Projeto de Vigas: Introdução e Diagrama de Esforço Cortante

30092021 1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Prof MSc Paulo Cesar Rodrigues RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Unidade 3 Projeto de Vigas 31 Introdução Projetar uma viga é verificar de que maneira devemos escolher o material a forma e as dimensões da seção transversal de uma dada viga de modo que ela não venha a falhar devido a um dado carregamento Considerase vigas prismáticas vigas retas com uma seção transversal constante e seu projeto depende inicialmente da determinação dos maiores valores de momento fletor e esforço cortante gerados na viga por um dado carregamento As vigas também devem ser projetadas contra a flambagem pode ocorrer em vigas que não são adequadamente restringidas no sentido de impedir o movimento lateral Vamos assumir que todas as vigas serão contraventadas e a instabilidade lateral não é possível de ocorrer Em alguns casos as vigas tem de ser projetadas para resistir a uma quantidade limitada de deflexão Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0246 30092021 2 32 Diagrama de esforço cortante e momento fletor As cargas aplicadas resultam em forças internas consistindo de esforço cortante e momento fletor gerando tensões de cisalhamento e tensões normais respectivamente A determinação dos maiores valores do esforço cortante e do momento fletor e as correspondentes seções críticas da viga é facilitada se desenhamos um diagrama de esforço cortante e momento fletor representando respectivamente a variação do esforço cortante V e do momento fletor M ao longo da viga O esforço cortante e o momento fletor em um determinado ponto de uma viga é encontrado passando uma seção Método da Seção através do ponto desejado e aplicandose as equações de equilíbrio da estática para o trecho cortado à esquerda ou à direita da seção figura 301 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0346 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0446 Figura 301 Análise de uma viga biapoiada 30092021 3 33 Relações entre carga força cortante e momento fletor Quando uma viga suporta várias cargas concentradas e cargas distribuídas o método da seção para representar graficamente forças cortantes e momentos fletores pode ser muito complicado A construção do diagrama do esforço cortante e do momento fletor pode ser bastante facilitada se certas relações existentes entre carga esforço cortante e momento fletor forem levadas em consideração Seja a viga simplesmente apoiada figura 302 suportando uma carga p por unidade de comprimento e sejam C e C duas seções da viga separadas por uma distância Δx O esforço cortante e o momento fletor em C serão designados V e M respectivamente e serão supostos positivos Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0546 Agora destacamos a parte CC da viga e traçaremos seu diagrama de corpo livre figura 303 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0646 p pΔx p Figura 303 Diagrama de corpo livre do elemento Figura 302 Viga biapoiada sujeita a força distribuída com um pequeno elemento entre C e C 30092021 4 331 Relações entre carga e o esforço cortante Escrevendo que a soma das componentes verticais das forças que atuam no corpo livre CC é zero obtemos Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0746 x p V x p V V V x p V V V 0 0 p pΔx Figura 303 Diagrama de corpo livre do elemento Dividindo ambos os lados da equação por Δx e fazendo Δx tender a zero temos Se a equação acima for reescrita na forma e integrando entre dois pontos B e D quaisquer na viga temos Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0846 p dx dV p dx V V ΔV C D Variação no esforço cortante área sob o diagrama de carregamento p dx dV p x V lim p x V x x p x V x p V x 0 Inclinação no diagrama de esforço cortante intensidade da carga distribuída 30092021 5 332 Relações entre força cortante e momento fletor De acordo com o diagrama de corpo livre da figura 303 e escrevendo que a soma dos momentos em relação a C é zero obtemos Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0946 p pΔx 2 2 1 0 2 0 2 x p x V M x x p x V M M M x x p x V M M M Figura 303 Diagrama de corpo livre do elemento Dividindo ambos os lados da equação por Δx e fazendo Δx tender a zero temos Se a equação acima for reescrita na forma e integrando entre dois pontos B e D quaisquer na viga temos Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1046 V dx dM V dx M M ΔM C D Variação no momento fletor área sob o diagrama de esforço cortante V dx dM x p V lim x M lim x p V x M x x 2 1 2 1 0 0 Inclinação no diagrama de momento fletor esforço cortante 30092021 6 Exemplo Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1146 34 Tensões normais e de cisalhamento Para material homogêneo e elástico linear Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1246 y I M z z Fórmula de Flexão Fórmula de Cisalhamento t I Q V z Figura 