Aula 05: Séries Numéricas e Convergência

Introdução à Análise Aula 05 Séries de Números Reais Tópico 01 Séries Numéricas Nesta aula estenderemos a operação de adição até agora definida para um número finito de números reais de modo a atribuir significado a uma soma com um número infinito de parcelas Dada uma sequência de números reais a partir dela formaremos uma nova sequência onde etc Os números chamamse as reduzidas ou somas parciais da série A parcela é o ésimo termo ou termo geral da série Se existir o limite diremos que a série é convergente e será chamado a soma da série Se não existir diremos que é uma série divergente Às vezes é conveniente considerar séries do tipo que começam com em vez de Exemplo 1 Já vimos na aula passada que a série é convergente com soma igual a Exemplo 2 Verifique que quando a série geométrica é convergente e determine seu valor SOLUÇÃO Com efeito sabemos que para todo vale ou seja Como seguese que e consequentemente Exemplo 3 A série cujo termo geral é tem ésima soma parcial Portanto isto é Exemplo 4 Verifique que a série é convergente e calcule seu valor SOLUÇÃO Inicialmente encontremos tais que Ora como devemos ter ou seja Assim o termo geral da série é dado por e consequentemente a ésima soma parcial é dada por Portanto a série é convergente e seu valor é dado pelo limite Exemplo 5 Verifique se a série de termo geral é convergente SOLUÇÃO Ora a soma parcial é igual a zero quando é par e igual a 1 quando é ímpar Portanto não existe ou seja é divergente Exemplo 6 A série harmônica é divergente SOLUÇÃO Com efeito temos Seguese que e por conseguinte Uma condição necessária para a convergência de uma série é que seu termo geral tenda para zero Teorema 1 Se é uma série convergente então DEMONSTRAÇÃO Seja sn a1 a1 an Então existe s limsn Evidentemente temse também s limsn 1 Logo 0 s s limsn limsn 1 limsn sn 1 lim an OBSERVAÇÃO A recíproca do Teorema 2 é falsa Um contraexemplo é dado pela série harmônica Seu termo geral tende para zero mas a série é divergente conforme o Exemplo 6 acima Exemplo 7 Use o Teorema 1 para mostrar que as séries a seguir são divergentes 1 2 3 SOLUÇÃO 1 Se a série fosse convergente então seu termo geral tenderia a zero Como seguese que é divergente 2 Basta observar que lim2n 3 É suficiente observar que e 0 Introdução à Análise Aula 05 Séries de Números Reais Tópico 02 Critérios de Convergência de Séries Nem sempre é fácil calcular a soma de uma série Entretanto há critérios que nos permitem concluir que certas somas infinitas são convergentes sem que haja necessidade de calculálas Este será o objetivo deste tópico Teorema 1 Critério de comparação Sejam e séries de termos nãonegativos Se existem e tais que para todo então a convergência de implica a de enquanto a divergência de implica a de DEMONSTRAÇÃO Sem perda de generalidade podemos supor que para todo Então as reduzidas e de e respectivamente formam sequências não decrescentes tais que para todo Como limitada implica limitada e ilimitada implica ilimitada pois O resultado agora é uma consequência do fato de que uma sequência monótona é convergente se e somente se é limitada Exemplo 1 Como a série harmônica é divergente resulta do critério de comparação que é divergente quando pois neste caso Exemplo 2 Mostre que se então converge SOLUÇÃO Com efeito seja a soma da série geométrica Mostraremos que toda reduzida da série é Seja tal que Então Portanto é uma sequência crescente e limitada logo convergente Uma série dizse absolutamente convergente quando é convergente Teorema 2 Toda série absolutamente convergente é convergente DEMONSTRAÇÃO Seja uma série absolutamente convergente Se então para todo vale onde Como é uma sequência de Cauchy seguese que é de Cauchy e portanto convergente A recíproca do Teorema 2 é falsa Um contraexemplo é dado pela série Esta série não é absolutamente convergente pois quando tomamos a soma dos valores absolutos obtemos a série harmônica que diverge A convergência da série dada seguese do Teorema 3 abaixo Teorema 3 Leibniz Se é uma sequência monótona decrescente que tende para zero então é uma série convergente DEMONSTRAÇÃO Seja Então e Logo as reduzidas de ordem par formam uma sequência não decrescente pois e as de ordem ímpar formam uma sequência não crescente pois Além disso como temos Isto mostra que e Logo converge e o teorema está provado Teorema 4 Teste da razão Seja para todo e suponha que exista o limite Temse que i Se então é absolutamente convergente ii Se então não converge absolutamente iii Se o teste é inconclusivo DEMONSTRAÇÃO i Fixe tal que Então existe tal que ou seja é uma sequência limitada Daí existe uma constante positiva tal que isto é para todo Como é convergente pois o resultado é uma consequência do critério de comparação ii Se então a série diverge pois se tem donde para todo suficientemente grande e daí resulta que o termo geral de não tende para zero iii Se o teste é inconclusivo pois a série pode convergir como no caso ou divergir como no caso Exemplo 3 Analise a convergência das séries a b SOLUÇÃO a É claro que para a série é trivialmente convergente Para escrevemos e observamos que donde Pelo teste da razão é convergente b Escrevendo obtemos Daí e a série é divergente Teorema 5 Teste da raiz Suponha que exista o limite Temse que i Se então converge absolutamente ii Se então não converge absolutamente iii Se o teste é inconclusivo DEMONSTRAÇÃO i Fixe tal que Então existe tal que Como é convergente pois o resultado é uma consequência do critério de comparação ii Se então a série diverge pois se tem donde para todo suficientemente grande e daí resulta que o termo geral de não tende para zero iii Se o teste é inconclusivo pois considerando as séries e temos em ambos os casos Sabemos que a primeira séria é divergente e a segunda é convergente Exemplo 4 Consideremos a série onde é um número real tomado arbitrariamente Temos Logo esta série converge absolutamente quando e diverge para Exemplo 5 Mostre que i ii SOLUÇÃO i Escrevendo temse que Daí e pelo teste da razão a série é convergente Em particular termos geral desta série tendo a zero ii Fazendo temos Portanto o teste da raiz nos garante que a série é convergente e em particular seu termo geral tende a zero ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo lista5analisedoc ou clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir a Lista de Exercícios desta aula Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 1 5 8 11 12 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR num único documento de texto doc docx ou pdf ou manuscrito e escaneado Fontes das Imagens