Grandezas Escalares e Vetoriais em Geometria Analítica

Geometria analítica no plano 2 1 GRANDEZA ESCALARES E VETORIAIS O conceito científico para grandeza é tudo o que pode ser medido As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais As grandezas escalares são caracterizadas por sua intensidade ou tamanho como por exemplo tempo comprimento massa temperatura etc Exemplos 50 kg de massa 30 minutos 15 m de comprimento 1 litro As grandezas vetoriais se caracterizam por três componentes intensidade direção e sentido como por exemplo a força momento linear velocidade deslocamento etc Exemplos Uma força de 5 N fazendo um ângulo de 30 com a reta x e tendo o sentido da esquerda para a direita Figura 1 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Uma velocidade de 10 ms na direção da reta s e no sentido da direita para a esquerda Geometria analítica no plano 3 Figura 2 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 2 VETORES Algumas definições Reta orientada eixo uma reta é orientada quando é fixado um sentido de percurso considerado positivo e indicado por uma seta Figura 3 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Segmento orientado AB é determinado por um par ordenado de pontos origem A e extremidade B Geometricamente é representado por uma seta Figura 4 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Segmento nulo a extremidade coincide com a origem É um ponto Segmentos opostos se AB é um segmento orientado BA é o oposto de AB Geometria analítica no plano 4 Medida de um segmento fixada uma unidade de comprimento a cada segmento orientado podese associar um número real não negativo denominado comprimento ou módulo É indicado por 𝐴𝐵 Figura 5 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Direção e sentido dois segmentos orientados não nulos têm a mesma direção se suas retas suportes forem paralelas ou coincidentes O sentido é dado pela seta Segmentos equipolentes dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando tem a mesma direção o mesmo sentido e o mesmo comprimento Representamos por AB CD Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB Figura 6 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Vetores iguais 𝐴𝐵 𝐶𝐷 se e somente se AB CD Vetor Nulo é o vetor de direção e sentido arbitrários É indicado por 0 Vetores opostos se 𝑣 𝐴𝐵 o oposto é 𝐵𝐴 𝐴𝐵 𝑣 Geometria analítica no plano 5 Vetor unitário vetor de módulo um 𝑣 1 Versor de um vetor não nulo 𝑣 é um vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 𝑣 Vers 𝑣 𝑣 𝑣 Vetores colineares tem mesma direção Figura 7 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Vetores coplanares tem imagens geométricas sobre um mesmo plano Figura 8 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Soma de ponto com vetor a soma do ponto A com o vetor 𝑣 é o ponto B que é a extremidade da imagem geométrica de 𝑣 construída a partir de A A 𝑣 B 𝑣 B A Geometria analítica no plano 6 3 OPERAÇÕES COM VETORES 31 ADIÇÃO Geometricamente a soma de n vetores é feita considerando as imagens geométricas dos vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte O vetor resultante é aquele que fecha a poligonal tendo por origem a origem do primeiro vetor e extremidade a extremidade do último vetor Para dois vetores 311 Regra do triângulo Transportase para um ponto 0 o vetor 𝑢 Transportase para a extremidade do vetor 𝑢 o vetor 𝑣 em seguida ligase a origem de 𝑢 com a extremidade de 𝑣 Figura 9 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 312 Regra do paralelogramo Sejam 2 vetores aplicados num ponto P Da extremidade de cada um deles traçamos uma paralela à reta suporte do outro O vetor soma ou resultante é aquele que tem origem em P e extremidade na intersecção das paralelas Geometria analítica no plano 7 Figura 10 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Se o paralelogramo em particular for um retângulo temos a soma dos vetores será definida pelo vetor da diagonal principal Figura 11 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Para três vetores ou mais 313 Regra do polígono Sejam 3 vetores aplicados num ponto P Figura 12 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Geometria