Cálculo Diferencial Integral I - Prof. Roberto Carlos Lourenço

CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I PROF ROBERTO CARLOS LOURENÇO 2 SUMÁRIO BLOCO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E FUNÇÕES 3 BLOCO 2 LIMITES 31 BLOCO 3 DERIVADAS PARTE I 48 BLOCO 4 DERIVADAS PARTE II 62 BLOCO 5 DERIVADAS PARTE III 72 BLOCO 6 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE 84 3 BLOCO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E FUNÇÕES Este material foi elaborado com o objetivo de fornecer ferramentas para auxiliar no nivelamento dos conhecimentos necessários para um ótimo desempenho de cada alunoa neste curso Com a expectativa de colaborar com o seu processo de aprendizagem o bloco 1 é composto por conteúdos estudados ao longo dos ensinos fundamental e médio sendo assim uma revisão que irá contribuir como base ao longo de todo o curso Neste bloco estudaremos os conjuntos numéricos revendo as definições dos conjuntos dos números naturais inteiros racionais irracionais e reais Ainda neste bloco teremos um estudo sobre as funções tais como função afim função quadrática função modular função exponencial função logarítmica e funções trigonométricas 11 Conjuntos numéricos A noção de conjuntos é fundamental para ser possível expressar todos os conceitos da Matemática Para termos um conjunto é necessário que tenhamos primeiramente seus elementos pois um conjunto é uma coleção qualquer de objetos Seguem alguns exemplos conjunto das regiões brasileiras Norte Nordeste CentroOeste Sul e Sudeste conjunto dos países integrantes dos BRICS Brasil Rússia Índia China e África do Sul conjunto dos jogadores do time G Alex Dedinho Tonhão Zé Bravo Careca e Salvador conjunto dos números primos 2 3 5 7 11 13 17 Um elemento x qualquer pode ou não ser elemento de um determinado conjunto A Quando o elemento pertence escrevemos x A Quando o elemento não pertence escrevemos x A Exemplo Se P é o conjunto dos países integrantes dos BRICS temos que Brasil P 4 Alemanha P Agora consideremos a propriedade p p x é um número natural par Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto B 0 2 4 6 8 10 Dessa maneira é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou x B 111 Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos Por exemplo A 1 3 5 7 9 11 13 15 e B números naturais ímpares menores que 16 Então A B Se A não é igual a B então A é diferente de B e escrevemos A B 112 Conjuntos vazio unitário e universo O conjunto vazio é definido como um conjunto que não possui elementos e pode ser representado por ou Exemplo A x x é um número negativo maior que 2 A pois não existe número negativo maior que 2 O conjunto formado por um único elemento é chamado de conjunto unitário Exemplo B x x é um número primo e par temos que B 2 O conjunto universo de notação U é o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto É fundamental saber em qual universo estamos trabalhando Por exemplo se U é definido por U 0 1 2 7 9 então a equação x 9 8 não tem solução porém se U é definido por U 1 0 1 2 7 9 então a equação tem como solução x 1 113 Números naturais N O conjunto dos números naturais é representado por 5 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O sucessor de um número natural é o número natural que vem imediatamente depois dele Assim o sucessor de 2 é 3 de 3 é 4 de 5 é 6 etc Observe que o zero é o único natural que não é sucessor de outro natural Para o subconjunto N temos que o elemento zero foi retirado do conjunto N sendo assim N N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação ou seja a soma e o produto de dois elementos naturais resultam sempre um número natural Já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural Exemplo De 7 9 não é possível obter uma solução no conjunto dos números naturais surgindo a necessidade de trabalhar com os números negativos 114 Números inteiros Z Explicação Acrescentando os números inteiros negativos no conjunto N obtemos o conjunto Z representado como Z 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Além de N temos outros subconjuntos de Z Z Z 0 Conjunto dos números inteiros não negativos Z 0 1 2 3 4 5 6 Conjunto dos números inteiros não positivos Z 6 5 4 3 2 1 0 Conjunto dos inteiros positivos Z 1 2 3 4 5 6 Conjunto dos inteiros negativos Z 6 5 4 3 2 1 No conjunto Z é sempre possível efetuar adição subtração e multiplicação de dois números inteiros que sempre resultam em número inteiro Já a divisão de dois números inteiros nem sempre resulta em um número inteiro 6 3 2 é possível em Z 8 2 4 é possível em Z 6 5 3 não é possível em Z existindo a necessidade de conhecer as frações 115 Números racionais Q Explicação Todo número racional pode ser escrito na forma b a com a Z b Z Exemplo 3 7 21 2 4 3 7 2 9 etc Assim escrevemos 0 b e Z b Z a b com a x x Q No conjunto Q as quatro operações fundamentais são possíveis e valem todas as propriedades que valem para os inteiros Certamente devemos lembrar que a divisão por zero é impossível e o símbolo 0 a não tem significado Desafio Pesquise a representação decimal dos números racionais determinação da geratriz da decimal e número racional na forma mista 116 Números irracionais I Número irracional é todo número que está ou pode ser escrito na forma decimal infinita e não periódica Um dos números irracionais mais conhecidos é o π que é a razão entre o comprimento de uma circunferência e a medida do seu diâmetro π 31415926535898 As raízes quadradas não exatas de números naturais também são números irracionais Utilizando uma calculadora determine os valores de 21 17 5 3 2 7 117 Números reais R Da reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto dos números reais R R x x é racional ou x é irracional Com o conjunto R dos números reais a reta fica completa ou seja a cada ponto da reta corresponde um único número real e reciprocamente a cada número real corresponde um único ponto da reta Temos assim a reta real com apenas alguns números reais O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui Importante Além dos números reais existem os números complexos A raiz de índice par e radicando negativo é impossível em R pois por exemplo não existe número real que elevado ao quadrado dê um número negativo Assim 9 não é um número real 8 118 Intervalos reais Podemos fazer as