Fundamentos em Telecomunicações: Transmissão de Sinais e Análise de Sinais

FUNDAMENTOS EM TELECOMUNICAÇÕES Marcio Belloni 2 1 INTRODUÇÃO À TELECOMUNICAÇÃO Apresentação Olá alunos bemvindos ao Bloco 1 onde abordaremos os conceitos fundamentais de transmissão e análise de sinais aplicados às telecomunicações Num primeiro momento verificaremos como ocorre a transmissão de sinais e quais os conceitos aplicados a ela Na sequência será abordada a série de Fourier como ferramenta utilizada na transformação de um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência 11 Transmissão de sinais Sinais gerados por dispositivos e equipamentos eletrônicos diversos sejam estes digitais ou analógicos precisam em muitas aplicações serem transmitidos de um ponto a outro e as distâncias podem ser as mais variáveis A transmissão de sinais envolve a escolha de um método de modulação onde a informação a ser transmitida em forma de sinal precisa ser encapsulada por um conceito de modulação analógica ou digital em uma forma de onda denominada portadora Sendo assim é preciso que um dispositivo eletrônico trate o sinal de maneira a proceder com sua modulação e entregue o sinal modulado ao equipamento responsável por sua transmissão É importante afirmar que a transmissão de sinais para ser completa requer um dispositivo transmissor e um dispositivo receptor de sinais Geralmente tais dispositivos são concebidos com circuitos de segunda ordem do tipo RLC Visto que os sinais a serem transmitidos podem ter características analógicas ou digitais sua transmissão também poderá considerar ambas as tecnologias É sabido que o mundo passa por uma transformação digital sem precedentes onde a globalização deixa de ser um conceito futurista e passa a ser uma realidade considerando as telecomunicações uma ferramenta indispensável 3 No passado a transmissão de sinais contendo pacotes de informação precisava de recursos que comportassem uma quantidade de dados pequena e as distâncias a serem percorridas pelas transmissões eram ínfimas Hoje as transmissões de sinais contendo informações demandam uma capacidade gigante de portar dados e precisam percorrer distâncias muito maiores que antes As diversas aplicações como imagens em alta definição grandes bancos de dados privados e até mesmo militares ou ainda a comunicações via satélite dentre tantas outras aplicações exigem sistemas e equipamentos complexos e cada vez mais robustos no que tange à hardware e software fator que deixa latente a necessidade de importantes investimentos em pesquisa e desenvolvimento na área de telecomunicações Um fator preponderante para a qualidade da transmissão de sinais está intimamente ligado à escolha do meio ou seja é importante que a escolha do meio pelo qual o sinal será transmitido considere suas características e isso irá refletir diretamente na qualidade da transmissão pois para cada tipo de sinal há uma tecnologia mais adequada para sua transmissão tais como cabeamento físico estruturado Wireless RF Rádio Frequência ou ainda tecnologia Óptica Laser Sinais são definidos como funções de uma ou mais variáveis que podem propagar informações sobre a natureza de um determinado fenômeno físico Assim os sinais podem ser identificados por uma função no tempo ft de maneira que possam ser dimensionados e calculados Em resumo os sinais são fenômenos passíveis de representação matemática Os sinais são classificados em duas categorias a saber Sinal Analógico e Sinal Digital O sinal analógico pode assumir inúmeros valores em um determinado intervalo de tempo podendo ser representado por uma variável independente vt onde t pode assumir qualquer valor real 4 Figura 