Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas - Aula 10

Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas OEMs 10ª Aula DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 2 As equações de Maxwell são as 4 eqs que regem o eletromagnetismo Vc já conhece quase todas elas 1 Lei de Coulomb ou lei de Gauss elas são na realidade formas diferentes de apresentar o mesmo fenômeno sendo portanto equivalentes pois uma pode ser demonstrada a partir da outra ර 𝐸 𝑑 Ԧ𝐴 𝑞env 𝜖0 Esta lei essencialmente diz que e como 𝒒 gera 𝑬 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 3 2 Lei de Gauss para o magnetismo talvez você nunca tenha visto esta lei matematicamente mas certamente sabe o seu teor que os monopolos magnéticos não existem os pólos magnéticos N e S sempre aparecem aos pares em dipolos NS ou o que é equivalente as linhas de 𝑩 sempre são fechadas ර 𝐵 𝑑 Ԧ𝐴 0 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 4 3 Lei de BiotSavart ou lei de Ampère aqui vale a mesma observação feita no item 1 ර 𝐵 𝑑Ԧ𝑠 𝜇0𝑖env Esta lei essencialmente diz que e como 𝒊 gera 𝑩 Mais adiante veremos como Maxwell percebeu que esta lei precisava ser alterada transforman doa no que hoje chamamos de lei de AmpèreMaxwell DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 5 4 Lei de Faraday esta lei essencialmente nos diz que um 𝑩 variável no tempo gera um 𝑬 ර 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 𝑑 𝑑𝑡 න env 𝐵 𝑑 Ԧ𝐴 Uma coisa que Maxwell se perguntou foi se 𝐸 pode ser gerado tanto pela presença de uma 𝑞 quanto por um 𝐵 variável no tempo será que um 𝐵 só pode ser gerado por uma 𝑖 ou também pode ser gerado por um 𝐸 variável no tempo DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 6 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 7 A necessidade de alteração da lei de Ampère surge do fato experimental ao lado referente a um capacitor sendo carregado tanto a superfície S1 como a S2 podem ser usadas na lei de Ampère porém não há corrente através de S2 o que torna a lei inválida para S2 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 8 O impasse é resolvido percebendose que apesar de não haver corrente entre as placas há um 𝐸 variável No interior do capacitor supondo para simplificar ser um de placas planas e paralelas e portanto com 𝐸 uniforme em seu interior o fluxo do 𝐸 é Seja corrente de deslocamento 𝑖𝑑 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 9 A proposta de Maxwell abaixo que modifica a lei de Ampère aumentando a sua validade fica conhecida então como lei de AmpèreMaxwell ර 𝐵 𝑑Ԧ𝑠 𝜇0 𝑖 𝑖𝑑 env Repare que no caso da figura anterior agora não há mais impasse pois a lei é válida para S1 e para S2 também pois em S1 𝑖 0 e 𝑖𝑑 0 em S2 𝑖 0 e 𝑖𝑑 𝑖 0 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 10 Repare a estreita analogia entre um campo elétrico induzido lei de Faraday e um campo magnético induzido lei de AmpèreMaxwell DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 11 As quatro equações de Maxwell ර 𝐸 𝑑 Ԧ𝐴 𝑞env 𝜖0 ර 𝐵 𝑑 Ԧ𝐴 0 ර 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 𝑑 𝑑𝑡 න env 𝐵 𝑑 Ԧ𝐴 ර 𝐵 𝑑Ԧ𝑠 𝜇0𝑖env 𝜇0𝜖0 𝑑 𝑑𝑡 න env 𝐸 𝑑 Ԧ𝐴 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 12 ou equivalentemente as linhas de 𝐵 sempre são fechadas Força de Lorentz Ԧ𝐹 𝑞 𝐸 Ԧ𝑣 𝐵 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 13 Num local onde não haja carga nem corrente por exemplo no vácuo temos ර 𝐸 𝑑 Ԧ𝐴 0 ර 𝐵 𝑑 Ԧ𝐴 0 ර 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 𝑑 𝑑𝑡 න env 𝐵 𝑑 Ԧ𝐴 ර 𝐵 𝑑Ԧ𝑠 𝜇0𝜖0 𝑑 𝑑𝑡 න env 𝐸 𝑑 Ԧ𝐴 