operações usuais de conjuntos para intervalos reais uma vez que são subconjuntos de R Lembrando que para a e b reais com a b temos as seguintes notações para intervalos I Intervalo fechado x x Є R e a x b a b II Intervalo aberto x x Є R e a x b a b a b III Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita x x Є R e a x b a b a b IV Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita x x Є R e a x b a b a b V Intervalo ilimitado à direita e fechado de origem a x x Є R e x a a a VI Intervalo ilimitado à direita e aberto de origem a x x Є R e x a a a VII Intervalo ilimitado à esquerda e fechado de origem a x x Є R e x a a a VIII Intervalo ilimitado à esquerda e aberto de origem a 9 x x Є R e x a a a 12 Par Ordenado Produto Cartesiano e Relação 121 Sistema cartesiano ortogonal Consideremos num plano os eixos x e y perpendiculares que se cruzam num ponto O chamado origem Eles determinam quatro quadrantes I II III e IV 122 Par ordenado Cada ponto do plano é determinado por um par ordenado de números conforme mostra a figura a seguir 123 Produto cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos A e B não vazios é definido por A B A x B a b a Є A e b Є B Exemplo Dados os conjuntos A 2 4 6 e B 1 3 5 determine A B 10 Temos que A B 2 1 2 3 2 5 4 1 4 3 4 5 6 1 6 3 6 5 Reflita será que A B B A Representação gráfica do produto cartesiano Exemplo Dados os conjuntos A 2 4 6 e B 1 3 5 determine A B A B 2 1 2 3 2 5 4 1 4 3 4 5 6 1 6 3 6 5 124 Relação Denominamos relação de A em B todo subconjunto R de A x B R é uma relação de A em B R AxB Exemplo 1 Se A 1 2 e B 0 3 7 determine R sendo R x y Є A B x y Resolução A B 1 0 1 3 1 7 2 0 2 3 2 7 R x y Є A B x y x y R 1 0 2 0 Exemplo 2 Se A 1 2 e B 0 1 2 determine R sendo R x y Є A B x y Resolução A B 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 11 R x y Є A B x y x y R 1 1 2 2 Exemplo 3 Se A 1 2 e B 0 1 3 determine R sendo R x y Є A B x y 5 Resolução A B 1 0 1 1 1 3 2 0 2 1 2 3 R x y Є A B x y 5 x y 5 R 2 3 13 Funções 131 Definição e notação de função Sendo A e B conjuntos não vazios temos Uma função de A em B é uma relação que a todo elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B f A B f de A em B para indicar uma função de A em B A é Domínio de f Df B é Contradomínio de f y fx é Imagem de f Imf 132 Domínio de uma função real Numa função real f o domínio D é o maior subconjunto de R tal que a fórmula y fx defina uma função f D em R Exemplos Apresente o domínio de cada função real a 7 ² ³ x x x f x Resolução Existe alguma restrição para x Nesse caso não Sendo assim D f R 12 b x f x 3 Resolução Existe alguma restrição para x x 0 Sendo assim D f R c 12 3 1 x x f Resolução Existe alguma restrição Sim É 3x 12 0 3x 12 0 3x 12 x 4 Sendo assim D f 4 133 Imagem de uma função 134 Função crescente e função decrescente Consideremos dois elementos quaisquer 2 1 x e x de um subconjunto A do domínio de uma função f dizemos que f é uma função crescente em A quando para 13 2 1 x x temos 2 1 f x f x f é uma função decrescente em A quando para 2 1 x x temos 2 1 f x f x Exemplos 1 Os gráficos representam funções Identifique cada função como crescente ou decrescente 2 Considere o gráfico a seguir que representa uma função responda para que valores reais de x a função é crescente e decrescente 14 135 Função composta Exemplos Sejam fx 3x 1 e gx 4x 2 determine a gf3 Resolução f3 3 3 1 10 gf3 g10 4 10 2 38 gf3 38 b fg3 Resolução g3 4 3 2 10 fg3 f10 3 10 1 31 fg3 31 c gfx Resolução fx 3x 1 gfx g3x1 4 3x 1 2 12x 4 2 gfx 12x 2 15 14 Funções afim e quadrática 141 Função afim ou função do 1o grau Uma função f R em R chamase função afim quando existem dois números reais a e b tais que fx a x b para todo x Є R a coeficiente angular b coeficiente linear Exemplos fx 3 x 7 fx x a 1 e b 0 função identidade fx 5 x a 0 e b 0 função linear fx x 3 a 1 e b 0 função translação Valor da função afim Exemplos Dada a função afim fx 2 x 3 determine a f4 2 4 3 5 b f1 2 1 3 1 c f5 2 5 3 7 d f0 2 0 3 3 e 2 5 2 6 1 3 2 1 3 4 2 1 4 1 f Função constante Se na função afim y a x b tivermos a 0 teremos a função constante que é uma aplicação de R em R e que associa a cada elemento x Є R sempre o mesmo elemento b Є R f R em R y fx b Exemplos a y 2 b fx 5 16 c Na contratação de um serviço como um pacote de serviço de telefonia onde a pessoa paga um valor fixo mensal independentemente da quantidade de ligações realizadas Outras representações 17 142 Função quadrática ou função do 2º grau Uma função f R em R chamase quadrática quando existem números reais a b c com a 0 tais que fx a x² b x c para todo x Є R Exemplos a y 3x² 7x 9 b fx x² 8x 10 c gx 5x² 100 Valor da função quadrática Exemplos Dada a função fx 3x² 5x 1 determine a f0 3 0² 5 0 1 1 b f1 3 1² 5 1 1 1 c f2 3 2² 5 2 1 23 d f4 3 4² 5 4 1 29 18 Situaçãoproblema Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e outros aparatos esportivos que estão à sua volta com tela de alambrado Tendo recebido 200 metros de tela os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível 19 15 Funções exponencial logarítmica modular e trigonométrica 151 Função exponencial Dado um número real a a 0 e a 1 denominase função exponencial de base a uma função R R f definida por x x a y ou a f x Exemplos a x f x 3 b x f x 5 c x f x 2 1 d x f x 7 e 3 1 x f x Reflita Diante da definição dada o que aconteceria i se a 0 e x negativo ii se a 0 e x ½ iii se a 1 e x um real qualquer 20 Gráfico da função exponencial Como podemos observar para a 1 a função é crescente e para 0 a 1 a função é decrescente Exemplos a x f x 2 b x f x 2 1 21 152 Função logarítmica A função g que associa a cada número real x 0 o número real loga x com a 0 e a 1 é chamada de função logarítmica de base a e é indicada por x x g loga em que ax x g R e D g 1 São exemplos de função logarítmica as funções de R em R definidas por a x x g log7 b x x f log5 c x x g 2 log1 Gráfico da função logarítmica Função crescente quando a 1 22 Função decrescente quando 0 a 1 Exemplos a x x f log2 23 b x x f 2 log1 153 Função modular A função f de R em R que a todo número x associa o seu módulo é denominada função modular x y x R R f a Tendo em vista a definição de x podemos descrever a função modular por 0 0 x para x x para x y 24 Gráfico da função modular 25 154 Funções seno e cosseno Função seno