analítica no plano 8 Para obter 𝑣 𝑣 1 𝑣 2 devese marcar um ponto O arbitrário e transportar os vetores a partir de O e seguir cada um deles na extremidade do anterior mantendo suas características módulo direção e sentido Figura 13 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 O vetor soma será definida pela reta que fechar o polígono ou seja o vetor com início em O e término na extremidade do último vetor 314 Propriedades Comutatividade 𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 Associatividade 𝑣 𝑢 𝑤 𝑣 𝑢 𝑤 Elemento Neutro 𝑢 0 𝑢 Elemento oposto 𝑢 𝑢 0 32 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR O produto de um número real k 0 por um vetor 𝑣 0 é um vetor 𝑝 k 𝑣 O vetor k 𝑣 tem mesma direção de 𝑣 Geometria analítica no plano 9 321 Propriedades Associatividade ab𝑢 𝑤 a b𝑢 Elemento Neutro1 𝑢 𝑢 Distributiva a b 𝑢 a𝑢 b𝑢 Distributiva a 𝑢 𝑣 a𝑢 a𝑣 4 VETORES NO R² PLANO E NO R³ESPAÇO 41 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO PLANO Dados dois vetores 𝑣 1 e 𝑣 2 não colineares e um vetor 𝑣 coplanar a eles podemos obter 𝑣 a partir de 𝑣 1 e 𝑣 2 ou seja 𝑣 𝑎1𝑣 1 𝑎2𝑣 2 𝑣 é combinação linear de 𝑣 1 e 𝑣 2 O conjunto 𝑣 1 𝑣 2 é denominado base no plano Qualquer conjunto de dois vetores não colineares forma uma base no plano Os números a1 e a2 são as componentes ou coordenadas de 𝑣 em relação à base 𝑣 1 𝑣 2 Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais isto é as bases compostas por vetores unitários e ortogonais Dentre as infinitas bases ortonormais no plano destacase a base que determina o sistema cartesiano ortogonal xOy denominada base canônica Os vetores unitários e ortogonais são simbolizados por 𝑖 e 𝑗 ambos com origem na origem do sistema e extremidades em 10 e 01 respectivamente Base canônica 𝑖 𝑗 Geometria analítica no plano 10 Figura 14 Representação Fonte ALES e MACIEL 2015 Igualdade de vetores Dois vetores 𝑣 x1 y1 e 𝑢 x2y2 são iguais se e somente se x1 x2 e y1y2 Operações com vetores Sejam os vetores 𝑢 x1 y1 e 𝑣 x2y2 e α ϵ R 𝑢 𝑣 x1 x2 y1 y2 α 𝑢 αx1 αy1 Paralelismo de dois vetores Dois vetores 𝑢 x1 y1 e 𝑣 x2y2 são paralelos se existe um número real α tal que 𝑢 α𝑣 x1 y1 αx2y2 x1 y1 αx2 αy2 x1 αx2 e y1αy2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 α Dessa forma dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais Módulo de um vetor Seja 𝑣 x y pelo teorema de Pitágoras temos que 𝑣 𝑥2 𝑦² A distância entre dois pontos A x1 y1 e Bx2 y2 é o módulo do vetor 𝐴𝐵 Geometria analítica no plano 11 42 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO ESPAÇO Igualdade de vetores Dois vetores 𝑣 x1 y1 z1 e 𝑢 x2y2 z2 são iguais se e somente se x1 x2 y1y e z1z2 Operações com vetores Sejam os vetores 𝑢 x1 y1 z1 e 𝑣 x2y2z2 e α ϵ R 𝑢 𝑣 x1 x2 y1 y2 z1 z2 α 𝑢 αx1 αy1 αz1 Paralelismo de dois vetores Dois vetores 𝑢 x1 y1z1 e 𝑣 x2y2z2 são paralelos se existe um número real α tal que 𝑢 α𝑣 x1 y1z1 αx2y2z2 x1 y1z1 αx2 αy2 αz2 x1 αx2 y1αy2 e z1αz2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧2 α Dessa forma dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais Módulo de um vetor Seja 𝑣 x y z pelo teorema de Pitágoras temos que 𝑣 𝑥2 𝑦2 𝑧² A distância entre dois pontos A x1 y1z1 e Bx2 y2z2 é o módulo do vetor 𝐴𝐵 5 PRODUTO ESCALAR O produto escalar dos vetores 𝑢 e 𝑣 representado por 𝑢 𝑣 é o número real dado por 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 0 𝜃 𝜋 𝑢 𝑣 0 indica que cos 𝜃 0 então 𝜃 é agudo ou nulo 𝑢 𝑣 0 indica que cos 𝜃 0 então 𝜃 é obtuso ou raso 𝑢 𝑣 0 quando um dos vetores é nulo ou quando os dois vetores são ortogonais Geometria analítica no plano 12 51 PROPRIEDADES Para quaisquer vetores 𝑢 𝑣 e 𝑤 e o número real α valem as propriedades Comutativa 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 Associativa em relação à multiplicação por escalarα 𝑢 𝑣 α𝑢 𝑣 𝑢 α𝑣 Distributiva em relação à adição de vetores 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 𝑢 𝑢 𝑢 ² 𝑢 𝑣 ² 𝑢 ² 2𝑢 𝑣 𝑣 ² Expressão analítica do produto escalar 𝑢 𝑣 x1x2 y1y2 z1z2 Ângulo de dois vetores Da definição 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 temos cos 𝜃 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 6 PRODUTO VETORIAL OU EXTERNO O produto