Resolução de Sistemas Lineares e Equações Homogêneas

Resolução de sistemas lineares 2 1 SISTEMAS LINEARES Antes de definirmos o conceito de Sistema Linear é importante entendermos a definição de Equação linear que é da forma a1x1 a2x2 anxn b onde a1 a2an são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1 x2 xn e b é um número real chamado termo independente Constatase que quando b 0 a equação recebe o nome de linear homogênea Considere o seguinte exemplo Três irmãos Paula Júlia e André ao confrontarem suas contas de telefone celular ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada As três contas apresentam ligações para telefones fixo e móveis e ligações internacionais para Buenos Aires onde moram seus primos Quadro 1 Informações do tempo min das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta já descontado o preço da assinatura Fonte Secretaria de Educação de Pernambuco sd As incógnitas x y e z são os preços do minuto de ligação para telefones fixos para telefones moveis e para Buenos Aires respectivamente A conta de cada indivíduo é considerada equações Por exemplo A conta de Paula é dada por 10x 6y 2z 1220 A conta de Júlia é dada por 14x 4Y 3z 1340 A conta de André é dada por 8x 5y 5z 1470 Vamos analisar a equação referente a conta da Paula 10x 6y 2z 1220 Resolução de sistemas lineares 3 Dessa equação podemos constatar as seguintes informações É uma equação de 1º grau Os três termos do 1º membro são de 1º grau O termo do segundo membro é de grau zero independe de qualquer variável Uma equação desse tipo é chamada de equação linear Dessa forma se a1 a2 a3 an b são constantes reais e x1 x2 x3 xn são variáveis reais uma equação linear é do tipo a1x1 a2x2 a3x3 anxn b Onde x1 x2 x3 xn são as incógnitas a1 a2 a3 an são os coeficientes b é o termo independente Importante observar que em uma equação linear os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1 Como apresentado anteriormente olhando de forma independente para cada conta temos equações lineares no entanto se observarmos o todo ou seja olhar o conjunto dessas equações lineares as três nós temos o que chamamos de Sistemas Lineares 10x 6y 2z 1220 14x 4Y 3z 1340 8x 5y 5z 1470 De maneira geral chamase sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial Considere o seguinte exemplo Resolução de sistemas lineares 4 11 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear Por exemplo considere o sistema linear abaixo 111 Sistema Linear Homogêneo Sistema linear homogêneo é aquele que possui todos os coeficientes independentes nulos Num sistema linear homogêneo todas as equações são homogêneas ou seja possui todos os coeficientes independentes nulos Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula 0 0 0 0 chamada de trivial Resolução de sistemas lineares 5 Um sistema homogêneo pode ter outras soluções além da trivial Para melhor compreensão da explicação acima considere o seguinte exemplo 112 Sistemas Equivalentes Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções são chamados de sistemas equivalentes O exemplo a seguir reforça essa explicação Os dois sistemas acima são equivalentes pois ambos apresentam como solução os valores 21 Considerase como propriedades de equivalência entre sistemas Trocar de posição entre si duas equações do sistema Multiplicar ou dividir os dois membros de uma equação do sistema por uma constante nãonula Substituir uma equação pela soma membro a membro dela com outra equação podendo ser ambas multiplicadas antes por uma constante real nãonula Resolução de sistemas lineares 6 12 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Quanto ao número de soluções um sistema pode ser possível e determinado possível e indeterminado ou impossível Para melhor entendimento a Figura 1 ilustra a classificação de um sistema linear Figura 1 Classificação de um sistema linear Fonte Secretaria de Educação de Pernambuco sd 121 Sistema de Equações com duas incógnitas e interpretação gráfica da solução Em um plano cartesiano as equações da forma ax by c em que a e b são simultaneamente não nulos definem uma reta A solução de um sistema linear de duas equações a duas variáveis corresponde aos pontos comuns às retas relacionadas a essas equações Considere o seguinte sistema linear EXEMPLO 1 Na primeira equação se isolarmos a incógnita y teremos y 3x 5 Em seguida substituir o valor de y da segunda equação por 3x 5 referente a primeira equação Dessa forma têmse Equações Originais Resolução de sistemas lineares 7 x 3x 5 7 4x 12 x3 Com o valor encontra de x voltar para a primeira equação e encontrar o valor de y y 3x 5 y 33 5 y 4 Solução 3 4 Como esse sistema linear apresentou uma única solução então ele é chamado de sistema possível e determinado SPD Tal solução pode ser representada graficamente Para isso é necessário estabelecer valores aleatórios por exemplo para x em ambas equações originais e assim encontrará os respectivos valores de y Representar cada par ordenado em um gráfico como ilustrado na Figura 2 Figura 2 Sistema Possível e Determinado Fonte Secretaria de Educação de Pernambuco sd Podese constatar pela Figura 2 que a representação gráfica de um sistema possível determinado é dada por retas concorrentes ou seja duas