sen é a função de R em R que a todo número α associa a ordenada do ponto P imagem de α no círculo trigonométrico Eixo dos cossenos 26 2 OP é a medida algébrica do segmento 2 OP quando o raio é tomado como unidade Dizemos também que 2 OP é o seno de AÔP ou do arco AP e indicamos sen AÔP senα 2 OP O eixo Oy passa a ser denominado eixo dos senos Gráfico da função seno y senx Já a função cosseno cos é a função de R em R que a todo número α associa a ordenada do ponto P imagem de α no círculo trigonométrico 1 OP é a medida algébrica do segmento 1 OP quando o raio é tomado como unidade Dizemos também que 1 OP é o cosseno de AÔP ou do arco AP e indicamos Eixo dos cossenos 27 cos AÔP cosα 1 OP O eixo Ox passa a ser denominado eixo dos cossenos Gráfico da função cosseno y cosx Círculo trigonométrico Para as funções seno e cosseno onde para cada par ordenado primeiro é o valor do cosseno e depois do seno 28 155 Funções tangente e cotangente A definição da função tangente de x para x Є R desde que cosx 0 é dada por 0 cos cos x x senx tgx Assim o domínio D da função f definida por fx tgx é dada por todos os x Є R tais que cosx 0 isto é Z k k x e R x x D 2 π π 29 Gráfico da função tangente A definição da função cotangente de x para x Є R desde que sen x 0 é dada por 0 cos cot senx senx x gx Assim o domínio D da função f definida por fx cotgx é dada por todos os x Є R tais que sen x 0 isto é Z k k x e R x x D π 30 Gráfico da função cotangente Conclusão Neste bloco estudamos os conjuntos numéricos naturais inteiros racionais irracionais e reais intervalos numéricos as funções afim constante quadrática exponencial logarítmica modular e trigonométricas seno cosseno tangente e cotangente Essa revisão é fundamental para um melhor desempenho nos próximos blocos e assim ser possível consolidar as expectativas de aprendizagem Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2005 IEZZI G MURAKAMI C Fundamentos da matemática elementar 1 conjuntos e funções São Paulo Atual 2004 31 BLOCO 2 LIMITES As ideias centrais do Cálculo surgiram no século XVII mais ou menos simultaneamente com os trabalhos de Newton Isaac Newton 16421727 e Leibnitz Gottfried Wilhelm Leibnitz 16461716 objetivando a resolução de determinados problemas de Mecânica e Geometria Rapidamente porém o Cálculo Diferencial tornouse um instrumento poderoso em muitos outros ramos da Matemática e da Física e em outras ciências como a Economia a Biologia e a Psicologia Para uma introdução ao Cálculo Diferencial que estudaremos nesta disciplina começamos agora com a ideia de limite de uma função aproveitando antes o lado intuitivo e chegaremos à elaboração de uma definição de limite Veremos ainda as propriedades dos limites limites das funções racionais limites infinitos e limites no infinito 21 Conceito intuitivo de limite a ideia de limite A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores Vamos observar a tabela e o gráfico de uma função 2 32 Definição Dada uma função f definida num intervalo D dizemos que o limite de fx quando x tende a t é L L x f x t lim se é possível tomar valores de fx arbitrariamente próximos de L tomando x suficiente próximo de t mas não igual a t O limite de fx para x tendendo a t é igual a L se e somente se o limite lateral de fx para x tendendo a t pela esquerda for igual ao limite lateral de fx para x tendendo a t pela direita e estes forem iguais a L Exemplos 1 Considere o gráfico que representa a função f 33 a Quando x se aproxima de 2 pela esquerda o fx se aproxima de qual o valor 2 lim 2 x f x b Quando x se aproxima de 2 pela direita o fx se aproxima de qual o valor 2 lim 2 x f x c Quando x tende a 2 o fx assume qual valor 2 lim 2 x f x 2 Consideremos a função definida em R por 2 5 2 2 2 1 2 x se x se x x x x f Qual o limite de f quando x tende a 5 Mesmo que f2 5 diante da sentença isso não determina que o limite para essa função quando x tende a 2 será o mesmo que f2 O correto é 3 lim 2 x f x 34 22 Propriedades dos limites A definição de limite permite provar que L x f x t lim mas não indica como obter L Além disso são grandes as dificuldades que surgem ao aplicála para funções um pouco mais elaboradas Veremos agora as propriedades que eliminaram parte dessas dificuldades 37 23 Limites das funções racionais 231 Função Racional Temos uma função racional quando Q x P x f x sendo Qx0 38 Função racional própria ocorre quando o grau de Px é menor que o grau de Qx Função racional imprópria ocorre quando o grau de Px é maior ou igual o grau de Qx ou Px é função identicamente nula 232 Limites de funções racionais 40 24 Limites infinitos e limites no infinito 241 Limites infinitos No tópico anterior calculamos o limite de fx gx para x tendendo a t onde gt 0 e também quando ft 0 e gt 0 Agora vamos estudar quando ft 0 e gt 0 43 242 Limites no infinito Estudando limites no infinito é possível identificar que é a variável independente que cresce ou diminui infinitamente Seja fx Px Qx uma função racional e lim Q x x P x Então a resposta para esse limite pode ser 45 25 Calculando limites Nesse momento vamos resolver alguns cálculos de limites Exercícios 1 Calcule 8 7 ² 9 2 ² 5 ³ lim 1 x x x x x x Resolução Qual o melhor caminho para calcular esse limite solicitado a Realizar uma divisão entre os polinômios b Fazer o gráfico da função c Substituir o x da função por 1 Resposta correta c Substituir o x da função por 1 2 5 8 1 7 2 1 9 5 8 17 ²1 1 9 ²12 ³15 8 7 ² 9 2 ² 5 ³ lim 1 x x x x x x 2 Calcule 3 9 ² lim 3 x x x Resolução Ao substituir o x por 3 está correto afirmar que a o resultado desse limite é 0 b não existe resultado para esse caso c é necessário simplificar essa função Resolução Alternativa c pois 0 0 3 3 9 9 3 3 9 ²3 46 3 ²3 ² 3 9 ² x x x x ção Simplifica ² ² b a b a b a Lembrete 3 3 3 3 3 ²3 ² 3 9 ² x x x x x x x x 6 3 3 3 lim 3 9 ² lim 3 3 x x x x x 3 Calcule 9 4 ² 12 27 54 36 ² 8 ³ lim 2 3 x x x x x x Resolução Ao substituir o x por 32 está correto afirmar que a o numerador dessa função será diferente de 0 b o numerador e denominador dessa função resultam em zero c o limite resultará em menos infinito Alternativa b é a correta pois 0 0 9 9 18 81 81 27 27 9 43 2² 123 2 27 543 2 363 2² 83 2³ Podemos simplificar trabalhando com divisão de polinômios 47 0 3 3 3 2 2 3 3 lim2 9 4 ² 12 27 54 36 ² 8 ³ lim 2 3 2 3 x x