Cálculo Diferencial Integral I - Bloco 1: Conjuntos Numéricos e Funções

CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I PROF ROBERTO CARLOS LOURENÇO 2 BLOCO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E FUNÇÕES Este material foi elaborado com o objetivo de fornecer ferramentas para auxiliar no nivelamento dos conhecimentos necessários para um ótimo desempenho de cada alunoa neste curso Com a expectativa de colaborar com o seu processo de aprendizagem o bloco 1 é composto por conteúdos estudados ao longo dos ensinos fundamental e médio sendo assim uma revisão que irá contribuir como base ao longo de todo o curso Neste bloco estudaremos os conjuntos numéricos revendo as definições dos conjuntos dos números naturais inteiros racionais irracionais e reais Ainda neste bloco teremos um estudo sobre as funções tais como função afim função quadrática função modular função exponencial função logarítmica e funções trigonométricas 11 Conjuntos numéricos A noção de conjuntos é fundamental para ser possível expressar todos os conceitos da Matemática Para termos um conjunto é necessário que tenhamos primeiramente seus elementos pois um conjunto é uma coleção qualquer de objetos Seguem alguns exemplos conjunto das regiões brasileiras Norte Nordeste CentroOeste Sul e Sudeste conjunto dos países integrantes dos BRICS Brasil Rússia Índia China e África do Sul conjunto dos jogadores do time G Alex Dedinho Tonhão Zé Bravo Careca e Salvador conjunto dos números primos 2 3 5 7 11 13 17 Um elemento x qualquer pode ou não ser elemento de um determinado conjunto A Quando o elemento pertence escrevemos x A Quando o elemento não pertence escrevemos x A Exemplo Se P é o conjunto dos países integrantes dos BRICS temos que Brasil P 3 Alemanha P Agora consideremos a propriedade p p x é um número natural par Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto B 0 2 4 6 8 10 Dessa maneira é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou x B 111 Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos Por exemplo A 1 3 5 7 9 11 13 15 e B números naturais ímpares menores que 16 Então A B Se A não é igual a B então A é diferente de B e escrevemos A B 112 Conjuntos vazio unitário e universo O conjunto vazio é definido como um conjunto que não possui elementos e pode ser representado por ou Exemplo A x x é um número negativo maior que 2 A pois não existe número negativo maior que 2 O conjunto formado por um único elemento é chamado de conjunto unitário Exemplo B x x é um número primo e par temos que B 2 O conjunto universo de notação U é o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto É fundamental saber em qual universo estamos trabalhando Por exemplo se U é definido por U 0 1 2 7 9 então a equação x 9 8 não tem solução porém se U é definido por U 1 0 1 2 7 9 então a equação tem como solução x 1 113 Números naturais N O conjunto dos números naturais é representado por N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 O sucessor de um número natural é o número natural que vem imediatamente depois dele Assim o sucessor de 2 é 3 de 3 é 4 de 5 é 6 etc Observe que o zero é o único natural que não é sucessor de outro natural Para o subconjunto N temos que o elemento zero foi retirado do conjunto N sendo assim N N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação ou seja a soma e o produto de dois elementos naturais resultam sempre um número natural Já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural Exemplo De 7 9 não é possível obter uma solução no conjunto dos números naturais surgindo a necessidade de trabalhar com os números negativos 114 Números inteiros Z Explicação Acrescentando os números inteiros negativos no conjunto N obtemos o conjunto Z representado como Z 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Além de N temos outros subconjuntos de Z Z Z 0 Conjunto dos números inteiros não negativos Z 0 1 2 3 4 5 6 Conjunto dos números inteiros não positivos Z 6 5 4 3 2 1 0 Conjunto dos inteiros positivos Z 1 2 3 4 5 6 Conjunto dos inteiros negativos Z 6 5 4 3 2 1 No conjunto Z é sempre possível efetuar adição subtração e multiplicação de dois números inteiros que sempre resultam em número inteiro Já a divisão de dois números inteiros nem sempre resulta em um número inteiro 6 3 2 é possível em Z 8 2 4 é possível em Z 5 3 não é possível em Z existindo a necessidade de conhecer as frações 5 115 Números racionais Q Explicação Todo número racional pode ser escrito na forma b a com a Z b Z Exemplo 3 7 21 2 4 3 7 2 9 etc Assim escrevemos 0 b e Z b Z a b com a x x Q No conjunto Q as quatro operações fundamentais são possíveis e valem todas as propriedades que valem para os inteiros Certamente devemos lembrar que a divisão por zero é impossível e o símbolo 0 a não tem significado