11 Sinal Analógico Alguns exemplos de dispositivos que atuam por meio de sinais analógicos Sensores de Temperatura Sensores de Umidade Sensores de Pressão Sensores de Luminosidade e muitos outros Os sinais digitais são discretos e possuem quantidade limitada normalmente são representados por dois níveis Eles podem ser representados por uma variável independente e discreta em vt Os sinais digitais são matematicamente representados como sequência numérica xn onde n 3 2 10123 Normalmente são derivados de sinais em tempo contínuo através do processo de amostragem Figura 12 Sinal Digital 5 Os sinais podem ainda ser classificados por seu comportamento e desenvolvimento no decorrer do tempo Imaginando uma onda no decorrer do tempo em que não se tenha apenas um pulso mas sim uma sucessão de pulsos variando para cima e para baixo oscilando de maneira a formar sucessivas ondas com repetidos pulsos no transcorrer do tempo Dessa forma obtémse a propagação de um chamado trem de pulsos periódicos e regulares normalmente criado por um sistema denominado oscilador harmônico Tal onda possui movimento harmônico e por isso é chamada de onda harmônica Desta forma podese concluir que a onda possuirá vários máximos e mínimos ou vales e picos pois o movimento é harmônico A distância entre os picos ou entre os vales é denominada comprimento de onda λ e este comprimento representa um ciclo Um ciclo da onda é uma parte onde a onda não se repete Considerase periódico o sinal que se repete n vezes em um intervalo fixo T de tal forma que 𝒙𝒕 𝒙𝒕 𝒏𝑻𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑻 O menor valor de T que satisfaz a condição de periodicidade é chamado de período fundamental de xt onde n1 Figura 13 Sinal periódico analógico de amplitude 5V 6 Fonte ZILIO e BAGNATO 2002 Disponível em httpwwwfisicanetmecanicaclassicaMecanicaCalor Ondaspdf pág 201 Figura 14 Onda periódica Em alguns sinais não há um valor de T uma vez que não há matematicamente um T que satisfaz a condição de periodicidade Estes sinais são aperiódicos Figura 15 Sinal aperiódico Oscilações podem ser descritas como movimentos ou ainda variações flutuações ou mudanças tratase de um movimento alternado em sentidos opostos Esse movimento periódico aponta a existência de um intervalo que ocorre entre dois limites O estudo das oscilações é de suma importância para todas as áreas da Engenharia e deve ser amplamente compreendido para que se possa absorver os princípios da ondulatória muito aplicados na Mecânica Elétrica e Civil Os movimentos oscilatórios 7 são aplicados desde o simples balançar de folhas até os mais complexos estudos da luz Dentre os estudos do movimento oscilatório temos o chamado movimento harmônico simples MSH que se destaca como o mais simples e mais utilizado para análise de ondas Sinais periódicos se comportam como oscilações e podem ser definidos matematicamente da mesma forma como uma função no tempo ft O sinal senoidal pode ser definido como 𝒇𝒕 𝑨 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝜽 Onde A Amplitude do sinal 𝝎 Velocidade angular do sinal rads t Tempo s 𝜽 ângulo de fase que influencia o posicionamento da onda Na propagação da onda cada ciclo dela considerado parte fundamental se propaga segundo um determinado tempo O movimento do ciclo se propaga num espaço que é seu comprimento de onda O tempo que a onda leva para percorrer o meio é denominado período T onde a onda desenvolve seu percurso A relação dos números de ciclos por tempo é a frequência sendo uma taxa de propagação da onda indicada pela seguinte fórmula 𝒇 𝟏 𝑻 Onde f frequência Hz T período s 8 Sendo conforme o SI Sistema Internacional o período medido em