Estudo Histórico sobre Matrizes, Matriz Inversa e Determinantes

MATRIZES MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES Fernanda dos Santos Gentil 1 MATRIZES 11 HISTÓRICO Historicamente o estudo das matrizes era determinantes linha modificada por Jame na Figura 1 primeiro a dar um nome ao novo ramo da Figura 1James Joseph Sylvester Fonte ALES e MACIEL 2015 Porém foi Arthur Cayley utilidades das Matrizes em s Figura 2 Arthur Cayley Fonte ALES e MACIEL 2015 No entanto o estudo sistemático das Matrizes iniciou dele já haviam prósperas pesqu utilizou Matrizes no estudo de Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 2 ente o estudo das matrizes era apenas uma modificada por James Joseph Sylvester como pode ser visualizado o a dar um nome ao novo ramo da matemática s Joseph Sylvester foi Arthur Cayley amigo de Sylvester Figura 2 que demonstrou as Matrizes em sua obra Memorion the Theory of Matrices em 1858 No entanto o estudo sistemático das Matrizes iniciouse com Cayley mas antes prósperas pesquisas no assunto principalmente quando Lagrange utilizou Matrizes no estudo de máximos e mínimos de funções reais de várias variáveis Matrizes Matriz Inversa e Determinantes apenas uma sombra dos s Joseph Sylvester como pode ser visualizado ue demonstrou as es em 1858 ayley mas antes quando Lagrange máximos e mínimos de funções reais de várias variáveis As matrizes ganharam muito espaço e importância conceber hoje a ideia de meteorologia oceanografia entre outras inúmerasáreas sem o estudo delas Com relação a origem do nome pode coloquial da palavra matriz qua as como um bloco retangular de termos o que não representa um determinante mas é comose fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes ao fixar umnúmero p publicado na Philosophical Magazine de1850 Considere a tabela a seguir nela apresentam escolar de 4 turmas diferentes em 4 disciplinas Quadro 1 Resultados aproveitamento escolar Matemática Turma A 8 Turma B 7 Turma C 8 Turma D 7 Fonte ALES e MACIEL 2015 A identificação de uma determinada nota procurada pode ser fe maneira Quando querermos saber o aproveitamento da turma C em história exemplo basta nos orientarmos na linha daturma C e na coluna onde estão as notas de história logo encontramos a nota 7 Agora repetindo a coluna apenas considerando os números dispos colunas como no quadro conforme apresentado na Figura 3 Figura 3 Resultados aproveitamento escolar Fonte ALES e MACIEL 2015 Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 3 zes ganharam muito espaço e importância que não se cons conceber hoje a ideia de computadores engenharia civil elétrica mecânica meteorologia oceanografia entre outras inúmerasáreas sem o estudo delas Com relação a origem do nome podese dizer que se usou coloquial da palavra matriz qual seja local onde algo se gera ou cria Com as como um bloco retangular de termos o que não representa um determinante mas é comose fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes ao fixar umnúmero p e escolher à vontade p linhas e p colunas publicado na Philosophical Magazine de1850 Considere a tabela a seguir nela apresentamse os resultados do aproveitamento turmas diferentes em 4 disciplinas aproveitamento escolar Matemática Português História 9 8 5 6 7 7 8 8 A identificação de uma determinada nota procurada pode ser fe querermos saber o aproveitamento da turma C em história basta nos orientarmos na linha daturma C e na coluna onde estão as notas de história logo encontramos a nota 7 Agora repetindo a coluna apenas considerando os números dispos anterior porém colocados entre parênteses ou colc conforme apresentado na Figura 3 Resultados aproveitamento escolar Matrizes Matriz Inversa e Determinantes que não se consegue computadores engenharia civil elétrica mecânica meteorologia oceanografia entre outras inúmerasáreas sem o estudo delas se usou o significado onde algo se gera ou cria Com efeito via as como um bloco retangular de termos o que não representa um determinante mas é comose fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de tade p linhas e p colunas artigo do aproveitamento Geografia 9 6 7 9 A identificação de uma determinada nota procurada pode ser feita da seguinte querermos saber o aproveitamento da turma C em história por basta nos orientarmos na linha daturma C e na coluna onde estão as notas de Agora repetindo a coluna apenas considerando os números dispostos em linhas e anterior porém colocados entre parênteses ou colchetes Em tabelas dispostas como essa os números são chamados de elementos As colunas são enumeradas da esquerda para a direita e as linhas de cima para baixo Esse tipo de tabela disposta com linhas e colunas é classificado da seguinte forma mxn onde m são as linhas e n as colunas com m e n diferentes de 0 essa tabela é chamada de matriz Dessa forma pode números reais ou complexos dispostos em verticais Para melhor entender a definição de matriz segue abaixo alguns exemplos Observe pelos exemplos apresentados que uma matriz pode ser representada por colchetes ou parênteses Figura 4 Matriz Fonte ALES e MACIEL 2015 12 REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ As matrizes normalmente são representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas acompanhadas de dois índices que indicam respectivamente a linha e a coluna ocupadas pelo elemento Uma matriz A do tipo m x n Ou pode ser representada abreviadamente A a respectivamente a linha e a coluna que um determinado elemento ocupa Dessa forma Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 4 Em tabelas dispostas como essa os números são chamados de elementos As colunas são enumeradas da esquerda para a direita e as linhas de cima para baixo Esse tipo de tabela disposta com linhas e colunas é classificado da seguinte forma mxn onde linhas e n as colunas com m e n diferentes de 0 essa tabela é chamada de se dizer que Matriz m x n é um arranjo retangular de m ais ou complexos dispostos em m linhas filas horizontais e Para melhor entender a definição de matriz segue abaixo alguns exemplos Observe pelos exemplos apresentados que uma matriz pode ser representada por REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ As matrizes normalmente são representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas acompanhadas de dois índices que indicam respectivamente a linha e a coluna ocupadas pelo elemento Uma matriz A do tipo m x n é representada por Ou pode ser representada abreviadamente A aijmxn onde i e j significam respectivamente a linha e a coluna que um determinado elemento ocupa Dessa forma Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Em tabelas dispostas como essa os números são chamados de elementos As colunas são enumeradas da esquerda para a direita e as linhas de cima para baixo Esse tipo de tabela disposta com linhas e colunas é classificado da seguinte forma mxn onde linhas e n as colunas com m e n diferentes de 0 essa tabela é chamada de n é um arranjo retangular de m n filas horizontais e n colunas filas Para melhor entender a definição de matriz segue abaixo alguns exemplos Observe pelos exemplos apresentados que uma matriz pode ser representada por As matrizes normalmente são representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas acompanhadas de dois índices que indicam onde i e j significam respectivamente a linha e a coluna que um determinado elemento ocupa Dessa forma Para exemplificar considere a matriz A a Simbolicamente tem Aplicando valores para os elementos dessa matriz considerando a condição aij 2i j têmse 13 TIPOS DE MATRIZES 131 Matriz Linha É toda matriz do tipo 1 x n isto é com uma única linha Considere o exem 132 Matriz Coluna É toda matriz do tipo n x 1 isto é com uma única coluna 133 Matriz Quadrada É toda matriz do tipo n x n isto é com o mesmo número de linhas e colunas Neste caso dizemos que a matriz é de ordem n Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 5 Para exemplificar considere a matriz A aij 2x2 onde aij 2i j Simbolicamente temse Aplicando valores para os elementos dessa matriz considerando a condição TIPOS DE MATRIZES É toda matriz do tipo 1 x n isto é com uma única linha Considere o exem É toda matriz do tipo n x 1 isto é com uma única coluna Considere o exemplo É toda matriz do tipo n x n isto é com o mesmo número de linhas e colunas Neste caso dizemos que a matriz é de ordem n Considere os exemplos Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 2i j Aplicando valores para os elementos dessa matriz considerando a condição É toda matriz do tipo 1 x n isto é com uma única linha Considere o exemplo Considere o exemplo É toda matriz do tipo n x n isto é com o mesmo número de linhas e colunas Considere os exemplos Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz tais que i j Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz tais que i j n 1 134 Matriz Triangular Superior É toda matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos ou seja aij 0 para i j Considere o exemplo 135 Matriz Triangular Inferior É toda matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são nulos ou seja aij 0 para j i Considere o exemplo 136 Matriz Nula É toda matriz em que todos os elementos são nulos Notação O exemplo Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 6 Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa Matriz Triangular Superior É toda matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal 0 para i j Considere o exemplo Matriz Triangular Inferior É toda matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são 0 para j i Considere o exemplo É toda matriz em que todos os elementos são nulos Notação O Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa É toda matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal É toda matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são É toda matriz em que todos os elementos são nulos Notação O mxn Considere o UNIFACEAR CENTRO UNIVERSITARIO Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Lee 137 Matriz Diagonal E toda matriz quadrada