Técnicas de Derivação: Função Composta e Regra da Cadeia

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PROF ROBERTO CARLOS LOURENÇO 2 BLOCO 4 DERIVADAS PARTE II Neste novo bloco estudaremos algumas técnicas de derivação Seguindo com o objetivo de explicar da melhor forma este conteúdo estudaremos a derivada de uma função composta apresentando a Regra da Cadeia ferramenta importantíssima A derivada da função inversa também será um tópico assim como a regra de LHôpital para auxiliar no cálculo de limite derivadas superiores e derivada da função implícita 41 Derivada da Função Composta 411 Função composta Sendo gx uma função de domínio A e conjunto imagem B e fx uma função de domínio B e conjunto imagem C denominamos função composta fx com gx à função hx fgx de domínio A e conjunto imagem C Indicamos hx fgx ou h f o g Estudando um caso Dadas as funções fx 2 x 5 e gx x² x 1 calcule a f gx Para desenvolver esse problema iniciamos substituindo o gx fx² x 1 2 x² x 1 5 2x² 2x 2 5 2 x² 2 x 7 Sendo assim fgx 2 x² 2 x 7 b g o f Importante lembrar que g o f é a mesma coisa que gfx sendo assim gfx g 2x 5 2x5² 2x 5 1 4x² 20x 25 2x 5 1 4 x² 18 x 21 4 3 Portanto g o f x 4 x² 18 x 21 Isso significa que uma função pode ser definida em termos de outras funções isto é pela composição dessas funções Daí o nome função composta 412 Regra da Cadeia Se f e g forem diferenciáveis e F f o g for uma função composta definida por Fx fgx então F é diferenciável e F é dada pelo produto Fx fgx gx Na notação de Leibniz se y fu e u gx forem funções diferenciáveis então dx du du dy dx dy Importante notar que ao usarmos a Regra da Cadeia trabalhamos de fora para dentro onde diferenciamos a função de fora f na função de dentro g e então multiplicamos pela derivada da função de dentro g x g x f g x f dx d Exemplos Calcule a derivada de hx sen 7 2x Resolução É importante reparar que hx é uma função composta onde temos fx sen x e gx 7 2 x sendo hx fgx Para um caso como esse aplicamos a Regra da Cadeia hx fgx gx Onde desenvolvemos da seguinte forma fx sen x fx cos x gx 7 2 x gx 2 Agora temos hx sen 7 2x hx cos 7 2x 2 2 cos 7 2x Lembrando que trabalhamos de fora para dentro onde diferenciamos a função de fora f na função de dentro g e então multiplicamos pela derivada da função de dentro 4 Calculemos as derivadas de algumas funções a gx ln 5x² 1 Podemos trabalhar com a Regra da Cadeia da seguinte maneira Fazendo u 5x² 1 e z ln u temos ux 10 x e zu 1u Então x x z u u x g x 1 10 5 ² 1 b Fx x² x 1³ Usando a Regra da Cadeia temos u x² x 1 e z u³ ux 2x 1 zu 3 u² Fx zu ux 3 x² x 1² 2x 1 c y cos tg x u tg x e z cos u ux sec ² x zu sen u y zu ux sen tgx sec ² x d x x g x 7 ² u x² 7x e z 2 1 u u ux 2 x 7 u u u z u 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 gx zu ux x x x x x x 7 ² 2 7 2 7 2 7 ² 2 1 42 Derivada da Função Inversa Compreender a regra que determina a derivada de uma função inversa como ferramenta para derivar outra função quando a mesma possui inversa 5 Seja y yx uma função inversível derivável no ponto x onde yx 0 Temos que a função inversa é representada por x xy é derivável no ponto y sendo y yx e calculemos a sua derivada como x y y x 1 Como y yx é derivável e yx 0 temos 1 lim 1 lim 1 lim 0 0 0 y x x y x y y x y x x x y 1 y x x y Exemplo Seja a função y 5x 7 apresente a derivada da sua inversa Resolução Apresente a derivada da função a seguir y 5 x Apresente a derivada da função a seguir y 5 x 6 Apresente a derivada da função inversa de y x³ 2 no ponto y 6 43 Regra de LHôpital Compreender a regra de LHôpital como ferramenta para calcular o limite de função racional nos casos onde há indeterminação do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito Sejam f e g funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos I com gx 0 para qualquer x Є I 7 Exemplos 8 44 Derivadas Superiores Compreenda que se existir uma função diferenciável então a sua derivada também é uma função Se f for uma função diferenciável então sua derivada f é também uma função logo f poderia ter sua própria derivada denotada por ff Pela notação de Leibniz temos 9 ² ² ² D f x dx d y dx dy dx d É chamada de derivada segunda A derivada terceira f é a derivada da derivada segunda f f ³ ³ ³ ² ² D f x dx d y dx d y dx d x f O processo pode ser contínuo onde a derivada nésima de f é denotada por D f x dx d y x f y n n n n n Exemplos Se fx x cos x determine fx 10 1 1 1 12 2 1 1 n n n n n n x n x f ou x n n n x f 45 Derivada da Função Implícita Compreenda o método da diferenciação implícita que consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a equação resultante para y As funções encontradas até o momento podem ser descritas expressandose uma variável explicitamente em termos de outra ³ 1 x sen x y ou x y 11 Em geral y fx Exemplos Encontre y para x³ 2 x 2 y³ y² 2 Resolução Fx x³ 2x e Gx 2y³ y² 2 2 ² 2 ³ 2 ³ y y dx d x dx x d 6 ² 2 2 3 ² y y y y x 2 6 ² 2 3 ² y y y x y y x y 2 6 ² 2 3 ² Encontre y para x² y² 25 Resolução Encontre y para x³ y³ 6xy Resolução Conclusão Neste bloco estudamos algumas regras de derivação que serão usadas ao longo do curso As regras estudadas foram Regra da Cadeia para derivar função composta regra da função inversa e Regra de LHôpital Ainda estudamos Derivadas Superiores e Derivada da Função Implícita 12 Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 IEZZI G DOLCE O TEIXEIRA J C MACHADO N J GOULART M C CASTRO L R S MACHADO A S Matemática São Paulo Atual 1995 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica Tradução de Cyro de Carvalho Patarra 3 ed São Paulo Harbra 1994 STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira Thomson Learning 2002 v 1