Propriedades Aritméticas dos Números Reais

Introdução à Análise Aula 02 Números Reais Tópico 01 R é um corpo Neste tópico faremos uma descrição das propriedades aritméticas do conjunto dos números reais Dizer que é um corpo significa que estão definidas em duas operações chamadas adição e multiplicação que cumprem certas condições abaixo especificadas A adição faz corresponder a cada par de elementos sua soma enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto Os axiomas a que essas operações obedecem são Associatividade Para quaisquer xyz R temse x y z x y z e x yz x yz Comutatividade Para quaisquer xy R temse x y y x e xy yx Elementos neutros Existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x 0 x e x1 x para qualquer x R Inversos Todo x R possui um inverso aditivo x R tal que x x 0 e se x 0 existe também um inverso multiplicativo x1 R tal que x x1 1 Distributividade Para xyz R quaisquer temse xy z x y xz Descrição da tabela Associatividade Para quaisquer xyz R temse x y z x y z e x yz x yz Comutatividade Para quaisquer xy R temse x y y x e xy yx Elementos neutros Existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x 0 x e x1 x para qualquer x R Inversos Todo x R possui um inverso aditivo x R tal que x x 0 e se x 0 existe também um inverso multiplicativo x1 R tal que x x1 1 Distributividade Para xyz R quaisquer temse xy z x y xz Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de manipulação com os números reais A título de exemplo estabeleceremos algumas delas Exemplo 1 Prove que os elementos neutros são únicos SOLUÇÃO Inicialmente mostremos que 0 é o único elemento neutro aditivo Com efeito se existisse outro elemento neutro aditivo digamos 0 então teríamos 0 0 0 0 0 0 De modo similar se existisse outro elemento neutro multiplicativo digamos 1 teríamos 1 1 1 11 1 A soma xy será indicada por xy e chamada diferença entre x e y Se o produto xy1 será representado também por e chamado o quociente de x por y As operações chamamse respectivamente subtração e divisão Exemplo 2 Prove que xy0 então yx Conclua que o inverso aditivo de um número real é único e em particular vale a identidade x para todo x SOLUÇÃO Com efeito somando a ambos os membros da igualdade obtemos Isto conclui a prova da primeira parte desta proposição Sabemos que é o inverso aditivo de um número real A equação acima nos diz que se um número for um inverso aditivo de então ele deve ser necessariamente Isto significa que o inverso aditivo de um número real é único Finalmente usando a comutatividade da adição temos que para cada x vale ou seja é o inverso aditivo de ou ainda Exemplo 3 Prove que x00 para todo x SOLUÇÃO Com efeito da distributividade seguese que Somando ambos os membros da igualdade obtemos Exemplo 4 Prove que se xy0 então x0 ou y0 SOLUÇÃO Com efeito se for então podemos multiplicar ambos os membros da igualdade por e obter donde Uma consequência interessante do Exemplo 4 é que se dois números reais xy têm quadrados iguais então Com efeito Exemplo 5 Prove que xy1 então Conclua que o inverso aditivo de um número real é único e em particular vale a identidade x11 para todo x 0 SOLUÇÃO Com efeito o Exemplo 3 acima nos garante que x 0 e y 0 Multiplicando ambos os membros da igualdade obtemos Agora a conclusão é análoga à discutida no Exemplo 2 Exemplo 6 Prove que em são verdadeiras as seguintes regras de sinais SOLUÇÃO a Com efeito Somando a ambos os membros da igualdade vem Analogamente temse b Usando o item a temos Introdução à Análise Aula 02 Números Reais Tópico 02 R é um corpo ordenado Neste tópico faremos uma descrição da relação de ordem usualmente destacada no corpo Dizer que é um corpo ordenado significa que existe um subconjunto chamado o conjunto dos números reais positivos que cumpre as seguintes condições 1ª Condição P1 A soma e o produto de números reais positivos são positivos Ou seja e 2ª Condição P2 Dado x exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre ou x 0 ou x ou x Se indicarmos com o conjunto dos números x onde x a condição P2 diz que e os conjuntos são dois a dois disjuntos Os elementos de chamamse números reais negativos Exemplo 1 Prove que todo número real x 0 tem quadrado positivo e conclua que 1 é positivo SOLUÇÃO Com efeito se x então x2 x x por P1 Se x então como x 0 x logo ainda por causa de temos x2 xx Em particular 1 é um número positivo porque 12 1 Escrevese x y e dizse que x é menor do que y quando isto é yxz onde z é positivo Neste caso escrevese também y x e dizse que y é maior do que x Em particular x 0 significa que Exemplo 2 Valem as seguintes propriedades da relação de ordem x y em O1 Transitividade se x y e y z então x z O2 Tricotomia dados ocorre exatamente uma das alternativas x y x y ou y x O3 Monotonicidade da adição se x y então para todo temse x z y z O4 Monotonicidade da multiplicação se x y então para todo z 0 temse xz yz Se porém z 0 então x y implica yz xz DEMONSTRAÇÃO O1 e significam que existem tais que Daí e consequentemente visto que O2 O resultado é uma consequência direta da relação O3 significa que existe tal que Somando a esta última equação obtemos o que indica O4 Se então por P1 Somando a desigualdade obtemos em virtude de O3 De modo similar se trata do caso Como 1 é positivo seguese que 1 1 1 1 1 1 Podemos então considerar Seguese que pois 0 e n n Além disso se mn com n 0 então mn m n1 o que nos permite concluir que Assim temos Veremos na próxima aula que a inclusão é própria ou seja temse Exemplo 3 Desigualdade de Bernoulli Para todo número real DEMONSTRAÇÃO Vamos usar indução sobre n Para n 1 a desigualdade é óbvia Supondo que a desigualdade vale para multiplicando ambos os membros pelo número 1 x 0 obtemos A relação de ordem em permite definir o valor absoluto ou módulo de um número real do seguinte modo Noutras palavras é o maior dos números reais x e x Temse para todo Com efeito a desigualdade é óbvia enquanto resulta de multiplicarmos por 1 ambos os membros da desigualdade Teorema 1 Sejam x δ Temse x δ se e somente se δ x δ DEMONSTRAÇÃO De modo similar provase que Teorema 2 Se DEMONSTRAÇÃO Somando membro a membro as desigualdades obtemos Seguese do Teorema 1 que Para provar que basta mostrar que estes dois números têm o mesmo quadrado já que ambos são nãonegativos Ora A desigualdade é conhecida como desigualdade triangular Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de conjuntos reais chamados intervalos Em termos de intervalos o Teorema 1 diz que OBSERVAÇÃO Nada do que foi dito até agora sobre permite distinguir de pois os números racionais também constituem um corpo ordenado Na próxima aula trataremos deste assunto ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo lista2analisedoc ou clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir a Lista de Exercícios desta aula Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 3 7 10 11 18 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR num único documento de texto doc docx ou pdf ou manuscrito e escaneado Fontes das Imagens