na qual os elementos posicionados acima e abaixo da diagonal principal sao todos nulos ou seja aj 0 se i j Importante observar que os elementos da diagonal também podem ser nulos mas pelo menos um elemento nao pode ser nulo Considere os exemplos 400 2 9 4 4 B0 3 0 007 138 Matriz Identidade E toda matriz quadrada onde todos os elementos que nado estéo na diagonal principalsao nulos e os da diagonal principal sao iguais a 1 ou sejaIn aij 7 fh sai j 7 Osei j Notagao In onde n indica a ordem da matriz identidade Considere os exemplos fl oO 0 1 oO nl 1 10 I 10 0 1 139 Matriz Transposta Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A trocandose ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas ou seja aij ai Notacao A Considere 0 exemplo 2 3 0 a Sed entio A3 2 2 0 1 eg PR UNIFACEAR CENTRO UNIVERSITARIO Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Lee Desse modo se a matriz A é do tipo m x nAé do tipo n x m Note que a primeira linha de A corresponde a primeira coluna de A e a segunda linha de A corresponde a segunda coluna de A 1310 Matriz Simétrica Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A A ou seja ajj aj Considere 0 exemplo 2 3 1 23 1 Sed3 2 4 At 13 2 1 4 5 1 4 5 1311 Matriz oposta Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A trocando se o sinal de todos os seus elementos Notagao A Considere 0 exemplo 3 0 3 0 3 Az Se A 4 8 4 1 14 OPERACOES COM MATRIZES 141 Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n so iguais se todos os elementos que ocupam a mesma posigao sao idénticos Notagao A B Considere 0 exemplo 2 9 2 oot sete Bet eABentiocONeb3 fg Pe UNIFACEAR CENTRO UNIVERSITARIO Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Lee 142 Adicao de Matrizes Dadas as matrizes A mxn Bbjj mn chamamos de soma das matrizes Ae Ba matriz CCjij mxn tal que cj ajj bij para todo 1 imetodolin Notacgao A B C Lembrando que AB existe se e somente se A e B sao do mesmo tipo m x n Propriedades Se A B e C sao matrizes do mesmo tipo m x n valem as seguintes propriedades e Associativa ABCABC e Comutativa ABBtA e Elemento Neutro AO0AA onde O éa matriz nula m x n e Elemento Oposto AAAAO Considere os exemplos 1 4 2 1 12 441 3 3 io zitlo 2lozo 742710 9 ni 3 3 1 B23 31 Q1 5 41 tly weayly a 2 lost 11 12 1 01 143 Subtracao de Matrizes Dadas as matrizes A jj mx Bbjj mxn chamamos de diferenga entre as matrizes A e B a soma de A com a matriz oposta de B Notaao AB A B fg PR Lembrando que AB existe se e somente se A e B são do mesmo tipo mxn Considere o exemplo 144 Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real uma matriz do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x Notação B xA Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m x n e x e y números reais qua valem as seguintes propriedades Associativa xyA xyA Distributiva de um número real em relação xB Distributiva de uma matriz em relação xA yA Elemento Neutro xA A para x 1 ou seja 1A A Considere o exemplo Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 10 B existe se e somente se A e B são do mesmo tipo mxn Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A é uma matriz do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m x n e x e y números reais qua valem as seguintes propriedades Associativa xyA xyA Distributiva de um número real em relação à adição de matrizes xAB xA Distributiva de uma matriz em relação à soma de dois números reais x yA eutro xA A para x 1 ou seja 1A A Considere o exemplo Matrizes Matriz Inversa e Determinantes B existe se e somente se A e B são do mesmo tipo mxn o produto de x por A é uma matriz do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m x n e x e y números reais quaisquer adição de matrizes xAB xA soma de dois números reais x yA UNIFACEAR CENTRO UNIVERSITARIO Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Lee 145 Multiplicacao de Matrizes A multiplicagao das matrizes A aj mxp Bbij pxné a matriz C jj mxn 5 onde cada elemento c obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da iésima linha de A pelos elementos da jésima coluna de B Dessa forma a matriz produto AB existe apenas se o numero de colunas da primeira matriz A igual ao numero de linhas da segunda matriz B Assim An xp Byxn ficam A Bm xn Observe que a matriz produto tera o nimero de linhas m do primeiro fator e o numero de colunas n do segundo fator Considere os exemplos Se 4 B 45 Se 4 B que nao existe produto Aye By AB ai Propriedades Verificadas as condigdes de existéncia para a multiplicagao de matrizes sao validas as seguintes propriedades e Associativa ABC ABC e Distributiva em relacgao a adiao ABC ABAC ABC AC BC e Elemento Neutro A I IAA onde I é a matriz identidade de ordem n 146 Transposicao de Matrizes A transposta da matriz A é A Cada elemento aj aj i UNIFACEAR CENTRO UNIVERSITARIO Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Lee Propriedades Ay A AB AB AB Ts kA kA k ER Considere 0 exemplo 2 3 1 2 1 Sendo a4 1 B A determinar A Be BA e comparar os resultados 11 16 105 Resposta AB e BA LF Ihe 22 ly 2 