segundos s temos a frequência como a taxa de ciclos em um período sendo sua unidade de medida o Hertz Hz Então fica fácil concluir que se o tempo que a onda leva para desenvolver um ciclo é a frequência o espaço percorrido será o comprimento de onda já que é relacionado a um ciclo Desta forma a velocidade com que a onda se propaga é dada por 𝑽 𝝀 𝑻 𝝀 𝒇 Onde V velocidade da onda f frequência T período λ comprimento de onda É importante compreender a dinâmica em um movimento harmônico simples Enquanto a amplitude e a fase dependem das condições iniciais do movimento a frequência de ressonância é uma qualidade intrínseca ao sistema 𝝎𝒐 𝟐𝝅 𝑻 𝟐𝝅𝒇 Onde 𝝎𝒐 frequência natural ou frequência de ressonância T período em que ocorre o movimento f frequência do movimento no qual 𝒇 𝟏 𝑻 O movimento harmônico simples responderá sempre com um gráfico de onda podendo haver ou não um amortecimento Contudo para o estudo de ondulatória para antenas podemos considerar o gráfico do movimento harmônico simples de forma que a frequência angular seja inserida na fórmula matemática da onda harmônica e defina sua evolução no meio sua progressão e seu formato a saber 9 𝑿𝒕 𝑨 𝒄𝒐 𝒔𝟐𝝅𝒇𝒕 𝝓 Onde f frequência Figura 16 Gráfico cossenóide A onda harmônica terá uma intensidade e se o movimento oscilatório for mais enérgico ainda maior será a altura da crista da onda Assim quanto mais energia o sistema de produção da onda entregar a mesma maior será sua amplitude Para melhor entendimento supõese uma onda que possua amplitude de 2 mV e frequência de 5Hz Esta onda será representada pela função 𝒇𝒕 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝝅𝒕 𝒎𝑽 Onde t tempo em segundos Para podermos observar a onda é possível utilizar os softwares de tratamento matemático Matlab ou Octave Nestes a sintaxe será 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0 0075 015 0225 03 0375 045 0525 06 0675 075 0825 09 0975 105 1125 12 1275 135 1425 15 1575 ft 3 cos 4πt 10 O resultado será a plotagem do seguinte gráfico Gráfico plotado no Octave Figura 17 Gráfico da função ft 2cos 10πt mV É possível notar que a amplitude do mesmo se encontra em 2 possuindo exatos 5 ciclos em 1 segundo Notase também que a onda se inicia em 90 ou seja em sua crista típico da função cosseno Neste caso a fase é 0 pois a onda não se desloca de sua origem Vamos agora efetuar uma alteração de fase Movimentaremos a onda em 10 para frente e para trás Então poderemos analisar a fase da onda e sua movimentação em relação à origem Para melhor visualização utilizaremos frequência de 1Hz As suas funções serão respectivamente 𝒇𝒕 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅𝒕 𝒎𝑽 𝒈𝒕 𝟐 𝒄𝒐 𝒔 𝟐𝝅𝒕 𝝅 𝟐 𝒎𝑽 𝒉𝒕 𝟐 𝒄𝒐 𝒔 𝟐𝝅𝒕 𝝅 𝟐 𝒎𝑽 11 Colocaremos a onda ft com fase 0em azul a gt adiantada com fase 90em vermelho e a ht atrasada com fase 90 em verde Neste caso é possível comparar as 3 ondas defasadas em 90 na imagem a seguir Figura 18 Ondas ft gt e ht defasadas entre si O sinal sendo uma onda eletromagnética irá transmitir energia finita que depende de alguns fatores referentes às propriedades do sinal A energia do sinal poderá ser definida segundo suas características no tempo O sinal analógico xt possuirá energia dada por 𝑬 𝐥𝐢𝐦 𝝉 𝒙𝟐𝒕𝒅𝒕 𝝉 𝟐 𝝉 𝟐 Para um sinal discreto xn temos o seguinte 𝑬 𝒙𝟐𝒏 𝒏 Desta forma podese chegar a potência do sinal A potência média do sinal periódico analógico pode ser definida pela seguinte expressão 𝑷 𝟏 𝝉 𝒙𝟐𝒕𝒅𝒕 𝝉 𝟐 𝝉 𝟐 12 Em caso de um sinal periódico discreto a potência média pode ser definida por 𝑷 𝟏 𝑵 𝒙𝟐𝒏 𝑵𝟏 𝒏𝟎 As ondas segundo suas características podem ser classificadas de diversas formas Segundo a posição com que a energia segue na onda elas podem ser a