Introdução ao Limite em Cálculo Diferencial

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PROF ROBERTO CARLOS LOURENÇO 2 BLOCO 2 LIMITES As ideias centrais do Cálculo surgiram no século XVII mais ou menos simultaneamente com os trabalhos de Newton Isaac Newton 16421727 e Leibnitz Gottfried Wilhelm Leibnitz 16461716 objetivando a resolução de determinados problemas de Mecânica e Geometria Rapidamente porém o Cálculo Diferencial tornouse um instrumento poderoso em muitos outros ramos da Matemática e da Física e em outras ciências como a Economia a Biologia e a Psicologia Para uma introdução ao Cálculo Diferencial que estudaremos nesta disciplina começamos agora com a ideia de limite de uma função aproveitando antes o lado intuitivo e chegaremos à elaboração de uma definição de limite Veremos ainda as propriedades dos limites limites das funções racionais limites infinitos e limites no infinito 21 Conceito intuitivo de limite a ideia de limite A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores Vamos observar a tabela e o gráfico de uma função 2 3 Definição Dada uma função f definida num intervalo D dizemos que o limite de fx quando x tende a t é L L x f x t lim se é possível tomar valores de fx arbitrariamente próximos de L tomando x suficiente próximo de t mas não igual a t O limite de fx para x tendendo a t é igual a L se e somente se o limite lateral de fx para x tendendo a t pela esquerda for igual ao limite lateral de fx para x tendendo a t pela direita e estes forem iguais a L Exemplos 1 Considere o gráfico que representa a função f a Quando x se aproxima de 2 pela esquerda o fx se aproxima de qual o valor 4 2 lim 2 x f x b Quando x se aproxima de 2 pela direita o fx se aproxima de qual o valor 2 lim 2 x f x c Quando x tende a 2 o fx assume qual valor 2 lim 2 x f x 2 Consideremos a função definida em R por 2 5 2 2 2 1 2 x se x se x x x x f Qual o limite de f quando x tende a 5 Mesmo que f2 5 diante da sentença isso não determina que o limite para essa função quando x tende a 2 será o mesmo que f2 O correto é 3 lim 2 x f x 5 22 Propriedades dos limites A definição de limite permite provar que L x f x t lim mas não indica como obter L Além disso são grandes as dificuldades que surgem ao aplicála para funções um pouco mais elaboradas Veremos agora as propriedades que eliminaram parte dessas dificuldades Se existem os limites lim fx e lim gx onde K é uma constante então P 2 Diferença limfxgxlim fxlim gx Exemplo lim2x9x²5x1lim2x9limx²5x1 Resolvendo lim2x9x²5x1limx²7x81271814 ou lim2x9limx²5x12191251111314 Se existem os limites lim fx e lim gx onde K é uma constante então P 3 Produto limfxgxlim fxlim gx Exemplo lim2x9x²5xlim2x9limx²5x Resolvendo lim2x²9x²5lim2x³10x²9x²45x limx1214544 ou lim2x9limx²5x291511444 Se existem os limites lim fx e lim gx onde K é uma constante então P 4 Múltiplo constante limKfxKlim fx 8 23 Limites das funções racionais 231 Função Racional Temos uma função racional quando Q x P x f x sendo Qx0 9 Função racional própria ocorre quando o grau de Px é menor que o grau de Qx Função racional imprópria ocorre quando o grau de Px é maior ou igual o grau de Qx ou Px é função identicamente nula 232 Limites de funções racionais Resolução lim x²2x x2 Simplificando x²2x x2 xx2 x2 lim x2 x 4 Calcule lim x4 x4 x²x12 Resolução Observe x4 44 42412 0 0 Resolução lim x4 x²x12 Fatoração ax²bxcaxx₁xx₂ x²x121x3x4x3x4 x4x4 x3x4 1 x3 lim x4x4 lim 1 x3 1 43 1 7 11 24 Limites infinitos e limites no infinito 241 Limites infinitos No tópico anterior calculamos o limite de fx gx para x tendendo a t onde gt 0 e também quando ft 0 e gt 0 Agora vamos estudar quando ft 0 e gt 0 Exemplo 2 Calcule lim x0 1 x² Resolução 14 242 Limites no infinito Estudando limites no infinito é possível identificar que é a variável independente que cresce ou diminui infinitamente Seja fx Px Qx uma função racional e lim Q x x P x Então a resposta para esse limite pode ser Exemplo 2 Calcule lim x0 1 x² 16 25 Calculando limites Nesse momento vamos resolver alguns cálculos de limites Exercícios 1 Calcule 8 7 ² 9 2 ² 5 ³ lim 1 x x x x x x Resolução Qual o melhor caminho para calcular esse limite solicitado a Realizar uma divisão entre os polinômios b Fazer o gráfico da função c Substituir o x da função por 1 Resposta correta c Substituir o x da função por 1 2 5 8 1 7 2 1 9 5 8 17 ²1 1 9 ²12 ³15 8 7 ² 9 2 ² 5 ³ lim 1 x x x x x x 2 Calcule 3 9 ² lim 3 x x x Resolução Ao substituir o x por 3 está correto afirmar que a o resultado desse limite é 0 b não existe resultado para esse caso c é necessário simplificar essa função Resolução Alternativa c pois 0 0 3 3 9 9 3 3 9 ²3 17 3 ²3 ² 3 9 ² x x x x ção Simplifica ² ² b a b a b a Lembrete 3 3 3 3 3 ²3 ² 3 9 ² x x x x x x x x 6 3 3 3 lim 3 9 ² lim 3 3 x x x x x 3 Calcule 9 4 ² 12 27 54 36 ² 8 ³ lim 2 3 x x x x x x Resolução Ao substituir o x por 32 está correto afirmar que a o numerador dessa função será diferente de 0 b o numerador e denominador dessa função resultam em zero c o limite resultará em menos infinito Alternativa b é a correta pois 0 0 9 9 18 81 81 27 27 9 43 2² 123 2 27 543 2 363 2² 83 2³ Podemos simplificar trabalhando com divisão de polinômios 18 0 3 3 3 2 2 3 3 lim2 9 4 ² 12 27 54 36 ² 8 ³ lim 2 3 2 3 x x x x x x x x 4 Calcule 2 4 3 9 3 ³ 7 lim 5 5 x x x x x x Resolução 2 4 3 lim 9 3 ³ 7 lim 2 4 3 9 3 ³ 7 lim 5 5 5 5 x x x x x x x x x x x x x Qual propriedade foi usada a Soma b Produto c Quociente Alternativa c é a correta 19 Conclusão Neste tópico foi possível estudar o limite de diversos tipos de funções Compreendemos que o limite é número real e que esse assunto será fundamental para o estudo das derivadas e integrais Para conceituar o limite começamos com a ideia intuitiva analisando funções tabelas e gráficos chegando à definição e propriedades e resolvendo alguns casos para uma melhor compreensão do conteúdo estudado Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 IEZZI G DOLCE O TEIXEIRA J C MACHADO N J GOULART M C CASTRO L R S MACHADO A S Matemática São Paulo Atual 1995 LEITHOLD L O Cálculo com geometria analítica Tradução de Cyro de Carvalho Patarra 3 ed São Paulo Harbra 1994