x x x x x x 4 Calcule 2 4 3 9 3 ³ 7 lim 5 5 x x x x x x Resolução 2 4 3 lim 9 3 ³ 7 lim 2 4 3 9 3 ³ 7 lim 5 5 5 5 x x x x x x x x x x x x x Qual propriedade foi usada a Soma b Produto c Quociente Alternativa c é a correta 48 Conclusão Neste tópico foi possível estudar o limite de diversos tipos de funções Compreendemos que o limite é número real e que esse assunto será fundamental para o estudo das derivadas e integrais Para conceituar o limite começamos com a ideia intuitiva analisando funções tabelas e gráficos chegando à definição e propriedades e resolvendo alguns casos para uma melhor compreensão do conteúdo estudado Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 IEZZI G DOLCE O TEIXEIRA J C MACHADO N J GOULART M C CASTRO L R S MACHADO A S Matemática São Paulo Atual 1995 LEITHOLD L O Cálculo com geometria analítica Tradução de Cyro de Carvalho Patarra 3 ed São Paulo Harbra 1994 BLOCO 3 DERIVADAS PARTE I Neste bloco estudaremos a derivada de uma função apresentando de forma geométrica e algébrica A derivada é uma importante ferramenta da Matemática que pode colaborar com diversas áreas da nossa sociedade sendo na verdade uma ferramenta que mede a taxa de variação de uma função Com o objetivo de explicar da melhor forma esse conteúdo fundamental de Cálculo estudaremos a derivada como taxa de variação a definição da derivada de uma função seguindo em inclinação de uma curva e também conheceremos as derivadas de algumas funções elementares e as propriedades operatórias das derivadas 31 Derivada como taxa de variação Com o gráfico de y fx podemos identificar algumas propriedades dessa função como Crescimento Decrescimento Valores máximos Valores mínimos Em alguns casos a construção do gráfico não é fácil Então podemos utilizar a DERIVADA de uma função 3 49 Taxa de variação Observando o gráfico da função afim y 2 x 3 temos Nesse caso a taxa de variação referente a cada unidade do x é 2 Observando a tabela de uma função y 3 x 5 temos Nesse caso a taxa de variação referente a cada unidade do x é 3 De um modo geral dada uma função afim fx ax b consideremos dois pontos quaisquer x1 e x2 sendo x1 x2 Quando x varia de x1 até x2 fx varia de y1 fx1 a x1 b até y2 fx2 a x2 b ou seja para uma variação de x igual a x2 x1 temos fx2 fx1 a x2 b a x1 b a x2 x1 Calculando a r x x x a x r x x f x f x r 1 2 1 2 1 2 1 2 Então a é a taxa de variação de fx entre x1 e x2 Para uma função afim o estudo do crescimento ou do decrescimento resumese à determinação de sua taxa de variação 50 1 2 1 2 x x f x f x a que é constante em qualquer intervalo x1 x2 Essa taxa também é chamada DERIVADA de fx ax b Exemplo A temperatura θ de um forno ao ser desligado varia com o tempo de acordo com a expressão θ 300 12 t θ em C e t em minutos até que se atinja a temperatura ambiente que é 16C Qual a derivada de θ em relação a t Portanto a derivada de θ em relação a t é 12C 32 Derivada de uma função De modo geral se uma função y fx não é do 1o grau então a taxa de variação em relação a x não é um valor constante dependendo do ponto que se observa Dessa forma vamos estudar a taxa de variação média entre x1 e x2 generalizando o conceito de DERIVADA para as demais funções Observando o gráfico da função quadrática y x² 4 temos 51 Nesse caso a taxa de variação referente a cada unidade não é constante Observando a tabela de uma função y x³ 10 temos Nesse caso a taxa de variação referente cada unidade não é constante A taxa de variação 1 2 1 2 x x f x f x r depende do intervalo considerado sendo r taxa de variação média entre x1 e x2 Para determinar a taxa de variação de fx em um determinado ponto x0 recorremos à noção de limite 0 0 0 lim 0 x x f x f x x f x x Quando os limites indicados não existem ou não são finitos então dizemos que a função fx não tem derivada no ponto considerado Exemplo Seja fx x² procure a derivada dessa função no ponto onde x 3 ou seja f3 52 Portanto a derivada dessa função para x 3 é 6 ou seja f3 6 33 Inclinação de uma curva A partir do gráfico de uma função podemos obter uma importante interpretação da noção de derivada Estudando as retas secante e tangente ao gráfico da função é possível identificar a inclinação de uma curva Na figura a seguir a reta r é secante ao gráfico da função f pois passa pelos dois pontos A e B Na figura a seguir a reta t é tangente ao gráfico da função f pois passa por pelo P 53 331 Reta secante A taxa média de variação de f no intervalo a b é o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos P e Q a b f a f b x y Exemplo Determine a taxa média de variação da função fx 2x² 5 no intervalo 0 3 54 Portanto a taxa média de variação de f no intervalo 0 3 é 6 332 Reta tangente Reta tangente é a aproximação linear de um gráfico em um ponto onde o problema da determinação da inclinação de um gráfico reduz ao se achar o coeficiente angular da tangente naquele ponto Dessa forma definese a inclinação de um gráfico x f x x f x m x lim 0 Onde m é a inclinação de um gráfico f no ponto x fx0 Equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0 fx0 y y0 m x x0 ou fx fx0 m x x0 Onde m é o coeficiente angular 55 0 0 lim 0 x x f x f x m x x Exemplo Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto em que x 1 3 x f x Resolução Equação da reta tangente tem esse formato y y0 m x x0 Portanto a equação da reta tangente é 0 3 2 3 1 1 3 1 1 y x x y 34 Derivada de funções elementares 341 Derivada da função constante Explicação Seja fx c c Є R A derivada de fx pela definição é x f x x f x x f x lim 0 56 Temos 0 lim 0 lim 0 lim 0 0 0 x x x x x c c x f Portanto a derivada de uma função constante é sempre zero Exemplos Apresente a derivada de cada função 0 15 0 0 7 x f f x c x f f x b x f f x a π 342 Derivada da função potência Explicação Seja Z n onde x x f n A derivada de fx pela definição é x f x x f x x f x lim 0 Temos x x x x x f n n x lim 0 Aplicando o desenvolvimento binomial temos 57 1 1 2 1 0 1 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 lim 2 1 lim 2 1 lim 2 1 lim n n n x x n n x x n n x x n n n x n x n x x f x x x n n nx x f x x x x n n nx x x f x x x x n n x nx x f x x x x x n n x nx x x f Exemplos Apresente a derivada de cada função 7 6 4 5 6 5 x x f x f x b x x f x f x a Portanto a derivada da função potência é Z n onde x x f n é 1 n xn x f 343 Derivada da função