Flambagem: Fórmula de Euler e Condições de Extremidades

26112021 1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Prof MSc Paulo Cesar Rodrigues RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Unidade 6 Flambagem Parte 02 64 Fórmula de Euler para outras condições de extremidades A carga crítica ou fórmula de Euler definida na seção 63 é para uma coluna com extremidades articuladas Devemos observar que a carga crítica é independente da resistência do material ela depende somente das dimensões da coluna I e L e da rigidez ou módulo de elasticidade do material E Por exemplo uma coluna feita de aço de alta resistência não oferece nenhuma vantagem em relação às feitas de aço de resistência mais baixa uma vez que o módulo de elasticidade para ambos os materiais é aproximadamente o mesmo Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0222 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 2 2 L E I Pcr 606 26112021 2 A capacidade de carga de uma coluna aumentará à medida em que o momento de inércia da seção transversal aumentar Assim colunas mais eficientes são projetadas de modo que a maior parte da área da seção transversal da coluna esteja localizada o mais longe possível dos eixos principais do centro de gravidade da seção Tubos com seções ocas são mais eficientes do que as maciças As seções de abas largas e colunas construídas com perfis em U cantoneiras placas etc são melhores do que as maciças e retangulares Se a coluna for apoiada de outros modos isto é para outras condições de extremidades então a fórmula de Euler poderá ser usada para determinar a carga crítica desde que L seja substituído pelo comprimento de flambagem ou comprimento equivalente Le da coluna em função do tipo de fixação das suas extremidades Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0322 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem Comprimento de flambagem Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0422 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem a Uma extremidade engastada e outra livre b Biarticulada c Articulada engastada d Biengastada K 2 K 1 70 K 50 K Figura 606 Comprimento de flambagem de coluna para várias condições de extremidades 26112021 3 Muitos manuais de projeto dão fórmulas de colunas que empregam um coeficiente adimensional K denominado fator de comprimento efetivo K é definido por Com base nessa equação podemos expressar a fórmula de Euler como ou Nesta expressão KLr é o índice de esbeltez de flambagem λ Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0522 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 2 2 2 2 KL I E L E I P e cr 2 2 2 2 r KL E r L E e cr Le KL 612 613 614 É importante entender que uma coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção transversal que tenha o menor momento de inércia Por exemplo uma coluna de seção transversal retangular mostrada na figura 607 sofrerá flambagem eixo yy e do eixo xx Para a figura 607 temos Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0622 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem y y x x Figura 607 mín y máx x I h b I I b h I 12 12 3 3 y x b h 615 26112021 4 Exercícios Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0722 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 1 O elemento estrutural W250x101 é usado como uma coluna de aço estrutural A36 Podemos considerar que a base dessa coluna está engastada e que o topo esta preso por um pino Determinar a maior força axial P que pode ser aplicada sem provocar flambagem Usar Eaço 200 GPa e σaço 25 kNcm2 Maior força axial P Pcr Verificação da tensão normal admissível Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0822 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 3974 7 kN 697 3974 525 5550 20000 cm 5550 525 cm 0 7 750 7 0 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 25 kNcm cm 750 2 2 2 2 4 2 2 aço L E I P I I L L E L e cr y e 3225 kN 129 25 25 kNcm Não ok 30 81 kNcm 129 3974 5 2 2 A P A P aço cr aço cr L W250x101 Ix 164x106 mm4 16400 cm4 Iy 555x106 mm4 5550 cm4 Área 129 cm2 26112021 5 2 Resolver o exercício 1 considerando que a coluna está engastada na base mas livre no topo Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0922 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem W250x101 Ix 164x106 mm4 16400 cm4 Iy 555x106 mm4 5550 cm4 Área 129 cm2 Maior força axial P Pcr Verificação da tensão normal admissível Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1022 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 486 90 kN 900048 486 1500 5550 20000 cm 5550 1500 cm 2 750 2 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 25 kNcm cm 750 2 2 2 2 4 2 2 aço L E I P I I L L E L e cr y e 25 kNcm Ok 3 77 kNcm 129 486 90 2 2 aço cr A P L 26112021 6 3 Uma coluna de aço W150x24 tem 8 m de comprimento e as extremidades engastadas como mostra a figura Sua capacidade de carga é aumentada pelas escoras de reforço em torno do eixo yy