Desafio Pesquise a representação decimal dos números racionais determinação da geratriz da decimal e número racional na forma mista 116 Números irracionais I Número irracional é todo número que está ou pode ser escrito na forma decimal infinita e não periódica Um dos números irracionais mais conhecidos é o π que é a razão entre o comprimento de uma circunferência e a medida do seu diâmetro π 31415926535898 As raízes quadradas não exatas de números naturais também são números irracionais Utilizando uma calculadora determine os valores de 21 17 5 3 2 117 Números reais R Da reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto dos números reais R R x x é racional ou x é irracional 6 Com o conjunto R dos números reais a reta fica completa ou seja a cada ponto da reta corresponde um único número real e reciprocamente a cada número real corresponde um único ponto da reta Temos assim a reta real com apenas alguns números reais O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui Importante Além dos números reais existem os números complexos A raiz de índice par e radicando negativo é impossível em R pois por exemplo não existe número real que elevado ao quadrado dê um número negativo Assim 9 não é um número real 118 Intervalos reais Podemos fazer as operações usuais de conjuntos para intervalos reais uma vez que são subconjuntos de R Lembrando que para a e b reais com a b temos as seguintes notações para intervalos I Intervalo fechado x x Є R e a x b a b 7 II Intervalo aberto x x Є R e a x b a b a b III Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita x x Є R e a x b a b a b IV Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita x x Є R e a x b a b a b V Intervalo ilimitado à direita e fechado de origem a x x Є R e x a a a VI Intervalo ilimitado à direita e aberto de origem a x x Є R e x a a a VII Intervalo ilimitado à esquerda e fechado de origem a x x Є R e x a a a VIII Intervalo ilimitado à esquerda e aberto de origem a x x Є R e x a a a 12 Par Ordenado Produto Cartesiano e Relação 121 Sistema cartesiano ortogonal Consideremos num plano os eixos x e y perpendiculares que se cruzam num ponto O chamado origem Eles determinam quatro quadrantes I II III e IV 8 122 Par ordenado Cada ponto do plano é determinado por um par ordenado de números conforme mostra a figura a seguir 123 Produto cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos A e B não vazios é definido por A B A x B a b a Є A e b Є B Exemplo Dados os conjuntos A 2 4 6 e B 1 3 5 determine A B Temos que A B 2 1 2 3 2 5 4 1 4 3 4 5 6 1 6 3 6 5 Reflita será que A B B A Representação gráfica do produto cartesiano Exemplo Dados os conjuntos A 2 4 6 e B 1 3 5 determine A B A B 2 1 2 3 2 5 4 1 4 3 4 5 6 1 6 3 6 5 9 124 Relação Denominamos relação de A em B todo subconjunto R de A x B R é uma relação de A em B R AxB Exemplo 1 Se A 1 2 e B 0 3 7 determine R sendo R x y Є A B x y Resolução A B 1 0 1 3 1 7 2 0 2 3 2 7 R x y Є A B x y x y R 1 0 2 0 Exemplo 2 Se A 1 2 e B 0 1 2 determine R sendo R x y Є A B x y Resolução A B 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 R x y Є A B x y x y R 1 1 2 2 Exemplo 3 Se A 1 2 e B 0 1 3 determine R sendo R x y Є A B x y 5 Resolução 10 A B 1 0 1 1 1 3 2 0 2 1 2 3 R x y Є A B x y 5 x y 5 R 2 3 13 Funções 131 Definição e notação de função Sendo A e B conjuntos não vazios temos Uma função de A em B é uma relação que a todo elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B f A B f de A em B para indicar uma função de A em B A é Domínio de f Df B é Contradomínio de f y fx é Imagem de f Imf 132 Domínio de uma função real Numa função real f o domínio D é o maior subconjunto de R tal que a fórmula y fx defina uma função f D em R Exemplos Apresente o domínio de cada função real a 7 ² ³ x x x f x Resolução Existe alguma restrição para x Nesse caso não Sendo assim D f R b x f x 3 Resolução Existe alguma restrição para x x 0 Sendo assim D f R 11 c 12 3 1 x x f Resolução Existe alguma restrição Sim É 3x 12 0 3x 12 0 3x 12 x 4 Sendo assim D f 4 133 Imagem de uma função 134 Função crescente e função decrescente Consideremos dois elementos quaisquer 2 1 x e x de um subconjunto A do domínio de uma função f dizemos que f é uma função crescente em A quando para 2 1 x x temos 2 1 f x f x f é uma função decrescente em A quando para 2 1 x x temos 2 1 f x f x Exemplos 1 Os gráficos representam funções Identifique cada função como crescente ou decrescente 12 2 Considere o gráfico a seguir que representa uma função responda para que valores reais de x a função é crescente e decrescente 135 Função composta Exemplos Sejam fx 3x 1 e gx 4x 2 determine a gf3 Resolução f3 3 3 1 10 13 gf3 g10 4 10 2 38 gf3 38 b fg3 Resolução g3 4 3 2 10 fg3 f10 3 10 1 31 fg3 31 c gfx Resolução fx 3x 1 gfx g3x1 4 3x 1 2 