múltiplo constante Explicação Para hxC fx onde C é um número real e fx uma função temos hxC fx hx C fx Portanto a derivada de uma função h onde existe um número real C multiplicando com uma outra função f basta multiplicar a constante C com a derivada da função f 58 Exemplos Apresente a derivada de cada função 7 7 6 4 4 5 12 2 6 2 35 57 7 x x f x x f x f x b x x f x x f x f x a 344 Derivada da função exponencial Explicação ln 1 0 a a x f então a e a a f x Se x x Portanto a derivada da função exponencial é ln 1 0 a a x f a e a a x f x x Exemplo Apresente a derivada de cada função x x x x x e x f e e x f e f x b x f f x a ln 5 ln 5 5 Sendo e o número de Euler temos esse caso particular 345 Derivada da função logarítmica Explicação a x x f então a e a x f x Se a ln 1 1 0 log Portanto a derivada da função logarítmica é a x x f a e a x x f a ln 1 1 0 log Exemplo Apresente a derivada de cada função 59 x x f e x x f x f x b x x f x f x a e 1 ln 1 log ln 7 1 log 7 Sendo e o número de Euler temos esse caso particular 346 Derivada das funções trigonométricas Explicação Função seno A derivada da função seno é a função cosseno fx sen x fx cos x Função cosseno A derivada da função cosseno é o oposto da função seno fx cos x fx sen x Função tangente sec ² x x f tgx f x Função cotangente ² cos cot ec x x f gx f x Função secante sec sec x tg x x f x f x Função cossecante cot cos cos g x ec x x f ecx f x 60 35 Propriedades operatórias das derivadas 351 Soma Explicação A derivada da soma é a soma das derivadas Se f e g são funções diferenciáveis de x então g x x f g x dx f x d h x g x f x h x Exemplos Apresente a derivada de cada função a fx 13 x³ 2x² x fx 13 3 x² 2 2 x 1 39 x² 4x 1 b fx x³ senx 7 fx 3x² cosx 0 3x² cosx 352 Diferença Explicação A derivada da diferença é a diferença das derivadas Se f e g são funções diferenciáveis de x então g x x f g x dx f x d h x g x f x h x Exemplos Apresente a derivada de cada função a fx 5 x³ 2x² fx 5 3 x² 2 2 x 15 x² 4x b fx x³ cosx 7 fx 3x² senx 0 3x² senx 353 Produto Explicação A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função mais o produto da primeira função pela derivada da segunda função 61 Se f e g são funções diferenciáveis de x então f x g x x g x f dx f x g x d h x f x g x h x Exemplos Apresente a derivada de cada função a fx 5 x³ senx fx 5 3 x² senx 5x³ cosx 15 x²senx 5x³cosx b fx x² tgx fx 2x tgx x² sec²x 354 Quociente Explicação A derivada do quociente de duas funções é igual o produto do denominador pela derivada do numerador menos o produto do numerador pela derivada do denominador tudo dividido pelo quadrado do denominador Se f e g são funções diferenciáveis de x então ² 0 x g f x g x x g x f g x f x dx d h x g x com g x f x h x Exemplo Apresente a derivada da função sec ² cos ² 1 cos ² ² cos ² cos ² cos cos cos x x x sen x x x f x sen x sen x x x x f x sen x x f Conclusão Neste bloco estudamos a derivada como taxa de variação comparando gráficos e tabelas da função definindo a derivada de uma função analisando a inclinação de uma curva Conhecemos também as retas secante e tangente em relação ao gráfico da função as derivadas de algumas funções elementares e as propriedades operatórias das derivadas para ser possível realizar os cálculos necessários 62 Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 IEZZI G DOLCE O TEIXEIRA J C MACHADO N J GOULART M C CASTRO L R S MACHADO A S Matemática São Paulo Atual 1995 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica Tradução de Cyro de Carvalho Patarra 3 ed São Paulo Harbra 1994 BLOCO 4 DERIVADAS PARTE II Neste novo bloco estudaremos algumas técnicas de derivação Seguindo com o objetivo de explicar da melhor forma este conteúdo estudaremos a derivada de uma função composta apresentando a Regra da Cadeia ferramenta importantíssima A derivada da função inversa também será um tópico assim como a regra de LHôpital para auxiliar no cálculo de limite derivadas superiores e derivada da função implícita 41 Derivada da Função Composta 411 Função composta Sendo gx uma função de domínio A e conjunto imagem B e fx uma função de domínio B e conjunto imagem C denominamos função composta fx com gx à função hx fgx de domínio A e conjunto imagem C Indicamos hx fgx ou h f o g Estudando um caso Dadas as funções fx 2 x 5 e gx x² x 1 calcule a f gx Para desenvolver esse problema iniciamos substituindo o gx 4 63 fx² x 1 2 x² x 1 5 2x² 2x 2 5 2 x² 2 x 7 Sendo assim fgx 2 x² 2 x 7 b g o f Importante lembrar que g o f é a mesma coisa que gfx sendo assim gfx g 2x 5 2x5² 2x 5 1 4x² 20x 25 2x 5 1 4 x² 18 x 21 Portanto g o f x 4 x² 18 x 21 Isso significa que uma função pode ser definida em termos de outras funções isto é pela composição dessas funções Daí o nome função composta 412 Regra da Cadeia Se f e g forem diferenciáveis e F f o g for uma função composta definida por Fx fgx então F é diferenciável e F é dada pelo produto Fx fgx gx Na notação de Leibniz se y fu e u gx forem funções diferenciáveis então dx du du dy dx dy Importante notar que ao usarmos a Regra da Cadeia trabalhamos de fora para dentro onde diferenciamos a função de fora f na função de dentro g e então multiplicamos pela derivada da função de dentro g x g x f g x f dx d Exemplos Calcule a derivada de hx sen 7 2x Resolução É importante reparar que hx é uma função composta onde temos fx sen x e gx 7 2 x sendo hx fgx Para um caso como esse aplicamos a Regra da Cadeia hx fgx gx Onde desenvolvemos da seguinte forma fx sen x fx cos x 64 gx 7 2 x gx 2 Agora temos hx sen 7 2x hx cos 7 2x 2 2 cos 7 2x Lembrando que trabalhamos de fora para dentro onde diferenciamos a função de fora f na função de dentro g e então multiplicamos pela derivada da função de dentro Calculemos as derivadas de algumas funções a gx ln 5x² 1 Podemos trabalhar com a Regra da Cadeia da seguinte maneira Fazendo u 5x² 1 e z ln u temos ux 10 x e zu 1u Então x x z u u x g x 1 10 5 ² 1 b Fx x² x 1³ Usando a Regra da Cadeia temos u x² x 1 e z u³ ux 2x 1 zu 3 u² Fx zu ux 3 x² x 1² 2x 1 c y cos tg x u tg x e z cos u ux sec ² x zu sen u y zu ux sen tgx sec ² x d x x g x 7 ² u x² 7x e z 2 1 u u ux 2 x 7 u u u z u 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 65 gx zu ux x x x x x x 7 ² 2 7 2 7 2 7 ² 2 1 42 Derivada da Função Inversa Compreender a regra que determina a derivada de uma