Flambagem e Estabilidade em Estruturas

26112021 1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Prof MSc Paulo Cesar Rodrigues RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Unidade 6 Flambagem Parte 01 61 Introdução Em todas as construções as peças componentes da estrutura devem ter geometria adequada e definida para resistirem às cargas forças peso próprio ação do vento impostas sobre elas Neste sentido a seleção dos elementos estruturais de uma estrutura se baseia nas três seguintes características Resistência Rigidez Estabilidade Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0234 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 26112021 2 Se um elemento em compressão for relativamente esbelto figura 601 ele pode defletir lateralmente e falhar por flexão em vez de falhar por compressão direta do material Exemplos Pilares ou colunas de edifícios Flambagem de elementos com paredes finas silos Flambagem de placas sob tensões de compressão Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0334 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem Figura 601 a Coluna biarticulada sob carregamento axial b Coluna flambada biaticulada a b 62 Flambagem e estabilidade No projeto de colunas a área da seção transversal era determinada visando a sua resistência e rígidez tal que a a tensão admissível não fosse excedida b a deformação estivesse dentro das especificações Elementos longos e esbeltos sob compressão pode fletir lateralmente e falhar por flexão Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0434 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem adm A P Ladm E A P L L 601 602 26112021 3 Agora estaremos preocupados também com a sua estabilidade isto é que a coluna não venha a flambar fletir lateralmente sob a ação do carregamento a que está submetido Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0534 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem Estabilidade de uma estrutura é a capacidade desta suportar uma carga sem sofrer mudanças bruscas em sua configuração Figura 602 a Coluna biarticulada sob carregamento axial b Coluna flambada biaticulada 621 Estrutura idealizada ou modelo de flambagem Considere o modelo com duas barras e uma mola de torção figura 603 O carregamento P atua no eixo vertical das barras causando apenas compressão Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0634 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem Figura 603 Modelo de coluna feito com duas barras rígidas conectadas em C por uma mola de torção perfeitamente alinhada 26112021 4 Se a estrutura for perturbada de forma que o ponto C movase lateralmente as barras irão girar de pequenos ângulos θ e um momento é desenvolvido na mola figura 604 Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0734 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem O momento tende a retornar a estrutura para sua posição reta enquanto que a força tende a aumentar o deslocamento lateral Figura 604 a Modelo de coluna em posição de flambagem b diagrama de corpo livre da barra AC a b 622 Estrutura estável e estrutura instável Estrutura estável quando a força perturbadora for removida a estrutura irá retornar a sua posição reta inicial ou seja a ação do momento restaurador predomina sobre a ação da força axial P Estrutura instável quando a força axial for grande o deslocamento do ponto C irá aumentar até que a estrutura entre em colapso ocorrendo falha por flambagem lateral Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0834 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 26112021 5 623 Carregamento crítico É um valor para a força axial correspondente a transição entre as condições estável e instável Momento da mola Momento da carga P sendo K constante da mola sen θ θ Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0934 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 2 k MC 2 2 L P P L sen M P 2θ Figura 605 Diagrama de corpo livre da barra em posição desalinhada 603 604 O valor da carga para o qual os dois momentos se equilibram é chamado de carga crítica designado por Pcr Se P Pcr estrutura estável Se P Pcr estrutura instável Se P Pcr equilíbrio neutro carga crítica Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1034 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem L k P L P k M M cr cr P C 4 2 2 605 26112021 6 63 Fórmula de Euler para colunas biarticuladas Através do estudo do suíço Leonard Euler 1707 1783 determinouse a fórmula da carga crítica nas peças carregadas axialmente Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1134 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem Hipóteses coluna ideal carga vertical