Transversais A onda movimentase de forma longitudinal à propagação da energia b Paralelas A onda se movimenta paralelamente ao sentido da propagação da energia Por isso é possível polarizar as ondas Para compreender melhor a polarização deve se observar que as ondas luminosas possuem componentes em vários sentidos Definese a direção de polarização como sendo a direção de oscilação do campo elétrico E A polarização pode ocorrer de diversas maneiras às quais podese elencar o Polarização linear A direção de oscilação se mantém fixa já o módulo e o sentido do campo elétrico mudam no tempo o Polarização circular O vetor campo elétrico muda de direção com o tempo mas o módulo permanece constante A onda eletromagnética pode ser circularmente polarizada à esquerda ou à direita o Polarização elíptica A polarização ocorre de forma elíptica forçando este movimento aos campos da onda eletromagnética Em um experimento com microondas é possível demonstrar a polarização com a supressão das componentes da onda eletromagnética No vídeo podese verificar no osciloscópio a onda eletromagnética polarizada seguindo a resposta no receptor Veja em httpswwwyoutubecomwatchv1IrOzO2PNVQabchannelTSGPhysics 13 12 Análise de Fourier A série de Fourier pode ser representada na forma trigonométrica onde uma função periódica ft pode ser composta em uma somatória de senos e cossenos equivalentes à função dada Desta forma pode ser matematicamente representada pela equação a seguir 𝒇𝒕 𝒂𝟎 𝟐 𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬𝒏𝝎𝟎𝒕 𝒃𝒏 𝐬𝐞𝐧𝒏𝝎𝟎𝒕 𝒏𝟏 Os valores a0 an e bn são denominados coeficientes da Série de Fourier e devem ser calculados para se proceder com a implementação e somatória da série enquanto n é o número de harmônicas ou ondas que formam a onda analisada 𝜔0 é a velocidade angular rads que define a quantidade de ciclos que a onda desenvolve por segundo Os coeficientes da série de Fourier podem ser definidos segundo as fórmulas a seguir 𝒂𝟎 𝟐 𝑻 𝒇𝒕𝒅𝒕 𝑻 𝟎 𝒂𝟎 𝟐 𝟏 𝑻 𝒇𝒕𝒅𝒕 𝑻 𝟎 𝒂𝒏 𝟐 𝑻 𝒇𝒕 𝐜𝐨𝐬𝒏𝝎𝟎𝒕 𝒅𝒕 𝑻 𝟎 𝒃 𝟐 𝑻 𝒇𝒕 𝐬𝐞𝐧𝒏𝝎𝟎𝒕 𝒅𝒕 𝑻 𝟎 O valor de ao também pode ser definido pela seguinte fórmula 𝒂𝟎 𝟐 Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒆𝒕𝒆𝒎 𝟏 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝟏 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 Em algumas hipóteses os valores de an ou bn podem ser nulos devido aos cálculos desenvolvidos isso causará na série de Fourier efeitos notáveis Se an for nulo a decomposição da função somente será formada por elementos de função seno Neste caso dizemos que a função ft é denominada função ímpar onde 𝒇𝒕 𝒇𝒕 14 Por outro lado se bn for declarado nulo a decomposição da função será formada de cossenos 𝒇𝒕 𝒇𝒕 Para simplificação podese renunciar à solução das integrais inominadas e então aplicar os limites segundo cada caso quando é possível obter o resultado da integral inominada Isso ocorre quando bn0 Nestes casos 𝒂𝒏 𝟐𝟎 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝝅 𝟐 Os valores para an podem então ser definidos 𝒂𝟏 𝟐𝟎 𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟐 𝟐𝟎 𝝅 𝒂𝟐 𝟐𝟎 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅 𝟐 𝟎 𝒂𝟑 𝟐𝟎 𝟑𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝝅 𝟐 𝟐𝟎 𝟑𝝅 𝒂𝟒 𝟐𝟎 𝟒𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝝅 𝟐 𝟎 𝒂𝟓 𝟐𝟎 𝟓𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝝅 𝟐 𝟒 𝝅 De posse dos coeficientes podese observar a forma geral da série de Fourier 𝑻𝒕 𝒂𝟎 𝟐 𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒕 𝑳 𝒃𝒏 𝐬𝐞𝐧 𝒏𝝅𝒕 𝑳 𝒏𝟏 15 Exemplo Determine a série de Fourier que identifica a seguinte onda Veja que temos o valor do período e da amplitude da onda Assim é possível obter