função inversa como ferramenta para derivar outra função quando a mesma possui inversa Seja y yx uma função inversível derivável no ponto x onde yx 0 Temos que a função inversa é representada por x xy é derivável no ponto y sendo y yx e calculemos a sua derivada como x y y x 1 Como y yx é derivável e yx 0 temos 1 lim 1 lim 1 lim 0 0 0 y x x y x y y x y x x x y 1 y x x y Exemplo Seja a função y 5x 7 apresente a derivada da sua inversa Resolução Apresente a derivada da função a seguir y 5 x 66 Apresente a derivada da função a seguir y 5 x Apresente a derivada da função inversa de y x³ 2 no ponto y 6 67 43 Regra de LHôpital Compreender a regra de LHôpital como ferramenta para calcular o limite de função racional nos casos onde há indeterminação do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito Sejam f e g funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos I com gx 0 para qualquer x Є I Exemplos 69 44 Derivadas Superiores Compreenda que se existir uma função diferenciável então a sua derivada também é uma função Se f for uma função diferenciável então sua derivada f é também uma função logo f poderia ter sua própria derivada denotada por ff Pela notação de Leibniz temos ² ² ² D f x dx d y dx dy dx d É chamada de derivada segunda A derivada terceira f é a derivada da derivada segunda f f ³ ³ ³ ² ² D f x dx d y dx d y dx d x f O processo pode ser contínuo onde a derivada nésima de f é denotada por D f x dx d y x f y n n n n n Exemplos Se fx x cos x determine fx 71 1 1 1 12 2 1 1 n n n n n n x n x f ou x n n n x f 45 Derivada da Função Implícita Compreenda o método da diferenciação implícita que consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a equação resultante para y As funções encontradas até o momento podem ser descritas expressandose uma variável explicitamente em termos de outra ³ 1 x sen x y ou x y Em geral y fx Exemplos Encontre y para x³ 2 x 2 y³ y² 2 Resolução Fx x³ 2x e Gx 2y³ y² 2 2 ² 2 ³ 2 ³ y y dx d x dx x d 6 ² 2 2 3 ² y y y y x 2 6 ² 2 3 ² y y y x y y x y 2 6 ² 2 3 ² Encontre y para x² y² 25 Resolução Encontre y para x³ y³ 6xy 72 Resolução Conclusão Neste bloco estudamos algumas regras de derivação que serão usadas ao longo do curso As regras estudadas foram Regra da Cadeia para derivar função composta regra da função inversa e Regra de LHôpital Ainda estudamos Derivadas Superiores e Derivada da Função Implícita Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 IEZZI G DOLCE O TEIXEIRA J C MACHADO N J GOULART M C CASTRO L R S MACHADO A S Matemática São Paulo Atual 1995 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica Tradução de Cyro de Carvalho Patarra 3 ed São Paulo Harbra 1994 STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira Thomson Learning 2002 v 1 BLOCO 5 DERIVADAS PARTE III Neste bloco estudaremos algumas aplicações das derivadas onde será possível compreender que a derivada contribui entre outras ações para identificar o intervalo de crescimento e decrescimento de uma função o máximo local e mínimo local Na sequência a derivada segunda ajuda a identificação do formato do gráfico da função informando quando a concavidade do gráfico está para cima ou para baixo Em Física a derivada é uma ferramenta para determinar a função velocidade e aceleração e na Economia é possível usála na análise das funções lucro receita e custo com as funções marginais 5 73 51 Significado do Sinal das Derivadas Primeira e Segunda 511 Sinal da Derivada Primeira Crescimento e Decrescimento de uma função O estudo sobre derivada de uma função indica que a mesma pode ser aplicada em muitas áreas e situações Neste momento será possível compreender um pouco mais sobre como analisar o desenvolvimento de uma função em um determinado intervalo Como fx representa a inclinação da curva y fx no ponto x fx onde ela nos informa a direção segundo a qual a curva segue em cada ponto Assim é razoável esperar que a informação sobre fx nos dê informações sobre fx Observe a figura a seguir É possível identificar que entre A e B assim como entre C e D as retas tangentes têm inclinação positiva coeficiente angular logo fx 0 Entre B e C a reta tangente têm inclinação negativa portanto fx 0 Dessa forma suponhamos f derivável em todos os pontos de um intervalo I temos que fx 0 para todo x do interior de I então f é crescente em I fx 0 para todo x do interior de I então f é decrescente em I Exemplos Crescimento e Decrescimento de uma função Estude quanto ao crescimento e decrescimento a função f em cada caso a fx 5x 12 Resolução Realizando a derivada de f temos fx 5 74 Sendo fx 0 para todo x real logo f é uma função crescente em R b fx x³ 2x Resolução Realizando a derivada de f temos fx 3x² 2 Sendo fx 0 para todo x real logo f é uma função decrescente em R c 1 5 2 ² 3 ³ x x x f x Resolução Realizando a derivada de f temos fx x² 4 x 5 x 1x 5 Nesse caso temos dois valores que tornam fx 0 ou seja x 5 e x 1 Para esse caso podemos utilizar uma tabela para estudar a função Valores para x fx f x 5 positiva Crescente em 5 5 x 1 negativa Decrescente em 5 1 x 1 positiva Crescente em 1 Portanto para f temos crescente em 5 decrescente em 5 1 e crescente em 1 512 Sinal da Derivada Segunda Determinação da Concavidade A derivada segunda nos ajuda a determinar os intervalos de concavidade Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I então ele é chamado de côncavo para cima no intervalo I figura a Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes em I é chamado de côncavo para baixo em I figura b 75 Figura a Figura b Seja f uma função com derivada segunda em um intervalo aberto I se fx 0 para todo x em I então f é côncava para cima em I se fx 0 para todo x em I então f é côncava para baixo em I Exemplo Determinação da Concavidade Determine as concavidades do gráfico da função fx x³ 2x² 5x 6 Resolução No primeiro momento realizamos a derivada segunda de f fx x³ 2x² 5x 6 fx 3x² 4x 5 fx 6x 4 Depois com fx 0 localizamos o valor de x para ser possível identificar quando fx é positiva e negativa fx 6x 4 0 x 46 x 23 Assim podemos analisar a concavidade de f estudando os intervalos 3 2 3 2 e Valores para x fx Concavidade de f x 23 negativa Côncava para baixo x 23 positiva Côncava para cima 76 Logo o gráfico dessa curva tem concavidade para baixo para x 23 e concavidade para cima para