aplicada no centróide da seção a coluna é perfeitamente reta material elástico linear que segue a lei de Hooke Figura 602 a Coluna biarticulada sob carregamento axial b Coluna flambada biaticulada 2 2 L E I Pcr 606 631 Tensão crítica Definese a tensão critica através da relação entre a carga crítica e a área da seção transversal da coluna Temse então Substituindo Pcr na equação 607 temos O raio de giração é dada pela expressão Substituindo a equação 609 em 608 Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1234 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem A Pcr cr 2 2 L A I E A Pcr cr A I r A I r 2 2 2 2 2 2 r L E A I L E cr 607 608 609 610 26112021 7 A relação Lr é chamada índice de esbeltez da coluna λ Portanto a equação da tensão crítica fica onde λ Lr é o índice de esbeltez da coluna e r o raio de giração deve ser para Imin Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1334 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 2 2 E cr 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 E r L E r L E r L E cr 611 Exercícios Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1434 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 1 Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal quadrada deve ser feita de madeira Considerando E 130 GPa σadm 12 MPa e usando um coeficiente de segurança de 25 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem determine a dimensão da seção transversal se a coluna suportar com segurança uma força de 100kN e uma força de 200 kN a a 2 m P 26112021 8 Dimensões para força P 100 kN Verificação da tensão normal admissível Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1534 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 10 cm 9 8341 12 779 4 12 12 779 4 cm 393 779 1300 200 250 250 kN 5 100 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 I a a I I cs P P E L P I L E I P cr cr cr 12 MPa Ok 10 MPa 1kNcm 10 10 100 2 adm cr A P 5 2 1300 kNcm 13000 MPa GPa 130 1 2 kNcm MPa 12 kN 100 2 2 adm cs s E P Dimensões para força P 200 kN Verificação da tensão normal admissível Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1634 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 12 cm 116948 12 1558 8 12 12 1558 8 cm 787 1558 1300 200 500 500 kN 5 200 2 4 4 4 4 2 2 2 2 I a a I E L P I cs P P cr cr 12 MPa Não Ok 13 9 MPa 139 kNcm 13888 12 12 200 2 adm cr A P 13 cm 12 9112 cm 166 7 166 7 cm 166 666 12 200 2 2 a a P A adm cr 26112021 9 2 Um tubo de aço A36 com 72 m de comprimento e a seção transversal mostrada na figura deve ser usado como uma coluna presa por dois pinos na extremidade Determinar a carga axial admissível máxima que a coluna pode suportar sem sofrer flambagem Usar Eaço 200 GPa e σaço 25 kNcm2 Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1734 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 72 m 70 mm 75 mm Carga axial admissível máxima Pcr Verificação da tensão normal admissível Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1834 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 228 2 kN 1965 228 720 599 3 20000 599 3cm 599 3078 4 0 7 4 5 7 2 2 4 4 4 2 2 P I I I L E I P cr v c cr 2 2 aço 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 25 kNcm cm 720 E L 25 kNcm Ok 9 965 kNcm 9 22 2 228 22 8cm 7 0 5 7 2 2 2 2 2 2 2 adm cr i e A P r r A 26112021 10 3 O elemento estrutural W200 x 46 de aço A36 mostrado na figura deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe Usar Eaço 200 GPa e σaço 25 kNcm2 Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1934 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 4 m Ix 455x106 mm4 4550 cm4 Iy 153x106 mm4 1530 cm4 Área 589 cm2 Maior carga axial Pcr Verificação da tensão normal admissível Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2034 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 1887 6 kN 5618 1887 400 1530 20000 cm 1530 cm 4550 2 2 4 4 2 2 P I I I I L E I P cr y x min cr 2 2 aço 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 25 kNcm cm 400 E L 25 kNcm Não Ok 32 05 kNcm 90 58 1887 6 2 2 adm cr A P 1472 5 kN 25 58 90 A P aço cr 26112021 11 4 Determinar a A carga crítica para a coluna de alumínio b A dimensão d para que a coluna de aço tenha a mesma carga crítica Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2134 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 18 m 18 m Aço E 200 GPa Alumínio E 70 GPa 25mm a Carga crítica para a coluna de alumínio Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2234 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 6 94 kN 9407 6 180 3 255 7000 3 255 cm 3 255208 12 5 2 12 7000 kNcm 70000 MPa GPa 70 2 5 cm 25 mm 180 cm 8 m 1 2 2 4 4 4 2 2 2 P a I L E I P E a L