12x 4 2 gfx 12x 2 14 Funções afim e quadrática 141 Função afim ou função do 1o grau Uma função f R em R chamase função afim quando existem dois números reais a e b tais que fx a x b para todo x Є R a coeficiente angular b coeficiente linear Exemplos fx 3 x 7 fx x a 1 e b 0 função identidade fx 5 x a 0 e b 0 função linear fx x 3 a 1 e b 0 função translação Valor da função afim Exemplos Dada a função afim fx 2 x 3 determine 14 a f4 2 4 3 5 b f1 2 1 3 1 c f5 2 5 3 7 d f0 2 0 3 3 e 2 5 2 6 1 3 2 1 3 4 2 1 4 1 f Função constante Se na função afim y a x b tivermos a 0 teremos a função constante que é uma aplicação de R em R e que associa a cada elemento x Є R sempre o mesmo elemento b Є R f R em R y fx b Exemplos a y 2 b fx 5 c Na contratação de um serviço como um pacote de serviço de telefonia onde a pessoa paga um valor fixo mensal independentemente da quantidade de ligações realizadas Outras representações 15 142 Função quadrática ou função do 2º grau Uma função f R em R chamase quadrática quando existem números reais a b c com a 0 tais que fx a x² b x c para todo x Є R Exemplos a y 3x² 7x 9 b fx x² 8x 10 c gx 5x² 100 Valor da função quadrática Exemplos Dada a função fx 3x² 5x 1 determine a f0 3 0² 5 0 1 1 16 b f1 3 1² 5 1 1 1 c f2 3 2² 5 2 1 23 d f4 3 4² 5 4 1 29 Situaçãoproblema Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e outros aparatos esportivos que estão à sua volta com tela de alambrado Tendo recebido 200 metros de tela os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível 17 15 Funções exponencial logarítmica modular e trigonométrica 151 Função exponencial Dado um número real a a 0 e a 1 denominase função exponencial de base a uma função R R f definida por x x a y ou a f x Exemplos a x f x 3 b x f x 5 c x f x 2 1 d x f x 7 e 3 1 x f x Reflita Diante da definição dada o que aconteceria i se a 0 e x negativo ii se a 0 e x ½ iii se a 1 e x um real qualquer 18 Gráfico da função exponencial Como podemos observar para a 1 a função é crescente e para 0 a 1 a função é decrescente Exemplos a x f x 2 b x f x 2 1 19 152 Função logarítmica A função g que associa a cada número real x 0 o número real loga x com a 0 e a 1 é chamada de função logarítmica de base a e é indicada por x x g loga em que ax x g R e D g 1 São exemplos de função logarítmica as funções de R em R definidas por a x x g log7 b x x f log5 c x x g 2 log1 Gráfico da função logarítmica Função crescente quando a 1 20 Função decrescente quando 0 a 1 Exemplos a x x f log2 21 b x x f 2 log1 153 Função modular A função f de R em R que a todo número x associa o seu módulo é denominada função modular x y x R R f a Tendo em vista a definição de x podemos descrever a função modular por 0 0 x para x x para x y 22 Gráfico da função modular 23 154 Funções seno e cosseno Função seno sen é a função de R em R que a todo número α associa a ordenada do ponto P imagem de α no círculo trigonométrico eixo dos cossenos 24 2 OP é a medida algébrica do segmento 2 OP quando o raio é tomado como unidade Dizemos também que 2 OP é o seno de AÔP ou do arco AP e indicamos sen AÔP senα 2 OP O eixo Oy passa a ser denominado eixo dos senos Gráfico da função seno y senx Já a função cosseno cos é a função de R em R que a todo número α associa a ordenada do ponto P imagem de α no círculo trigonométrico 1 OP é a medida algébrica do segmento 1 OP quando o raio é tomado como unidade Dizemos também que 1 OP é o cosseno de AÔP ou do arco AP e indicamos eixo dos cossenos 25 cos AÔP cosα 1 OP O eixo Ox passa a ser denominado eixo dos cossenos Gráfico da função cosseno y cosx Círculo trigonométrico Para as funções seno e cosseno onde para cada par ordenado primeiro é o valor do cosseno e depois do seno 26 155 Funções tangente e cotangente A definição da função tangente de x para x Є R desde que cosx 0 é dada por 0 cos cos x x senx tgx Assim o domínio D da função f definida por fx tgx é dada por todos os x Є R tais que cosx 0 isto é Z k k x e R x x D 2 π π 27 Gráfico da função tangente A definição da função cotangente de x para x Є R desde que sen x 0 é dada por 0 cos cot senx senx x gx Assim o domínio D da função f definida por fx cotgx é dada por todos os x Є R tais que sen x 0 isto é Z k k x e R x x D π 28 Gráfico da função cotangente Conclusão Neste bloco estudamos os conjuntos numéricos naturais inteiros racionais irracionais e reais intervalos numéricos as funções afim constante quadrática exponencial logarítmica modular e trigonométricas seno cosseno tangente e cotangente Essa revisão é fundamental para um melhor desempenho nos próximos blocos e assim ser possível consolidar as expectativas de aprendizagem Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2005 IEZZI G MURAKAMI C Fundamentos da matemática elementar 1 conjuntos e funções São Paulo Atual 2004