x 23 513 Derivada Segunda Ponto de Inflexão Um ponto P sobre uma curva é chamado de ponto de inflexão se a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou viceversa Se a fa é um ponto de inflexão do gráfico de f então ou fa 0 ou fa não existe Exemplo Determine os pontos de inflexão para a função fx x³ 3x² 7x 9 Resolução Primeiramente determinamos fx fx x³ 3x² 7x 9 fx 3x² 6x 7 fx 6x 6 Agora fx 0 para qual valor de x temos essa igualdade 6x 6 0 x 1 Sendo assim quando x 1 temos fx 0 Próximo passo é determinar a ordenada do ponto de inflexão resolvendo f1 fx x³ 3x² 7x 9 f1 1³ 31² 71 9 4 Portanto o ponto de inflexão de f possui as coordenadas 1 4 52 Máximos e mínimos Esse tópico tem o objetivo de demonstrar que a derivada primeira colabora em identificar os pontos críticos de uma função como mínimos locais ou máximos locais O ponto ou os pontos em que a primeira derivada é nula fornece os pontos críticos de uma função 77 Se fx é derivável em I então os pontos extremos interiores de fx têm uma caracterização importante a tangente ao gráfico de fx em tais pontos deve ser paralela ao eixo x ou seja x0 é o ponto de mínimo local interior fx 0 x0 é o ponto de máximo local interior fx 0 78 Para pontos críticos de fx que não são pontos de máximo local nem de mínimo local se x0 é um desses pontos então a derivada primeira tem o mesmo sinal para valores de x maiores e menores que x0 e x0 é denominado ponto de inflexão de fx Exemplo Exemplo Para fabricar uma caixa sem tampa utilizase um pedaço de cartolina quadrado de lado 12 cm Em cada canto da cartolina devese recortar um quadradinho de lado x conforme mostra a figura a seguir Determine o valor de x de modo que o volume da caixa seja o máximo Qual é o volume máximo 79 Sendo assim x 2 cm é o ponto de máximo de Vx no intervalo 0 6 E para x 2 o volume máximo é V2 144 2 48 2² 4 2³ 128 cm³ 80 53 Derivada Significado Cinemático 531 A velocidade como derivada Estudando cinemática é possível compreender que a posição de um ponto material que se move sobre uma curva conhecida pode ser determinada em cada instante t através da sua curvilínea S S é uma função de t e a expressão S St é chamada equação horária do ponto t S t t S t S t v v t t t m t t 0 0 0 0 lim lim lim 0 0 Em cada instante t0 a velocidade vt0 do ponto móvel é igual à derivada de St 0 0 S t v t Exemplo Um ponto em movimento obedece à equação horária t t S ² onde t representa segundos e S metros Determine a velocidade desse ponto no instante t 1s 81 532 A aceleração como derivada Para um ponto em movimento a velocidade v pode variar de instante para instante ou seja v é uma função do tempo t A expressão v vt é chamada equação da velocidade do ponto Exemplo Um ponto em movimento tem velocidade variável segundo a expressão 3 t v t onde t representa segundos e v metros por segundo Determine a sua aceleração no instante t 8s 82 54 Funções Marginais Algumas funções usadas na Economia como função receita R função custo C função lucro L entre outras são exemplos importantes para aplicarmos os conceitos sobre derivadas de funções Importante lembrar L R C Os economistas se referem a lucro marginal receita marginal e custo marginal como as taxas de variação do lucro da receita e do custo em relação ao número x de unidades produzidas ou vendidas Exemplo Uma companhia estima que o custo em reais na produção de x itens é Cx 2600 2x 0001 x² Encontre o custo o custo médio e o custo marginal da produção de 1000 2000 e 3000 itens Resolução Custo Cx 2600 2x 0001 x² C1000 560000 C2000 1060000 C3000 1760000 83 Se o custo marginal for menor do que o custo médio então é necessário produzir mais para baixar o custo médio Agora se o custo marginal for maior que o custo médio então é preciso diminuir a produção para baixar o custo médio Aproveitando o mesmo exemplo a que nível de produção será mais baixo o custo médio Qual o custo médio mínimo Resolução Se o custo médio for mínimo então custo marginal custo médio 84 Conclusão Neste bloco estudamos algumas aplicações de derivadas primeira e segunda Na primeira derivada pudemos identificar em qual intervalo a função original cresce ou decresce os pontos críticos como máximos e mínimos locais de uma função Aplicando derivada na cinemática determinamos a função velocidade ao derivar a equação horária e aceleração ao derivar a velocidade Na Economia vimos as funções marginais após derivação das funções lucro receita e custos Ainda nesse bloco estudamos a derivada segunda onde para uma melhor análise do gráfico de uma função pudemos identificar a concavidade sendo para cima ou para baixo e o ponto de inflexão Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 IEZZI G DOLCE O TEIXEIRA J C MACHADO N J GOULART M C CASTRO L R S MACHADO A S Matemática São Paulo Atual 1995 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica Tradução de Cyro de Carvalho Patarra 3 ed São Paulo Harbra 1994 STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira Thomson Learning 2002 v 1 BLOCO 6 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Neste bloco estudaremos a derivabilidade e continuidade de uma função em um determinado intervalo Conhecendo a definição de função contínua e posteriormente suas propriedades é possível identificar se uma função é contínua ou descontínua em determinado ponto Como existem casos onde é preciso desenvolver cálculos para analisar se uma função é contínua ou descontínua em determinado ponto é importante conhecer os seguintes teoremas Teorema de Bolzano Teorema de Weierstrass Teorema do Valor Intermediário Teorema do Valor Médio e Teorema da Função Composta 6 85 61 Definição de Continuidade Partindo do significado da palavra continuidade podemos começar lembrando que o processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente sem interrupção ou mudanças abruptas Definição Matemática uma função é contínua em um número a se lim f a x f x a A definição dada requer três condições para a função f ser contínua em a 1 fa está definida onde a está no domínio de f 2 lim x f xa existe 3 lim f a x f x a Importante Para falar em continuidade em um ponto ele deve estar no domínio da função Exemplos 1 Para o gráfico de f não há buraco 2 Observando o gráfico de uma função f identifique quando f é descontínua Para a 1 a função é descontínua pois f1 não está