cr cr 18 m Alumínio E 70 GPa 25mm 26112021 12 b Dimensão d para que a coluna de aço tenha a mesma carga crítica Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2334 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 18 m 18 m Aço E 200 GPa Alumínio E 70 GPa 25mm 192 mm 92 cm 1 192 cm 192276 12 1139 12 12 1139 cm 139133 1 20000 94 180 6 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 94 kN 6 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d I d d I E L P I E L P I L E I P E P P d cr cr cr cr alumínio aço cr 5 Determinar a A carga crítica para a coluna quadrada com as extremidades articuladas b O raio da coluna redonda para que ambas as colunas tenham a mesma carga crítica Usar E 200 GPa Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2434 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 1 m 1 m 30 mm 26112021 13 a Carga crítica para a coluna quadrada Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2534 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 133 24 kN 23965 133 100 6 75 20000 6 75 cm 12 3 12 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 3cm 30 mm 100 cm 0 m 1 2 2 4 4 4 2 2 2 P d I L E I P E d L cr cr 1 m 30 mm b O raio r da coluna redonda para que ambas as colunas tenham a mesma carga crítica Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2634 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 1 m 1 m 30 mm mm 171 342 mm 42 cm 3 3 4243 64 6 75 64 64 6 75 cm 750017 6 20000 24 100 133 24 kN 133 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 r d I d d I E L P I E L P I L E I P P P r cr cr cr cr quadrada redonda cr 26112021 14 6 Um elemento comprimido com comprimento de flambagem de 15 m consiste de uma barra de seção maciça de latão com diâmetro igual a 30 mm Para reduzir o peso do elemento em 25 a barra de seção maciça é substituída por uma barra vazada como a seção transversal mostrada da figura Determinar a porcentagem de redução da carga crítica Usar E 105 GPa Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2734 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem Porcentagem de redução da carga crítica Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2834 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 6 23 100 31 18 18 31 1717 P P P m cr cr v crm 1717 kN 17047 17 150 3 728 10500 3 728 cm 3 72757 64 5 1 64 3 64 64 18 31 kN 31272 18 150 3 976 10500 3 976 cm 3 97607 64 3 64 10500 kNcm 105000 MPa GPa 105 2 2 4 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 P d d I L E I P P d I L E I P E v cr i e v cr m cr m cr 26112021 15 7 Uma coluna de comprimento de flambagem L pode ser feita colandose pranchas idênticas em um dos arranjos mostrados na figura Determine a relação entre as forças críticas calculadas usando o arranjo a e o arranjo b Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2934 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3034 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 324 19 324 18 324 18 12 27 12 3 2 12 3 12 3 2 12 1 12 4 4 4 4 4 3 4 3 3 4 4 2 2 2 2 d d d d d I d d d d d d d I d d I I I L E I L I E P P h h q h q h q h cr q cr 1421 19 27 19 324 12 324 19 12 4 4 4 4 d d I I d d I I h q h q 26112021 16 8 Duas barras de latão usadas como barras comprimidas cada uma delas com 18 m de comprimento efetivo tem as seções transversais mostradas na figura Usar E 105 GPa Determine a a espessura da parede da barra vazada quadrada para que as barras tenham a mesma área da seção transversal b a carga crítica para cada barra Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3134 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 50 mm 75 mm 75 mm a A espessura da parede da barra vazada quadrada para que as barras tenham a mesma área da seção transversal Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3234 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 9 35 mm 2 56 3 75 2 563 mm 5 63 cm 5 6308 706 31 31706 7063 31 2 5 375 75 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h h e h h r r h h h h r r h h r r A A i e i i i e e i i e i e i e i e quadrado circular 50 mm 75 mm he 75 mm hi ri re 26112021 17 b A carga crítica para cada barra Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3334 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 575 56 kN 5574 575 180 179 947 10500 179 947 cm 12 63 5 12 5 7 12 12 119 81 kN 80557 119 180 37 457 10500 37 457 cm 64 0 7 64 5 7 64 64 10500 kNcm 105000 MPa GPa 105 2 2 4 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 2 2 2 P h h I L E I P P d d I L E I P E quadrada cr i e quadrada cr circular cr i e circular cr Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3434 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem