Derivadas: Conceitos e Aplicações em Cálculo Diferencial e Integral I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PROF ROBERTO CARLOS LOURENÇO 2 BLOCO 3 DERIVADAS PARTE I Neste bloco estudaremos a derivada de uma função apresentando de forma geométrica e algébrica A derivada é uma importante ferramenta da Matemática que pode colaborar com diversas áreas da nossa sociedade sendo na verdade uma ferramenta que mede a taxa de variação de uma função Com o objetivo de explicar da melhor forma esse conteúdo fundamental de Cálculo estudaremos a derivada como taxa de variação a definição da derivada de uma função seguindo em inclinação de uma curva e também conheceremos as derivadas de algumas funções elementares e as propriedades operatórias das derivadas 31 Derivada como taxa de variação Com o gráfico de y fx podemos identificar algumas propriedades dessa função como Crescimento Decrescimento Valores máximos Valores mínimos Em alguns casos a construção do gráfico não é fácil Então podemos utilizar a DERIVADA de uma função Taxa de variação Observando o gráfico da função afim y 2 x 3 temos Nesse caso a taxa de variação referente a cada unidade do x é 2 Observando a tabela de uma função y 3 x 5 temos 3 3 Nesse caso a taxa de variação referente a cada unidade do x é 3 De um modo geral dada uma função afim fx ax b consideremos dois pontos quaisquer x1 e x2 sendo x1 x2 Quando x varia de x1 até x2 fx varia de y1 fx1 a x1 b até y2 fx2 a x2 b ou seja para uma variação de x igual a x2 x1 temos fx2 fx1 a x2 b a x1 b a x2 x1 Calculando a r x x x a x r x x f x f x r 1 2 1 2 1 2 1 2 Então a é a taxa de variação de fx entre x1 e x2 Para uma função afim o estudo do crescimento ou do decrescimento resumese à determinação de sua taxa de variação 1 2 1 2 x x f x f x a que é constante em qualquer intervalo x1 x2 Essa taxa também é chamada DERIVADA de fx ax b Exemplo A temperatura θ de um forno ao ser desligado varia com o tempo de acordo com a expressão θ 300 12 t θ em C e t em minutos até que se atinja a temperatura ambiente que é 16C Qual a derivada de θ em relação a t 4 Portanto a derivada de θ em relação a t é 12C 32 Derivada de uma função De modo geral se uma função y fx não é do 1o grau então a taxa de variação em relação a x não é um valor constante dependendo do ponto que se observa Dessa forma vamos estudar a taxa de variação média entre x1 e x2 generalizando o conceito de DERIVADA para as demais funções Observando o gráfico da função quadrática y x² 4 temos Nesse caso a taxa de variação referente a cada unidade não é constante Observando a tabela de uma função y x³ 10 temos 5 Nesse caso a taxa de variação referente cada unidade não é constante A taxa de variação 1 2 1 2 x x f x f x r depende do intervalo considerado sendo r taxa de variação média entre x1 e x2 Para determinar a taxa de variação de fx em um determinado ponto x0 recorremos à noção de limite 0 0 0 lim 0 x x f x f x x f x x Quando os limites indicados não existem ou não são finitos então dizemos que a função fx não tem derivada no ponto considerado Exemplo Seja fx x² procure a derivada dessa função no ponto onde x 3 ou seja f3 Portanto a derivada dessa função para x 3 é 6 ou seja f3 6 6 33 Inclinação de uma curva A partir do gráfico de uma função podemos obter uma importante interpretação da noção de derivada Estudando as retas secante e tangente ao gráfico da função é possível identificar a inclinação de uma curva Na figura a seguir a reta r é secante ao gráfico da função f pois passa pelos dois pontos A e B Na figura a seguir a reta t é tangente ao gráfico da função f pois passa por pelo P 331 Reta secante A taxa média de variação de f no intervalo a b é o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos P e Q 7 a b f a f b x y Exemplo Determine a taxa média de variação da função fx 2x² 5 no intervalo 0 3 Portanto a taxa média de variação de f no intervalo 0 3 é 6 332 Reta tangente Reta tangente é a aproximação linear de um gráfico em um ponto onde o problema da determinação da inclinação de um gráfico reduz ao se achar o coeficiente angular da tangente naquele ponto Dessa forma definese a inclinação de um gráfico 8 x f x x f x m x lim 0 Onde m é a inclinação de um gráfico f no ponto x fx0 Equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0 fx0 y y0 m x x0 ou fx fx0 m x x0 Onde m é o coeficiente angular 0 0 lim 0 x x f x f x m x x Exemplo Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto em que x 1 3 x f x Resolução Equação da reta tangente tem esse formato y y0 m x x0 9 Portanto a