MATRIZ INVERSA Seja A é uma matriz quadrada n x n Chamamos de matriz inversa de A a uma matriz B também n x n quesatisfaz a seguinte propriedade A BBAI em que I é a matriz identidade n x n Se esta matriz B existir A sera chamada de matriz invertivelNotacao a matriz inversa de A é indicada porA logo A A A7 A I Considere 0 exemplo Ache a inversa da Matriz ml 1 4 2 3a B 1 0 2a3c 2643d 1 0 1 4jjc d 0 1 a4ce b4d Oo 1 2a3e1 4 1 2h3d 0 3 2 d tect bLed Fo Fergie bal soe 5 4 3 Logo A 4 a 3 DETERMINANTES 31 HISTÓRICO Mas foi só em 1683 num trabalho do japonês SekiKowa que a idéia determinante como polinômio que se associa a um quadrado de números veio à luz Kowa considerado o maior matemático japonês do século XVII chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares sistematizando o velho procedimento chinês para o caso de duas equações apenas O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz ligado também a sistemas lineares Em resumo Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incóg determinante de ordem 3 formado pe determinante deve ser nulo O importante teorema de Laplace através dos menores de r filas escolhidas e foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que a julgar pelo título nada tinha a ver com o assunto Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo O termo determinante com o sent Cauchy sobre o assunto Neste artigo apresentado à Academia de Ciências Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes melhorou a notação mas a atual com duas barras verticais l surgiria em 1841 com Arthur Cayley e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes primeira demonstração deste teorema mas a de Cauchy era superior Além de Cauehy quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão grande algorista Devese a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente Como algoris com suas potencialidades Assim o importante conceito de jacobiano de uma função salientando um dos pontos mais característicos de sua obra é uma homenagem das mais justas Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 13 Mas foi só em 1683 num trabalho do japonês SekiKowa que a idéia determinante como polinômio que se associa a um quadrado de números veio à luz Kowa considerado o maior matemático japonês do século XVII chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares sistematizando o velho procedimento chinês o caso de duas equações apenas O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz ligado também a sistemas lineares Em resumo Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes este determinante deve ser nulo teorema de Laplace que permite a expansão de um determinante através dos menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que a julgar pelo título nada tinha a ver com o assunto Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do O termo determinante com o sentido atual surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto Neste artigo apresentado à Academia de Ciências Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes melhorou a notação mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes meses antes J F M Binet 1786 primeira demonstração deste teorema mas a de Cauchy era superior de Cauehy quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G J Jacobi 18041851 cognominado às vezes o se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente Como algorista Jacobi era um entusiasta da notação de determinante com suas potencialidades Assim o importante conceito de jacobiano de uma função salientando um dos pontos mais característicos de sua obra é uma homenagem das mais Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Mas foi só em 1683 num trabalho do japonês SekiKowa que a idéia de determinante como polinômio que se associa a um quadrado de números veio à luz Kowa considerado o maior matemático japonês do século XVII chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares sistematizando o velho procedimento chinês O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz ligado também a sistemas lineares Em resumo Leibniz estabeleceu a condição nitas em termos do independentes este que permite a expansão de um determinante seus respectivos complementos algébricos foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que a julgar pelo título nada tinha a ver com o assunto Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do ido atual surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto Neste artigo apresentado à Academia de Ciências Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes melhorou a adeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley e deu uma demonstração do teorema da 17861856 dera a de Cauehy quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos 1851 cognominado às vezes o se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje ta Jacobi era um entusiasta da notação de determinante com suas potencialidades Assim o importante conceito de jacobiano de uma função salientando um dos pontos mais