Completeza de R: Supremo e Ínfimo - Aula 03

Introdução à Análise Aula 03 Completeza de R Tópico 01 Supremo e Ínfimo VERSÃO TEXTUAL Nesta aula destacaremos o fato de ser um corpo ordenado completo Na aula anterior falamos sobre as propriedades de corpo e a ordem natural de Para apresentarmos a completeza de iniciaremos esta aula com os conceitos de conjuntos limitados supremo e ínfimo Um conjunto X dizse limitado superiormente quando existe algum b tal que x b para todo x X Neste caso dizse que b é uma cota superior de X Analogamente dizse que o conjunto X é limitado inferiormente quando existe a tal que a x para todo x X O número a chamase então uma cota inferior de X Se X é limitado superior e inferiormente dizse que X é um conjunto limitado Isto significa que X está contido em algum intervalo ab ou equivalentemente que existe k 0 tal que x X x k Exemplo 1 Verifique que o conjunto é limitado e exiba algumas cotas inferiores e superiores de SOLUÇÃO Inicialmente observemos que se então e consequentemente Isto significa que Por outro lado se então e deste modo Finalmente para temse e portanto Assim concluise que e obviamente é limitato É claro que todo número é cota superior de e todo número é cota inferior de Seja um conjunto limitado superiormente e nãovazio Um número chamase o supremo do conjunto quando é a menor de suas cotas superiores de Mais explicitamente é o supremo de quando cumpre as duas condições S1 Para todo temse S2 Se é tal que para todo então A condição S2 admite a seguinte reformulação S2 Se então existe com Com efeito S2 diz que nenhum número real menor do que pode ser cota superior de Às vezes se exprime S2 assim para todo existe tal que Escreveremos bsupX para indicar que é o supremos do conjunto Analogamente se X é um conjunto não vazio limitado inferiormente um número real a chamase o ínfimo do conjunto X e escrevese a inf X quando é a maior das cotas inferiores de X Isto equivale às duas afirmações I1 Para todo temse I2 Se para todo então A condição I2 pode também ser formulada assim I2 Se então existe tal que De fato I2 diz que nenhum número maior do que é cota inferior de Equivalentemente para todo existe tal que Dizse que um número é o maior elemento ou elemento máximo do conjunto quando para todo Isto quer dizer que é uma cota superior de pertencente a De forma análoga definese o menor elemento ou elemento mínimo de um conjunto Exemplo 2 Se possuir um elemento máximo este será o seu supremo se possuir um elemento mínimo ele será seu ínfimo Reciprocamente se supX pertence a então é o maior elemento de se pertencer a será o seu menor elemento Em particular se e temos e supXb Exemplo 3 Dados em seja Verifique que e supXb SOLUÇÃO É claro que é uma cota inferior de Vamos verificar que nenhum com é cota inferior de Isto é claro se Por outro lado se for então é um elemento de com o que prova que não é cota inferior Assim inf Xa De modo análogo se mostra que supXb É interessante observar que no Exemplo 3 acima se tem que Isto ilustra bem que as noções de supremo e ínfimo servem respectivamente para substituir de modo preciso a ideia de maior e menor elemento de um conjunto quando esses não necessariamente existem Exemplo 4 Dados com tome tais que e 1 Prove que e 2 Conclua do item a que o conjunto e não possui elemento máximo e que o conjunto e não possui elemento mínimo 3 Prove que se e então 4 Conclua dos itens anteriores que entre os números racionais não existem supX e infX SOLUÇÃO 1 Com efeito Visto que temos e consequentemente A desigualdade implica e portanto Logo Por outro lado A desigualdade nos dá ou seja Daí Resta mostrar que Ora 2 Pelo que foi visto no item a concluímos que não tem elemento máximo pois para cada existe tal que De modo semelhante concluise que não tem elemento mínimo 3 Com efeito temse e portanto Daí e consequentemente 4 Suponhamos inicialmente que existe asupX É claro que Não pode ser pois isto obrigaria e então seria o maior elemento de que não existe pelo item b Tampouco poderia ser pois neste caso teríamos e pelo item b existiria tal que o que implicaria em virtude do item c que para todo Isto contradiz o fato Assim se existir asupX deverá ser e isto é Um raciocínio inteiramente análogo mostraria que o número binfX se existir deve ser A conclusão agora é uma consequência de o número não ser racional Isto será discutido a seguir O Exemplo 4 acima apontou para uma insuficiência grave dos números racionais para efeitos de Análise Matemática alguns conjuntos limitados de números racionais não possuem supremo ou ínfimo Este fato está ligado à inexistência de raízes quadradas