304 Distribuição das tensões de flexão e de cisalhamento para uma seção transversal retangular z 30092021 7 341 Tensões normais máximas As tensões normais máximas por exemplo para uma seção retangular figura 305 ocorrem nos pontos mais distantes da linha neutra LN c c1 e c c2 usando a equação 1 ou y c1 e y c2 usando a equação 2 na seção onde o momento fletor é máximo Mmáx Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1346 y I M c I M z máx máx z máx máx ou σmáxc σmáxt y c LN Mmáx σ c1 yt c2 yc Figura 305 1 2 342 Tensões de cisalhamento máximas Para os tipos mais comuns de viga vigas com seção retangular figura 306 perfil I e perfis de abas largas as tensões de cisalhamento máximas ocorrem na linha neutra LN y 0 e na seção onde a força cortante é máxima Vmáx Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1446 t I Q V z máx máx y τ LN Figura 306 c2 yc c1 yt 30092021 8 35 Projeto de vigas prismáticas O projeto de uma viga prismática depende essencialmente do valor absoluto máximo do momento fletor na viga Mmáx e há situações em que o projeto depende do valor absoluto máximo da força cortante Vmáx Um dimensionamento correto de uma viga deve levar ao projeto mais econômico Vigas de mesmo material devem escolher aquele de menor peso por unidade de comprimento portanto de menor seção transversal Procedimento para o dimensionamento de uma viga 1 Determinar os valores das tensões admissíveis Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1546 cs cs u adm u adm e 2 Desenhar os diagramas de esforço cortante e momento fletor determinando os valores máximos absolutos Vmáx e Mmáx 3 Assumese que o dimensionamento é controlado pelo valor da tensão normal que atua no topo e na base y c da seção transversal de máximo momento fletor Substituindo σadm em lugar de σmáx e W calculase o mínimo valor admissível para o módulo de resistência da viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1646 y I W y I M z z máx máx e adm máx mín σ M W 30092021 9 4 Escolher uma seção transversal para a viga com W Wmín 5 Uma vez escolhida a seção transversal da viga devese verificar sua resistência à força cortante Determinase o valor máximo da tensão de cisalhamento τmáx na viga através da expressão Vigas com seção transversal retangular a tensão de cisalhamento máxima na LN Para os perfis I Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1746 adm máx máx t I Q V A Vmáx máx 2 3 ALMA máx máx A V Se o valor encontrado para τmáx exceder τadm adotase uma seção transversal maior No caso de perfil I e perfis de abas largas é importante fazer uma verificação do valor de σmáx na junção da alma com as abas na seção de momento máximo para que σmáx exceda σadm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1846 30092021 10 Exercícios 1 Escolher um perfil de abas largas perfil w para suportar a força de 67 kN como indica a figura A tensão normal admissível é de 165 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é de 100 MPa para o aço utilizado Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1946 Diagramas de esforço cortante e momento fletor Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2046 V V 160 8 kNm 2 4 67 0 kN 67 KN 67 M M V V B A B A 16080 kNcm 8 kNm 160 kN 67 M V máx máx 30092021 11 Dimensionamento através da tensão normal admissível Mmáx 1608 kNm 16080 kNcm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2146 3 3 3 974 5 10 mm 974 5cm 974 5454 16 5 16080 x σ M W adm máx mín Perfil W 103 mm3 I 106 mm4 W410x60 1060 216 W360x64 1030 178 W310x74 1060 165 W250x80 984 126 407cm 128cm 077cm 178cm Verificação da tensão de cisalhamento Vmáx 67 kN Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2246 407cm 128cm 077cm 178cm 100 MPaOK MPa 2138 2138 MPa 2138 kNcm 21379 7 0 77 40 67 2 adm máx máx adm alma máx máx adm máx máx τ τ A V t I Q V 30092021 12 Verificação da tensão normal máxima na junção da alma com as abas Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2346 407cm 128cm 077cm 178cm y 1907 cm 165 MPa OK σ MPa 142 14 20 kNcm 9 07 1419655 1 10 216 16080 y adm 2 2 máx máx adm máx máx σ x I M 19 07 cm 128 2 7 40 216 10 cm 10 216 10 4 2 4 4 6 y x mm x x I x 2 Para a viga com carregamento mostrado dimensionar a seção transversal da viga sabendose que para o tipo de madeira usada a σadm 12 MPa e τadm 0825 MPa Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2446 30092021 13 Diagramas de esforço cortante e momento fletor Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2546 V V 0 29 05 kNm 2 5 5 3 25 3 25 875 3 25 17 0 875 kN 17 875 kN 17 B C A B A M M M V V 17 875 kN 2 5 5 6 5 R R B A RA RB 17875 kN VA 17875 kN VB 2905 kNm MC C 2905 kNcm 05 kNm 29 875 kN 17 M V máx máx Dimensionamento através da tensão normal admissível Mmáx 2905 kNm 2905 kNcm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2646 32 cm Adotaremos 3112 cm 15 2420 8 6 2420 8 cm 6 2420 8 cm 6 2 12 2420 8 cm 2420 8333 12 2905 3 2 3 2 3 3 h h