retas apresentam em comum um único ponto xy como solução do sistema Resolução de sistemas lineares 8 Considere um segundo exemplo de sistema linear EXEMPLO 2 Na primeira equação se isolarmos a incógnita x teremos x 4 3y Em seguida substituir o valor de x da segunda equação por 4 3y referente a primeira equação Dessa forma têmse 24 3y 6y 3 8 6y 6y 3 0y11 Um sistema linear pode não ter solução Nesse caso ele é caracterizado como um sistema impossível SI como é o caso do exemplo acima Da mesma forma que o EXEMPLO 1 aplicar valores para a incógnita x em ambas equações originais e encontrar valores para a incógnita y Em seguida elaborar o gráfico conforme Figura 3 Figura 3 Sistema Impossível Fonte Secretaria de Educação de Pernambuco sd Equações Originais Resolução de sistemas lineares 9 Podese constatar pela Figura 3 que a representação gráfica de um sistema impossível é dada por retas paralelas ou seja não há ponto s em comum nessas retas assim não há solução para o sistema Considere o EXEMPLO 3 Na primeira equação se isolarmos a incógnita x teremos x 2y 5 Em seguida substituir o valor de x da segunda equação por 2y 5 referente a primeira equação Dessa forma têmse 22y 5 4y 10 4y 10 4y 10 0y0 Um sistema linear pode ter infinitas soluções Nesse caso ele é caracterizado como um sistema possível e indeterminado SPI como é o caso do exemplo acima Da mesma forma que os exemplos anteriores aplicase valores para a incógnita x em ambas equações originais e encontrase valores para a incógnita y Em seguida elaborase o gráfico conforme Figura 4 Figura 4 Sistema Possível e Indeterminado Fonte Secretaria de Educação de Pernambuco sd Equações Originais Resolução de sistemas lineares 10 Podese constatar pela Figura 4 que a representação gráfica de um sistema possível e indeterminado é dada por retas coincidentes ou seja há infinitas soluções para o sistema Para melhor fixar o conteúdo até então trabalhado considere o resumo abaixo representado pela Figura 5 levando em conta as equações com duas variáveis Figura 5 Resumo Fonte Secretaria de Educação de Pernambuco sd Exercícios Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções a b c Tem solução única 35 Portanto é SPD Tem infinitas soluções x 8x Portanto é SPI Não tem solução Portanto é SI Resolução de sistemas lineares 11 13 Regra de Cramer Processo de resolução de sistemas lineares por meio de determinantes Analogamente podemos escrever a matriz incompleta de qualquer sistema linear n x m assim como o seu determinantes D e também os determinantes Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma iésima incógnita pelos termos independentes no determinante da matriz incompleta A regra de Cramer pode ser aplicada para resolver um sistema n x m onde D 0 a solução é dada pelas razões x1 D1 D x2 D2 D x3 D3 D xn Dn D Para melhor compreensão resolver o sistema linear abaixo utilizando a regra de Cramer Resolução de sistemas lineares 12 14 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações m é igual ao número de incógnitas n Quando m e n são maiores que três tornase muito trabalhoso utilizar essa regra Por isso usamos a técnica do escalonamento que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares Um sistema está escalonado quando de equação para equação no sentido de cima para baixo houver aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não nulos Por esse motivo vamos descrever o sistema em forma de escada ou seja por escalonamento Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações Repetimos o processo com as demais incógnitas até que o sistema se torne escalonado Considere os exemplos a seguir 1 Um sistema escalonado é impossível SI só quando apresenta uma equação impossível Resolução de sistemas lineares 13 2 Um sistema escalonado é possível e determinado SPD quando o número de equações é igual ao número de incógnitas 3 Um sistema escalonado é possível e indeterminado SPI quando o número de equações é menor que o número de incógnitas Vamos trocar a variável z pela letra k Dessa forma a segunda equação ficará y 2z 2 y 2k 3 y 2k 3 Em seguida substituir o valor de yna primeira equação por 2k 3 referente a segunda equação Lembrando de também substituir a letra z na primeira equação por k Dessa forma têmse x y z 3 x 2k 3 k 3 x 2k 3 k 3 x k 6 Assim a solução para esse sistema é k 6 2k 3 k Resolução de sistemas lineares 14 A todo sistema linear podemos associar uma matriz chamada matriz completa do sistema Considere o seguinte exemplo Escalonar discutir e resolver se possível o sistema Associando o sistema a uma matriz temos Resolução de sistemas lineares 15 Podese concluir que a matriz é escalonada e que a última linha da matriz representa a equação 0x 0y 23 assim caracterizando ser um sistema impossível Resolução de sistemas lineares 16 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALES Vanessa Terezinha MACIEL Marli Geometria Analítica Material para acompanhamento nas aulas Curitiba 2015 DELGADO Jorge FRENSEL Katia Geometria Analítica MA UFMA 2011 SANTANA Alessandro Alves Geometria Analítica Uberlândia MG UFU 2013 SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DE PERNAMBUCO Matemática e suas Tecnologias Sistemas Lineares Disponível em httpswww1educacaopegovbr