definida 86 Para a 5 a função é descontínua pois lim 5 x x f não existe Para a 9 a função é descontínua pois 9 lim 9 f x f x 3 Onde a função f é descontínua 2 2 ² x x x x f Resolução Nesse caso como f2 não está definida logo f é descontínua em 2 4 Onde a função f é descontínua 0 1 0 ² 1 x se x se x x f Resolução Nesse caso f0 1 mas ² lim 1 lim 0 0 x x f x x não existe Logo f é descontínua em 0 5 Onde a função f é descontínua 2 1 2 2 2 ² x se x se x x x x f Resolução 3 1 lim 2 1 2 lim 2 2 lim ² lim 2 2 2 2 x x x x x x x x f x x x x 2 lim 2 f x f x Nesse caso f2 1 Logo f é descontínua em 2 87 62 Propriedades Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante então as seguintes funções são contínuas também em a 1 f g soma de funções contínuas 2 f g diferença de funções contínuas 3 f g produto de funções contínuas 4 cf produto da constante com a função contínua 88 5 g f se ga 0 quociente de funções contínuas 621 Continuidade e derivabilidade Vamos estudar cada afirmação a seguir I Se f é derivável em a então f é contínua em a A função f é contínua em todos os números reais Sendo f derivável em R e contínua em R II Se f é contínua em a então f é derivável em a Nesse caso f não é derivável no domínio da função pois x não pode ser zero Logo f é contínua em R mas não é derivável quando x é 0 89 63 Teoremas 631 Teorema de Bolzano Se f é uma função contínua em a b onde fa e fb têm sinais contrários então existe pelo menos um ponto c de a b tal que fc 0 Pelo ponto de vista geométrico temos Para os pontos A a fa e B b fb onde fa e fb possuem sinais contrários no plano cartesiano temos De modo que para desenhar um possível gráfico colocamos a ponta de um lápis em A e traçamos uma curva até B sem tirar a ponta do lápis do papel sendo f contínua em a b é evidente que a curva cruzará o eixo Ox em pelo menos um certo ponto onde c assuma o valor de abscissa Exemplo A velocidade de uma partícula é dada por vt 2t³ 2t² 1 Mostre que existe um instante entre 1 e 2 no qual a velocidade se anula Resolução Como v1 2 1³ 2 1² 1 1 sendo v1 0 agora calculando v2 90 v2 2 2³ 2 2² 1 7 sendo v2 0 onde v é uma função contínua de acordo com o Teorema de Bolzano existe c com 1 c 2 tal que vc 0 632 Teorema de Weierstrass Se f é contínua em a b ela atinge um mínimo e um máximo nesse intervalo O Teorema de Weierstrass afirma que existem pontos c e d pertencentes ao intervalo a b tais que fc será o mínimo e fd será o máximo fc fx fd para qualquer x que pertence ao intervalo a b 633 Teorema do Valor Intermediário Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado a b e seja n um número qualquer entre fa e fb Então existe um número c em a b tal que fc n Observe a ilustração Como uma função contínua não possui nenhum buraco e nem quebras é fácil compreender que o Teorema do Valor Intermediário é verdadeiro Uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário é a localização das raízes de equações 91 Exemplo Para a equação 4x³ 6x² 3x 2 0 existe uma raiz entre 1 e 2 Resolução fx 4x³ 6x² 3x 2 f1 4 1³ 6 1² 3 1 2 1 onde f1 0 f2 42³ 62² 32 2 12 onde f2 0 Para n 0 que está entre f1 e f2 pelo Teorema do Valor Intermediário existe c onde 1 c 2 que determina fc n 0 Logo a equação 4x³ 6x² 3x 2 0 possui pelo menos uma raiz c no intervalo 1 2 634 Teorema do Valor Médio Se f é uma função contínua em a b e derivável em a b então existe c de a b tal que a b a f b c f Pela ilustração gráfica temos que t é uma reta tangente ao gráfico de f paralela à reta AB Temos pela interpretação geométrica da derivada que a inclinação da reta t é fc a qual por serem t e AB paralelas é igual à inclinação de AB ou seja fc inclinação da reta t inclinação da reta AB a b f a f b 92 Em representação geométrica se f é uma função contínua em a b seu gráfico deve ser uma curva contínua nesse intervalo e se ela for derivável em a b seu gráfico deve ser uma curva suave nesse outro Exemplo A função horária de um movimento é dada por st t³ 3t² 1 Em quais instantes do intervalo de tempo 0 1 a velocidade média nesse intervalo é atingida pela velocidade escalar Resolução Sendo a função velocidade a derivada da função horária temos vt st 3t² 6t Pelo Teorema do Valor Médio temos 0 1 0 1 s s s t Desenvolvemos 0 2 6 ² 3 2 6 3 ² 0 1 1 1 6 ² 3 t t t t t t Resolvemos a equação encontramos 3 3 t 1 e 3 3 t 1 como o valor para t precisa pertencer ao intervalo 0 1 o único valor no qual t pode assumir é 3 3 t 1 Portanto para 3 3 t 1 a velocidade média no intervalo 0 1 atinge a velocidade escalar 635 Teorema da Função Composta Se g for contínua em a e f em ga então a função composta f o g dada por f o gx fgx é contínua em a Demonstração desse Teorema pode ser dada da seguinte maneira Uma vez que g é contínua em a temos 93 lim g a x g x a Sendo f contínua em b ga podemos indicar pela definição de função contínua que lim f g a g x f x a Onde hx fgx é contínua em a isto é f o g é contínua em a Exemplo Verifique se a função hx senx² é contínua em R Resolução Para hx senx² temos que gx x² e fx sen x Por ser gx x² não existe nenhum valor real que torna g descontínua ou seja g é contínua em R ² lim ² lim a x g a x g a x x a Para fx sen x o caso não é diferente de g pois para qualquer valor atribuído para x existe sen x Onde ga a² temos hx senx² ha sena² lim h a h x x a Portanto a função h é contínua em R Conclusão Neste bloco estudamos a definição de continuidade onde foi possível identificar quando uma função é contínua ou descontínua em determinado intervalo I Conhecemos as propriedades como soma de funções contínuas diferença de funções contínuas produto de funções contínuas produto de constante com função contínua e quociente de funções contínuas Conhecemos os teoremas Teorema de Bolzano Teorema de Weierstrass Teorema do Valor Intermediário Teorema do Valor Médio e Teorema da Função Composta E concluímos com uma aula interativa para ser possível resolver uma situaçãoproblema com o uso dos conceitos estudados 94 Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 IEZZI G DOLCE O TEIXEIRA J C MACHADO N J GOULART M C CASTRO L R S MACHADO A S Matemática São Paulo Atual 1995 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica Tradução de Cyro de Carvalho Patarra 3 ed São Paulo Harbra 1994 STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira Thomson Learning 2002 v 1