 0 3 01021 0 0579 47 16 3 17 28 3 P P P P P P y I M A P t z z A x 35 42 kN 12 3388 0 12 0 2809 0 0579 4 4 47 3 17 28 12 P P P P P P y I M A N c z z B x 3 kNcm Ok 157 kNcm 0 0442 35 42 35 42 kN Para 3 kNcm Ok 3 kNcm 2 999 0 0442 67 87 67 87 kN Para 3 kNcm 0442 0 2 2 2 2 2 P P P adm A x adm A x adm A x Portanto P 3542 maior força P que pode ser plicada à seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4152 12 kNcm Ok 12 kNcm 0 3388 35 42 35 43 kN Para 12 kNcm Não Ok 22 99 kNcm 0 3388 67 87 67 87 kN Para 12 kNcm 3388 0 2 2 2 2 2 P P P adm B x adm B x adm B x 15102021 20 433 Flexão composta normal em pilares com carga excêntrica Na figura 412 mostra o caso em que o carregamento do pilar é axial ou centrado na mesma direção do eixo do pilar passando pelo centro de gravidade da seção transversal e normal ao plano desta seção Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4352 Figura 412 Pilar com carga centrada Porém a carga pode estar aplicada fora do centro de gravidade da seção transversal Neste caso o carregamento é dito excêntrico dando origem ao esforço de flexão figura 413 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4452 Figura 413 Pilar com carga excêntrica 15102021 21 Neste caso o estudo da flexão normal composta deve ser feito com todas as cargas aplicadas no centro de gravidade da seção transversal Portanto deve haver uma transferência das cargas excêntricas para este ponto e é feita da seguinte maneira A transferência da carga P do ponto de aplicação A até o CG dá origem a um momento M igual ao produto da carga pela distância entre estes dois pontos Então na flexão composta se analisa o 2º caso onde a carga P dá origem ao esforço normal e o momento M dá origem ao esforço de flexão Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4552 Exercícios 1 Uma força de 40 kN é aplicada à borda do pilar Despreze o peso próprio do pilar e determine o estado de tensão nos pontos A B C e D Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4652 10 cm 10 cm 6 cm 6 cm 40 kN B A y z x 15102021 22 Tensões normais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4752 400 kNcm 10 40 kN 40 z x M N N x x N40kN N40kN Mz400kNcm B A B A y z Distribuição da tensão normal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4852 167 MPa 167kNcm 0 01666 20 12 40 2 A N x x 5 MPa 0 5 kNcm 8000 10 400 5 MPa 0 5 kNcm 8000 10 400 2 2 y I M y I M z z B x z z A x B A B A 167 MPa x x x 5 MPa x A x B 5 MPa 3 3 8000 cm 12 12 20 zI 15102021 23 Resultante da distribuição da tensão Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4952 6 67 MPa 5 67 1 3 33 MPa 5 67 1 y I M A N y I M A N z z B x z z A x 333 cm 240 40 8000 400 0 8000 400 240 40 0 y y y y I M A N z z A x B A x 333 MPa x A 667 MPa x B 333 cm Regiões sombreadas são comprimidas Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flexão Composta Normal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5052 LN y y y z z z 333 cm A D C B A D C B A D C B t c c t c