ao 𝑎0 2 01 𝑥 5 02 25 Os coeficientes an e bn podem ser encontrados se forem considerados os valores de 𝜔0 𝝎𝟎 𝟐𝝅 𝑻 𝟐𝝅 𝟎 𝟐 𝟏𝟎𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒔 𝒂𝒏 𝟐 𝟎 𝟐 𝟓 𝐜𝐨𝐬𝒏𝟏𝟎𝝅𝒕 𝒅𝒕 𝟎𝟏 𝟎 𝟓 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 𝒏𝟏𝟎𝝅 𝐬𝐞𝐧𝒏𝟏𝟎𝝅𝒕 𝟎 𝟎𝟏 𝟏𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝒏𝟏𝟎𝝅 𝐬𝐞𝐧𝒏𝟏𝟎𝝅 𝟎 𝟏 𝐬𝐞𝐧𝒏𝟏𝟎𝝅 𝟎 𝒂𝒏 𝟓 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝝅 𝒂𝟏 𝟓 𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟎 𝒂𝟐 𝟓 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅 𝟎 𝒂𝟑 𝟓 𝟑𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝝅 𝟎 𝒂𝟒 𝟓 𝟒𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝝅 𝟎 16 𝒃𝒏 𝟐 𝑻 𝒇𝒕 𝐬𝐞𝐧𝒏𝝎𝟎𝒕 𝒅𝒕 𝑻 𝟎 𝒃𝒏 𝟐 𝟎 𝟐 𝟓 𝐬𝐞𝐧𝒏𝟏𝟎𝝅𝒕 𝒅𝒕 𝟎𝟏 𝟎 𝟓 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 𝒏𝟏𝟎𝝅 𝐜𝐨𝐬𝒏𝟏𝟎𝝅𝒕 𝟎 𝟎𝟏 𝟏𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝒏𝟏𝟎𝝅 𝐜𝐨𝐬𝒏𝟏𝟎𝝅 𝟎 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝒏𝟏𝟎𝝅 𝟎 𝒃𝒏 𝟓 𝒏𝝅 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅 𝒃𝟏 𝟓 𝝅 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟏𝟎 𝝅 𝒃𝟐 𝟓 𝟐𝝅 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 𝟎 𝒃𝟑 𝟓 𝟑𝝅 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 𝟏𝟎 𝟑𝝅 𝒃𝟒 𝟓 𝟒𝝅 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝝅 𝟎 𝑻𝒕 𝒂𝟎 𝟐 𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒕 𝑳 𝒃𝒏 𝐬𝐞𝐧 𝒏𝝅𝒕 𝑳 𝒏𝟏 Desta forma a expressão da série de Fourier será 𝒆𝒕 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎𝝅𝒕 𝟏𝟎 𝟑𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝝅𝒕 𝟏𝟎 𝟓𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟓𝟎𝝅𝒕 17 Até a 5ª harmônica as equações obedecerão a seguinte formação Figura 19 1ª 3ª e 5ª harmônicas na série de Fourier Notase que a onda vai assumindo a forma da onda quadrada quanto mais avança na série de Fourier 13 Constituição básica de um sistema de comunicação Comunicação deriva do latim communicare que significa de certa forma compartilhar partilhar algo ou tornar comum A sociologia ensina que o homem é um animal social e desta forma precisa como condição de vida viver em sociedade com os outros Estar em sociedade implica em se comunicar Na história podese observar diversas situações e momentos em que a comunicação foi extremamente importante e nem sempre era algo simples No ano 490 a C na Grécia o soldado Felípides foi encarregado de anunciar a vitória dos gregos sobre os persas correu 37 quilômetros desde o campo de batalha de Maratona até a cidade de Atenas Comunicou a vitória e morreu Os sistemas de telecomunicações podem ser encarados de forma simplificada como sistemas de duas pontas por um lado formado por um sistema transmissor de sinais e por outro lado formado por um sistema receptor de sinais 18 Para que se tenha um sistema de comunicação completo e funcional fazse necessário que ele seja composto por partes distintas e cada uma delas com sua função não menos importante uma da outra A composição do sistema de comunicação é feita com sistemas menores segundo suas funções são eles Sistema de Geração de Informação Sistema de Modulação do Sinal Sistema de Transmissão e Sistema de Recepção É preciso conhecer cada um dos sistemas envolvidos na comunicação considerando suas especificidades de maneira organizada e sistemática A comunicação gera sinais tais como voz música imagens informações em forma de dados analógicos ou digitais Os sinais gerados podem ser matematicamente representados por funções e consequentemente podem ser tratados matematicamente e então calculados e modulados O sinal pode ser definido como uma função de uma ou mais variáveis que porta informações sobre a natureza de um fenômeno físico como Sinais de