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 14 Lembremos agora do teorema de Gauss para passar as 2 primeiras para a forma diferencial ර 𝐸 𝑑 Ԧ𝐴 න env 𝐸 𝑑𝑉 0 𝐸 0 Analogamente 𝐵 0 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 15 Lembremos do teorema de Stokes na lei de Faraday ර 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 න env 𝐸 𝑑 Ԧ𝐴 𝑑 𝑑𝑡 න env 𝐵 𝑑 Ԧ𝐴 න env 𝐵 𝑡 𝑑 Ԧ𝐴 𝐸 𝐵 𝑡 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 16 Analogamente na lei de AmpèreMaxwell 𝐵 𝜇0𝜖0 𝐸 𝑡 Agora poderemos coletar as 4 eqs de Maxwell no vácuo na forma diferencial DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 17 𝐸 0 𝐵 0 𝐸 𝐵 𝑡 𝐵 𝜇0𝜖0 𝐸 𝑡 Calculemos o rotacional da 3ª 𝐸 𝑡 𝐵 𝜇0𝜖0 2𝐸 𝑡2 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 18 Mas existe a identidade do cálculo vetorial 𝐸 𝐸 2𝐸 Portanto 2𝐸 𝜇0𝜖0 2𝐸 𝑡2 0 Isso é uma eq de onda 3D p cada componente de 𝑬 E a veloc de propag desta onda é 𝑐 1Τ 𝜇0𝜖0 0 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 19 OBS aplicandose o rot na 4ª eq chegamos a uma eq idêntica para 𝐵 ou seja a existência de OEMs no vácuo Repare que 𝑐 1Τ 4𝜋 107 8854 1012 300 108 ms que é a velocidade da luz no vácuo o que é imensa indicação de que a luz é uma OEM fato depois de Maxwell confirmado por muitas outras evidências experimentais DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 20 Para simplificar podemos tomar 𝐸 e 𝐵 dependendo apenas de 𝑥 𝑡 e não de 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 Isso caracteriza o que se chama de onda plana Neste caso a lei de Gauss nos diz que 𝐸 𝐸𝑥 𝑥 𝑡 𝑥 𝐸𝑦 𝑥 𝑡 𝑦 𝐸𝑧 𝑥 𝑡 𝑧 0 𝐸𝑥 é um campo uniforme isto é mesmo que não seja nulo não faz parte da onda que portanto tem 𝐸𝑥 0 Idem para 𝐵𝑥 0 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 21 Portanto a OEM é transversal Resumindo até aqui 𝐸 𝑥 𝑡 𝐸𝑦 𝑥 𝑡 Ԧ𝑗 𝐸𝑧 𝑥 𝑡 𝑘 𝐵 𝑥 𝑡 𝐵𝑦 𝑥 𝑡 Ԧ𝑗 𝐵𝑧 𝑥 𝑡 𝑘 Simplificaremos um pouco mais admitindo que 𝐸 esteja sempre em 𝑦 onda linearmente polarizada Portanto 𝐸 𝑥 𝑡 𝐸𝑦 𝑥 𝑡 Ԧ𝑗 𝐵 𝑥 𝑡 𝐵𝑦 𝑥 𝑡 Ԧ𝑗 𝐵𝑧 𝑥 𝑡 𝑘 Porém veremos a seguir que a lei de Faraday garante que 𝐵𝑦 0 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 22 De fato 𝐸 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 0 𝐸𝑦 𝑥 𝑡 0 𝐸𝑦 𝑥 𝑘 𝐵 𝑡 𝐵 𝑡 só tem componente z e portanto 𝐵 const idem Resumindo 𝐸 𝑥 𝑡 𝐸𝑦 𝑥 𝑡 Ԧ𝑗 𝐵 𝑥 𝑡 𝐵𝑧 𝑥 𝑡 𝑘 Podemos escolher o eixo de forma que esteja DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 23 Consideremos uma OEM progressiva no sentido 𝑥 𝐸𝑦 𝑥 𝑡 𝑓 𝑥 𝑐𝑡 𝐵𝑧 𝑥 𝑡 𝑔 𝑥 𝑐𝑡 Mas 𝐸𝑦 𝑥 𝐵𝑧 𝑡 e portanto 𝑓 𝑐𝑔 𝑓 𝑐𝑔 ctes de integração descartadas por não serem uma onda Logo 𝐸𝑦𝑥 𝑡 e 𝐵𝑧𝑥 𝑡 têm a mesma dependência funcional em 𝑥 𝑡 estando portanto em fase valendo ainda 𝐵 𝑥 𝑡 𝐸 𝑥 𝑡 𝑐 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 24 Consideremos uma onda senoidal no sentido 𝑥 𝐸𝑦 𝑥 𝑡 𝐸𝑚 sen 𝑘𝑥 𝜔𝑡 Repetindo Mas 𝐸𝑦 𝑥 𝐵𝑧 𝑡 e portanto 𝐵𝑧 𝑡 𝑘𝐸𝑚 cos 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝐵𝑧 𝑥 𝑡 𝑘 𝜔 𝐸𝑚 sen 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝐸𝑚 𝑐 sen 𝑘𝑥 𝜔𝑡 Portanto 𝐸𝑦𝑥 𝑡 e 𝐵𝑧𝑥 𝑡 estão em fase e 𝐵𝑚 Τ 𝐸𝑚 𝑐 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 25 Como 𝐸 e 𝐵 estão em fase quando 𝐸 aponta no sentido 𝑦 𝐵 aponta também no sentido de 𝑧 E a onda se propaga no sentido 𝑥 Da mesma forma quando 𝐸 aponta no sentido 𝑦 𝐵 aponta também no sentido de 𝑧 E a onda continua se propagando no sentido 𝑥 Portanto sempre temos que A OEM se propaga no sentido de 𝐸 𝐵 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 26 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 27 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 28