Consideramos que essas escoras estão acopladas por pinos no ponto médio da altura da coluna Determine a carga que a coluna pode suportar sem flambagem e sem que o material ultrapasse a tensão de escoamento Adotar Eaço 200 GPa e σe 410 MPa Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1122 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 4 m 4 m Le 05L L8m a Carga crítica para a coluna Carga crítica para flambagem do eixo xx Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1222 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 1653 2 kN 1587 1653 400 1340 20000 cm 1340 400 cm 0 5 800 5 0 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 2 2 2 2 4 2 L E I P I I L L E e cr x e W150x24 Ix 134x106 mm4 1340 cm4 Iy 183x106 mm4 183 cm4 Área 306 cm2 26112021 7 Le 07L L4m Carga crítica para flambagem do eixo yy b Verificação da tensão de escoamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1322 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 460 7 kN 7493 460 280 183 20000 cm 183 280 cm 0 7 400 7 0 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 2 2 2 2 4 2 L E I P I I L L E e cr y e 41 kNcm Ok 15 06 kNcm 60 30 460 7 2 2 e cr A P 4 A coluna de alumínio está presa na base e seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir que o topo movimentese ao longo do eixo x Se considerarmos que ela está fixa na base determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada Use um fator de segurança para a flambagem cs 30 Adotar Eal 70 GPa σe 215 MPa A 75 cm2 Ix 6130 cm4 e Iy 2320 cm4 Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1422 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 26112021 8 Le 2L a Maior carga admissível P Carga crítica para flambagem do eixo xx Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1522 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 423 5 kN 5047 423 1000 6130 7000 cm 6130 1000 cm 2 500 2 7000 kNcm 70000 MPa GPa 70 2 2 2 2 4 2 L E I P I I L L E e cr x e Ix 6130 cm4 Iy 2320 cm4 Área 75 cm2 Le 07L Carga crítica para flambagem do eixo yy Carga admissível b Verificação da tensão de escoamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1622 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 1308 4 kN 4275 1308 350 2320 7000 cm 2320 350 cm 0 7 500 7 0 7000 kNcm 70000 MPa GPa 70 2 2 2 2 4 2 L E I P I I L L E e cr y e 21 5 kNcm Ok 5 65 kNcm 75 423 5 2 2 A P e cr 141 2 kN 14116666 3 423 5 cs P P cr adm 26112021 9 5 Uma coluna AB suporta uma carga centrada de intensidade 66 kN Os cabos BC e BD são esticados e impedem o movimento do ponto B no plano xz Usando a fórmula de Euler e um coeficiente de segurança de 22 e desprezando a tração nos cabos determine o máximo comprimento admissível Usar E 200 GPa Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1722 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem W 250x327 Máximo comprimento admissível L Flambagem do eixo xx Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1822 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 1289 m 1289 2 cm 1575 1289 1452 4 4890 20000 2 20000 4890 2 145 145 2 kN 2 66 2 2 4890 20000 cm 4890 2 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 L L L cs P P L L E I P I I L L E cr e cr x e W 250x327 W250x327 Ix 489x106 mm4 4890 cm4 Iy 473x106 mm4 473 cm4 Área 418 cm2 26112021 10 Flambagem do eixo yy Portanto Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1922 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 1146 m 1145 6 cm L 1146 m 1145 6 cm 5501 1145 9 145 2 04 473 20000 0 7 20000 473 2 145 0 7 473 20000 cm 473 7 0 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 L L L L L E I P I I L L E e cr y e W 250x327 6 A coluna ACB tem uma seção transversal uniforme com b 3 cm e d 8 cm A coluna é contraventada no plano xz em seu ponto médio C e suporta uma carga centrada P de intensidade 15 kN Sabendose que um coeficiente de segurança de 32 é desejado determinar o maior comprimento admissível L Usar E 200 GPa Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2022 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 26112021 11 Máximo comprimento admissível L Flambagem do eixo xx Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2122 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 513 m 513 0 cm 0199 513 48 4 128 20000 2 20000 128 48 48 kN 2 15 3 2 128 20000 128 cm 12 8 3 12 2 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 2 L L L cs P P L L E I P b d I I L L L L E cr e cr x e Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2222 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 26112021 12 Flambagem do eixo yy Portanto Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2222 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Flambagem 2 72 m 272 1cm L 272 m 272 1cm 0699 272 8 4 20000 18 20000 18 48 2 18 20000 18 cm 12 3 8 12 20000 kNcm 200000 MPa GPa 200 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 2 L L L L L E I P d b I I L L E e cr y e