equação da reta tangente é 0 3 2 3 1 1 3 1 1 y x x y 34 Derivada de funções elementares 341 Derivada da função constante Explicação Seja fx c c Є R A derivada de fx pela definição é x f x x f x x f x lim 0 Temos 0 lim 0 lim 0 lim 0 0 0 x x x x x c c x f Portanto a derivada de uma função constante é sempre zero Exemplos Apresente a derivada de cada função 10 0 15 0 0 7 x f f x c x f f x b x f f x a π 342 Derivada da função potência Explicação Seja Z n onde x x f n A derivada de fx pela definição é x f x x f x x f x lim 0 Temos x x x x x f n n x lim 0 Aplicando o desenvolvimento binomial temos 1 1 2 1 0 1 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 lim 2 1 lim 2 1 lim 2 1 lim n n n x x n n x x n n x x n n n x n x n x x f x x x n n nx x f x x x x n n nx x x f x x x x n n x nx x f x x x x x n n x nx x x f Exemplos Apresente a derivada de cada função 11 7 6 4 5 6 5 x x f x f x b x x f x f x a Portanto a derivada da função potência é Z n onde x x f n é 1 n xn x f 343 Derivada da função múltiplo constante Explicação Para hxC fx onde C é um número real e fx uma função temos hxC fx hx C fx Portanto a derivada de uma função h onde existe um número real C multiplicando com uma outra função f basta multiplicar a constante C com a derivada da função f Exemplos Apresente a derivada de cada função 7 7 6 4 4 5 12 2 6 2 35 57 7 x x f x x f x f x b x x f x x f x f x a 344 Derivada da função exponencial Explicação ln 1 0 a a x f então a e a a f x Se x x Portanto a derivada da função exponencial é ln 1 0 a a x f a e a a x f x x 12 Exemplo Apresente a derivada de cada função x x x x x e x f e e x f e f x b x f f x a ln 5 ln 5 5 Sendo e o número de Euler temos esse caso particular 345 Derivada da função logarítmica Explicação a x x f então a e a x f x Se a ln 1 1 0 log Portanto a derivada da função logarítmica é a x x f a e a x x f a ln 1 1 0 log Exemplo Apresente a derivada de cada função x x f e x x f x f x b x x f x f x a e 1 ln 1 log ln 7 1 log 7 Sendo e o número de Euler temos esse caso particular 346 Derivada das funções trigonométricas Explicação Função seno A derivada da função seno é a função cosseno fx sen x fx cos x 13 Função cosseno A derivada da função cosseno é o oposto da função seno fx cos x fx sen x Função tangente sec ² x x f tgx f x Função cotangente ² cos cot ec x x f gx f x Função secante sec sec x tg x x f x f x Função cossecante cot cos cos g x ec x x f ecx f x 35 Propriedades operatórias das derivadas 351 Soma Explicação A derivada da soma é a soma das derivadas Se f e g são funções diferenciáveis de x então g x x f g x dx f x d h x g x f x h x Exemplos Apresente a derivada de cada função a fx 13 x³ 2x² x fx 13 3 x² 2 2 x 1 39 x² 4x 1 b fx x³ senx 7 fx 3x² cosx 0 3x² cosx 14 352 Diferença Explicação A derivada da diferença é a diferença das derivadas Se f e g são funções diferenciáveis de x então g x x f g x dx f x d h x g x f x h x Exemplos Apresente a derivada de cada função a fx 5 x³ 2x² fx 5 3 x² 2 2 x 15 x² 4x b fx x³ cosx 7 fx 3x² senx 0 3x² senx 353 Produto Explicação A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função mais o produto da primeira função pela derivada da segunda função Se f e g são funções diferenciáveis de x então f x g x x g x f dx f x g x d h x f x g x h x Exemplos Apresente a derivada de cada função a fx 5 x³ senx fx 5 3 x² senx 5x³ cosx 15 x²senx 5x³cosx b fx x² tgx fx 2x tgx x² sec²x 354 Quociente Explicação A derivada do quociente de duas funções é igual o produto do denominador pela derivada do numerador menos o produto do numerador pela derivada do denominador tudo dividido pelo quadrado do denominador 15 Se f e g são funções diferenciáveis de x então ² 0 x g f x g x x g x f g x f x dx d h x g x com g x f x h x Exemplo Apresente a derivada da função sec ² cos ² 1 cos ² ² cos ² cos ² cos cos cos x x x sen x x x f x sen x sen x x x x f x sen x x f Conclusão Neste bloco estudamos a derivada como taxa de variação comparando gráficos e tabelas da função definindo a derivada de uma função analisando a inclinação de uma curva Conhecemos também as retas secante e tangente em relação ao gráfico da função as derivadas de algumas funções elementares e as propriedades operatórias das derivadas para ser possível realizar os cálculos necessários Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 IEZZI G DOLCE O TEIXEIRA J C MACHADO N J GOULART M C CASTRO L R S MACHADO A S Matemática São Paulo Atual 1995 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica Tradução de Cyro de Carvalho Patarra 3 ed São Paulo Harbra 1994