Fala Sinais Biológicos Previsão do Tempo Temperatura Pressão Índices Financeiros e muitos outros Assim concluise que os sinais podem ter origem tanto na fala humana quanto na emissão de uma grandeza física e até mesmo via sensoriamento de sondas espaciais Daí a complexidade do tratamento envio e recebimento dos diversos tipos de sinais Figura 110 Diagrama Básico de um Sistema de Comunicação A fonte de informação em um sistema de comunicação pode ser um sensor uma pessoa ou mesmo um outro sistema que gera a informação O transdutor adequa essa informação aos sinais formados por tensão de forma a serem admitidos pelo transmissor Nesta etapa o sinal que define a informação é adequado e acondicionado 19 e por meio de um processo que o vincula à uma onda portadora ele se torna um sinal modulado Este sinal por sua vez é o que será efetivamente transmitido pelo circuito transmissor este formado por um circuito RLC Neste caso o transmissor depende do meio de comunicação Por exemplo se for por ondas eletromagnéticas em radiofrequência o transmissor será um circuito RLC munido de uma antena A seguir na Figura 111 é possível verificar um sistema transmissor e receptor de rádio frequência O transmissor é formado pelo módulo transmissor RF 8051 que atua em 433MHz Para adequar a informação foi utilizado um codificador HT12E Encoder Fonte httpdestrotodaviacombrtutorialmodulosrfphp Figura 111 Transmissor TX O HT12E recebe o sinal discreto pelos pinos 10 11 12 13 e 14 e codifica em um único sinal O módulo RF espalha esse sinal por meio da antena Do outro lado o receptor representado a seguir na Figura 112 recebe o sinal pelo módulo RF sinal este que é decodificado pelo HT12D Decoder e emite os sinais pelos pinos 10 11 12 e 13 Estes componentes EncoderDecoder HT12E e HT12D são muito versáteis pois os pinos de 1 a 8 podem ser utilizados para criar um código que codifica o sinal trazendo ao sistema grande fidelidade 20 Fonte httpdestrotodaviacombrtutorialmodulosrfphp Figura 112 Receptor TX Conclusão Neste bloco foi possível analisar um circuito de comunicação simples com transmissor e receptor Vimos também conceitos e características sobre sinais e como representá los matematicamente Aprendemos a utilizar um software extremamente versátil o Octave que possui sintaxe muito similar ao MATLAB mas de licença open source e em nuvem Também compreendemos como analisar o sinal pela frequência usando a série de Fourier e compreender o papel das harmônicas na formação do sinal REFERÊNCIAS AZNAR Á C Antenas 2 ed Catalunha UPC Edicions 2002 FERRARO N G Física básica 3 ed São Paulo Atual 2009 FUSCO V F Teoria e Técnicas de Antenas Princípios e Prática Ny Bookman 2007 GOMES A T Telecomunicações Transmissão e Recepção 21 ed São Paulo Érica 2014 JEWETT J SERWAY R Física para cientistas e engenheiros Eletricidade e magnetismo Vol 3 ed São Paulo Cengage Learning 2011 21 KNIGHT R D Física 3 uma abordagem estratégica 2 ed Porto Alegre Bookman 2009 MACHADO A F Manual das antenas para radioamadores e radiocidadãos 1 ed Mato Grosso do Sul 2010 Documento eletrônico httpwwwarpinetbrdownloadsmanualantenaspdf Acesso em 31082020 NETO J B Teoria eletromagnética Parte Clássica São Paulo Livraria da Física 2013 OZENBAUGH R L EMI Filter Design NYUSA Marcel Dekker 2001 PAUL C R HARDIN K B Diagnosis and Reduction of Conducted Noise Emissions IEEE TRANSACTIONS ON ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY VOL 30 NO 4 NOVEMBER 1988 TRAUSSNIG W Design of a Communication and Navigation Subsystem for a CubeSat Mission Austria 2007 Documento eletrônico httpsphysikuni grazatspacesciencesarchivefiles ULGIIMasterThesisTraussnigpdf Acesso em 31082020