h b W W h b h h b y I W σ M W mim adm máx mín h 32 cm 30092021 14 Verificação da tensão de cisalhamento Vmáx 17875 kNm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2746 0 825 MPa OK MPa MPa 0559 0559 MPa 0 0559 kNcm 0 055859 32 15 875 17 2 3 2 3 2 τ τ A V t I Q V adm máx máx adm máx máx adm máx máx 32 cm h 15 cm h 3 Uma viga será feita de aço que tem tensão de flexão admissível σadm 170 MPa e tensão de cisalhamento admissível τadm 100 MPa Selecione um perfil de abas largas perfil W adequado para suportar a carga mostrada na figura abaixo Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2846 30092021 15 Diagramas de esforço cortante e momento fletor Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2946 12000 kNcm kNm 120 kN 90 máx máx M V Dimensionamento através da tensão normal admissível Mmáx 120 kNm 12000 kNcm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3046 3 3 3 705 9 10 mm 705 9 cm 7058823 17 12000 x σ M W adm máx mín Perfil W 103 mm3 I 106 mm4 W410x461 774 156 W360x578 899 161 W310x52 748 119 W250x67 809 104 403cm 112cm 07cm 14cm 30092021 16 Verificação da tensão de cisalhamento Vmáx 90 kN Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3146 403cm 112cm 07cm 14cm 100 MPaOK MPa 3190 3190 MPa 3190 kNcm 319035 3 0 7 40 90 2 adm máx máx adm alma máx máx adm máx máx τ τ A V t I Q V Verificação da tensão normal máxima na junção da alma com as abas Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3246 170 MPa OK σ 4 MPa 146 14 64 kNcm 9 03 14 6384 1 10 156 12000 y adm 2 2 σ x I M máx máx adm máx máx 19 03 cm 112 2 3 40 156 10 cm 10 156 10 4 2 4 4 6 y x x mm x I x 403cm 112cm 07cm 14cm y 30092021 17 7 Para viga e o carregamento mostrado na figura projete a seção transversal da viga sabendo que o tipo de madeira utilizada tem uma tensão normal admissível de 12 MPa e uma tensão de cisalhamento admissível de 075 MPa Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3646 Diagramas Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3746 0 3 12 810 3 2 40 70 2 3 6 kN 810 3 2 40 70 2 4 50 kN 3 2 40 70 2 70 KN 2 2 1 V V V V C B B A 0 810 120 3 3 60 180 70 3 60 2 216 kNm 3 2 4 12 70 2 40 2 0 M M M C B A V V 122kNm 1215 3 0 90 0 45 2 70 0 90 M D 216 kNcm 16 kNm 2 5 kN 4 M V máx máx V M 270 kN 810 kN 090 A B C D D 30092021 18 Diagramas ponto de cortante nulo Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3846 0 90 m 70 2 40 2 4 50 2 70 x x 240 cm x m p R x 0 90 3 2 70 8 Um tubo de aço com diâmetro de 100 mm deve suportar o carregamento mostrado na figura Sabendose que o estoque de tubos disponíveis tem espessuras que variam de 6 mm a 14 mm em incrementos de 3 mm e que a tensão normal admissível para aço utilizado é de 150 MPa determine a espessura mínima de parede t Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3946 30092021 19 Diagramas de esforço cortante e momento fletor Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4046 V V 75 kNm 6 0 15 2 15 15 15 1 0 5 kN 4 0 15 15 15 0 M M M R R F A A A A A V RA MA V M 675 kNcm 75 kNm 6 5 kN 4 M V máx máx Dimensionamento através da tensão normal admissível Mmáx 675 kNm 675 kNcm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4146 3 3 3 45 10 mm 45 cm 15 675 x σ M W adm máx mín y I W y I M x z máx máx e 4 4r I I y x x y c2 c1 4 1 4 2 4 1 4 2 4 4 4 c c c c I x 30092021 20 Cálculo de t Espessura t Portanto usaremos um tubo de espessura de 9 mm de espessura Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4246 42 9 mm 4 29 cm 2893 4 225 4 625 4 625 225 5 4 5 45 4 45 cm 5 4 cm 45 1 4 1 4 1 4 1 4 2 4 1 4 2 2 4 1 4 2 3 c c c c c c c c y c c I W y I W x x x y c2 c1 7 1mm 42 9 50 1 2 c c tmín 9 Dois perfis U de aço laminado devem ser soldados entre si ao longo das extremidades das mesas para suportar o carregamento mostrado na figura Sabendo que a tensão normal admissível para o aço é de 150 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é de 90 MPa determine os perfis U mais econômicos que podem ser utilizados Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4346 x 30092021 21 Diagramas de esforço cortante e momento fletor Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4446 2700 kNcm kNm 27 kN 30 máx máx M V Dimensionamento através da tensão normal admissível Mmáx 27 kNm 2700 kNcm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4546 Perfil W 103 mm3 I 106 mm4 U150x193 936 711 U180x146 992 883 178cm 093cm 053cm 53cm 3 3 3 3 3 3 90 10 mm 2 280 10 cada perfil 180 10 mm 180 cm 15 2700 x x W min x Wmín 30092021 22 Verificação da tensão de cisalhamento Vmáx 30 kN Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Projeto de Vigas Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4646 100 MPaOK 72 MPa 18 1872 MPa 1872 kNcm 8718 1 106 66 10 17 116 8 30 106 cm 2 0 53 2 17 66 10 cm 2 8 83 10 cm 2 cm 1168 116818307 2 0 53 7 97 3 985 6 0 93 8 435 10 2 2 4 4 2 4 2 3 adm máx máx w x adm máx máx τ x τ t t x x I I Q Q t I Q V 178cm 106cm 093cm 53cm