vetorial dos vetores 𝑢 x1 y1 z1 e 𝑣 x2 y2 z2 nesta ordem representado por 𝑢 𝑥 𝑣 é o vetor 61 PROPRIEDADES 𝑢 x 𝑢 0 𝑢 x 𝑣 𝑣 x 𝑢 𝑢 x 𝑣 𝑤 𝑢 x 𝑣 𝑢 x 𝑤 k𝑢 x 𝑣 k 𝑢 x 𝑣 𝑢 x 𝑣 ² 𝑢 ² 𝑣 ² 𝑢 𝑣 ² Geometria analítica no plano 13 7 PRODUTO MISTO O produto misto dos vetores 𝑢 x1 y1 z1 𝑣 x2 y2 z2 e 𝑤 x3 y3 z3 nesta ordem representado por 𝑢 𝑣 𝑤 é o número real 𝑢 x 𝑣 𝑤 71 PROPRIEDADES Nulidade 𝑢 𝑣 𝑤 0 quando o Um vetor é nulo o Dois vetores são paralelos o Três vetores são coplanares Cíclico 𝑢 𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 𝑢 𝑤 𝑢 𝑣 Permuta de símbolos 𝑢 𝑣 x 𝑤 𝑢 x 𝑣 𝑤 8 EQUAÇÃO DA RETA Equação Vetorial da Reta x y z x0 y0 z0 tabc t ϵ R Equações paramétricas da Reta t ϵ R Equações simétricas da Reta Equações reduzidas da Reta 𝑦 𝑦0 𝑏 𝑎 𝑥 𝑥0 𝑧 𝑧0 𝑐 𝑎 𝑥 𝑥0 Geometria analítica no plano 14 9 ESTUDO DO PLANO Equações paramétricas do plano Equação geral do plano 10 ESTUDO DAS CÔNICAS 101 PARÁBOLA Uma Parábola é o conjunto de pontos que distam igualmente de um ponto fixo chamado foco e de uma reta d chamada reta diretriz Conforme ilustrado na Figura 15 Figura15 Parábola Fonte SANTANA 2013 Geometria analítica no plano 15 Os elementos da parábola são V vértice F foco d reta diretriz p distância do foco F até a reta diretriz d A distância do foco ao vértice e do vértice à reta diretriz é metade desse valor O seu sinal informa se a parábola tem concavidade voltada para cima p 0 ou para baixo p 0 Equação da Parábola A parábola como apresentada na Figura 15 tem a seguinte forma geral onde V xV yV são as coordenadas do vérticee vale quando a concavidade é voltada para cima p 0ou para baixo p 0 Se a concavidade for voltada para os lados conforme mostrado na Figura 16 a equação da parábola é representada por Figura 16 Parábola Fonte SANTANA 2013 Geometria analítica no plano 16 102 ELIPSE Uma elipse é um conjunto de pontos Pxy do plano cuja soma das distâncias deste a dois pontos fixos é sempre constante Observe a Figura 17 O que está sendo dito é que a soma das distâncias do ponto P aos pontos F1 e F2 é sempre a mesma O valor da soma dessas distâncias é igual a 2a isto é Figura 17 Elipse Fonte SANTANA 2013 Os elementos da elipse são C Centro da elipse F1 e F2 Focos A1 A2 B1 e B2 Vértices 𝐴1𝐴2 e 𝐵1𝐵2 Eixos da elipse Equação da Elipse A equação que representa uma elipse é dada por onde CxC yC são as coordenadas do centro a é a metade do comprimento do eixo 𝐴1𝐴2 que é paralelo ao eixo x e b a metade do comprimento do eixo 𝐵1𝐵2 também paralelo ao eixo y A Figura 18 apresenta tais parâmetros Geometria analítica no plano 17 Figura 18 Parâmetro da Elipse Fonte SANTANA 2013 Por padrão o valor de a é sempre a medida do eixo maior e b do eixo menor Se o eixo maior for paralelo ao eixo y então a equação da elipse é dada por É importante ressaltar que o foco sempre fica no eixo maior como pode ser verificado na Figura 19 Figura 19 Elipse com eixo maior paralelo ao eixo y Fonte SANTANA 2013 O valor de c pode ser calculado de acordo com a Figura 20 a partir da aplicação do Teorema de Pitágoras a² b² c² Geometria analítica no plano 18 Figura 20 Cálculo da distância focal Fonte SANTANA 2013 103 HIPÉRBOLE Uma hipérbole é um conjunto de pontos Pxy no plano cuja diferença da distância a dois pontos fixos distintos em módulo é constante Figura 21 Hipérbole Fonte SANTANA 2013 Os elementos da hipérbole são C centro da hipérbole F1 e F2 focos A1 e A2 vértices Segmento 𝐴1𝐴2 É chamado eixo real e tem comprimento 2a Segmento 𝐵1𝐵2 É chamado eixo imaginário ou eixo conjugado e tem comprimento 2b Distância focal comprimento do segmento 𝐹1𝐹2 o qual tem medida 2c Geometria analítica no plano 19 Equação da Hipérbole Se o eixo real for paralelo ao eixo y como é o caso da Figura 21a equação é dada por E se o eixo real for paralelo ao eixo x como é caso da Figura 22 a equação é dada por Figura 22 Hipérbole Fonte SANTANA 2013 Geometria analítica no plano 20 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALES Vanessa Terezinha MACIEL Marli Geometria analítica Material para acompanhamento nas aulas Curitiba 2015 DELGADO Jorge FRENSEL Katia Geometria analítica MA UFMA 2011 SANTANA Alessandro Alves Geometria analítica Uberlândia MG UFU 2013