característicos de sua obra é uma homenagem das mais DEFINIÇÃO Determinant n elementos de uma matriz quadrada de maneira que em cada parcela produto não haja dois elementos pertencentes a uma mesma linha eou coluna SOARES 1979 apud ALES e MACIEL 2015 Notação det A ou A 32 ALGUNS MÉTODOS PARA CALCULAR O DETERMINANTE 321 Determinante de primeira ordem 322 Determinante de segunda ordem 323 Determinante de terceira ordem regra de Sarrus 324 Teorema de Laplace para determinante de ordem O determinante de dos elementos de uma fila linha ou coluna pelos respectivos cofatores Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 14 Determinante é a somatória de todos os produtos possíveis dos n elementos de uma matriz quadrada de maneira que em cada parcela não haja dois elementos pertencentes a uma mesma linha eou coluna SOARES 1979 apud ALES e MACIEL 2015 32 ALGUNS MÉTODOS PARA CALCULAR O DETERMINANTE 321 Determinante de primeira ordem 322 Determinante de segunda ordem 323 Determinante de terceira ordem regra de Sarrus 324 Teorema de Laplace para determinante de ordem n 2 O determinante de uma matriz quadrada de ordem n 2 é a soma dos pro linha ou coluna pelos respectivos cofatores Matrizes Matriz Inversa e Determinantes e é a somatória de todos os produtos possíveis dos formada por um não haja dois elementos pertencentes a uma mesma linha eou coluna 32 ALGUNS MÉTODOS PARA CALCULAR O DETERMINANTE 2 é a soma dos produtos linha ou coluna pelos respectivos cofatores Se a linha i é a escolhida então Se a coluna j é a escolhida então Importante salientar que é número de zeros Considere o exemplo Propriedades dos determinantes O determinante é zero quando O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou colunas iguais é igual a zero O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou colunas múltiplas é igual a zero O determinante de uma matriz que tem uma linha ou coluna nula é igual a zero Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 15 Se a linha i é a escolhida então Se a coluna j é a escolhida então Importante salientar que é mais interessante considerar a fila que contém o maior Considere o exemplo Propriedades dos determinantes O determinante é zero quando O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou colunas iguais é igual a e uma matriz que tem duas linhas ou colunas múltiplas é O determinante de uma matriz que tem uma linha ou coluna nula é igual a Matrizes Matriz Inversa e Determinantes fila que contém o maior O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou colunas iguais é igual a e uma matriz que tem duas linhas ou colunas múltiplas é O determinante de uma matriz que tem uma linha ou coluna nula é igual a s CENTRO UNIVERSITARIO Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Lee Alguns determinantes especiais e det AdetA e Se na matriz A cada elemento de uma linha é uma soma de duas parcelas o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes a saber a 5 ja a 4 be all By Cy e O determinante de uma matriz triangular A superior ou inferior igual ao produto dos elementos da diagonal principal 325 Teorema de Binet O determinante de um produto é 0 produto dos determinantes ou seja det4Bdet Adet B 326 Teorema de Jacob Um determinante nao se altera quando se soma a uma fila outra fila paralela previamente multiplicada por um numero real qualquer Seja A uma matriz quadrada de ordem n 2 Se adicionar a uma de suas filas outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante obtémse uma matriz B tal que detB detA Considere 0 exemplo Calcule os determinantes 1212 242 37 i ee 2 ef tg PR UNIFACEAR CENTRO UNIVERSITARIO Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Lee Solugao Somando a segunda linha o produto da primeira linha por 2 temos ee ae oo O I ia ae aE bo Aplicando a esse Ultimo resultado 0 teorema de Laplace pela segunda linha temos 2 i 1711 1 26 2 1 1 Dessa forma det B det A 6 327 Utilizagao da triangularizagao para calcular determinantes Exemplo de calculo de determinante fazendo a triangularizacado da matriz através das operagées elementares 2 1 Calcularo det A1 3 3 5 3 Primeiramente obter o elemento pivé a 1 obtemse appl 217 ital 14 detA1 3 2 gt 2 3 Lemar ey 5 3 5 3 4 L1 15 fg PR Obtémse Obtémse a matriz E para calcular o determinante é preciso fazer o produto Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 18 E para calcular o determinante é preciso fazer o produto da diagonal principal Matrizes Matriz Inversa e Determinantes da diagonal principal REFERÊNCIAS ALES Vanessa Terezinha MACIEL Marli acompanhamento nas aulas DELGADO Jorge FRENSEL Katia SANTANA Alessandro Alves Matrizes Matriz Inversa e Determinantes 19 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Vanessa Terezinha MACIEL Marli Geometria Analítica Material para aulas Curitiba 2015 DELGADO Jorge FRENSEL Katia Geometria Analítica MA UFMA 2011 SANTANA Alessandro Alves Geometria Analítica Uberlândia MG UFU 2013 Matrizes Matriz Inversa e Determinantes Material para MA UFMA 2011 Uberlândia MG UFU 2013