racionais de certos números racionais Pitágoras e seus discípulos descobriram o seguinte Lema Não existe um número racional cujo quadrado seja igual a 2 Em outras palavras não é racional DEMONSTRAÇÃO Suponhamos por absurdo que se tenha ou seja com e inteiros É claro que não há perda de generalidade em supor que é uma fração irredutível ou seja o maior divisor comum entre eles é 1 Pois bem a equação nos diz que é um número par e consequentemente deve ser da forma para algum inteiro Substituindo o valor na equação obtemos Assim é um número par e portanto deve ser da forma para algum inteiro Isto significa que 2 é um divisor comum de e o que é uma contradição No próximo tópico acabaremos nossa caracterização de descrevendoo como um corpo ordenado completo isto é um corpo ordenado tal que todo subconjunto não vazio limitado superiormente resp inferiormente possuir supremo resp ínfimo propriedade que não tem Introdução à Análise Aula 03 Completeza de R Tópico 02 R é um Corpo Ordenado Completo A afirmação de que o corpo ordenado R é completo significa que todo conjunto não vazio limitado superiormente X R possui supremo b sup X R Não é necessário estipular também que todo conjunto não vazio limitado inferiormente possui ínfimo Com efeito neste caso o conjunto é não vazio limitado superiormente logo possui supremo Então como se vê sem dificuldade o número a b é o ínfimo de X Em seguida veremos algumas consequências da completeza de R Teorema 1 i O conjunto dos números naturais não é limitado superiormente ii O ínfimo do conjunto é igual a 0 iii Dados existe tal que DEMONSTRAÇÃO i Se fosse limitado superiormente existiria Então não seria cota superior de isto é existiria com Daí resultaria logo não seria cota superior de Esta contradição prova i ii É evidente que 0 é uma cota inferior de Basta provar que nenhum é cota inferior de Ora dado existe por i um número natural donde o que prova ii iii Finalmente dados usamos i para obter tal que Então o que demonstra iii As propriedades i ii e iii do teorema acima são equivalentes e significam que é um corpo arquimediano Teorema 2 Intervalos encaixados Dada uma sequência decrescente de intervalos limitados e fechados existe pelo menos um número real tal que para todo DEMONSTRAÇÃO As inclusões significam que O conjunto é portanto limitado superiormente Seja Evidentemente para todo Além disso como cada é cota superior de temos para todo Portanto qualquer que seja Teorema 3 O conjunto dos números reais não é enumerável DEMONSTRAÇÃO Mostraremos que nenhuma função é sobrejetora Para isto supondo dada escolhemos um intervalo tal que Supondo obtidos intervalos tais que olhamos para Se podemos simplesmente tomar Se porém pelo menos um dos extremos digamos é diferente de isto é Neste caso tomamos com e Assim construímos uma sequência decrescente de intervalos fechados e limitados tais que nenhum dos valores de pode ser igual a um número real Um número real chamase irracional quando não é racional Como o conjunto dos números racionais é enumerável resulta do teorema acima que existem números irracionais e mais ainda sendo os irracionais constituem um conjunto não enumerável portanto formam a maioria dos reais por que a reunião de dois conjunto enumeráveis seria enumerável Corolário 1 Todo intervalo não degenerado é não enumerável DEMONSTRAÇÃO Visto que a função dada por é uma bijeção cuja inversa é definida por seguese que o intervalo é não enumerável Como a função definida por é uma bijeção seguese que todo intervalo aberto é não enumerável Isto completa a demonstração uma vez que todo intervalo não degenerado contém um intervalo aberto Teorema 4 Todo intervalo não degenerado contém números racionais e irracionais DEMONSTRAÇÃO Certamente contém números irracionais pois do contrário seria enumerável Para provar que contém números racionais tomamos onde podem ser supostos irracionais Fixemos tal que Os intervalos cobrem a reta isto é Portanto existe tal que Como é irracional temos Sendo o comprimento do intervalo igual a seguese que Logo o número racional pertence ao intervalo e portanto ao intervalo Um conjunto é dito denso em quando para qualquer intervalo aberto da reta O Teorema 4 acima garante que os conjuntos e são ambos densos em ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo lista3analisdoc ou clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir a Lista de Exercícios desta aula Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 1 4a 8 9 12 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR num único documento de texto doc docx ou pdf ou manuscrito e escaneado Fontes das Imagens