Sistemas de Coordenadas: História e Estrutura

Sistemas de Coordenadas 2 1 HISTÓRIA O termo coordenada cartesiana surgiu dos estudos desenvolvidos pelo matemático filósofo e físico francês chamado René Descartes conforme apresentado na Figura 1 que nasceu na França na cidade de La Haye en Touraine no dia 31 de Março de 1596 e morreu em Estocolmo na Suécia no dia 11 de Fevereiro de 1650 Esse pesquisador obteve maior reconhecimento por sugerir a fusão da Álgebra com a Geometria Tal junção originou a geometria analítica e o sistema de coordenadas A palavra Cartesiana vem do sobrenome de Descartes Figura 1René Descartes Fonte SANTANA 2013 2 SISTEMAS DE COORDENADAS NO PLANO Em geometria analítica o SISTEMA DE COORDENADAS é um conjunto de regras que tem por finalidade fornecer a localização ou posicionamento de pontos seja no plano ou no espaço SANTANA 2013 As regras de posicionamento em geometria analítica são estabelecidas por meio das referências Ao se trabalhar em um plano é necessário utilizar duas referências e se estiver no espaço é preciso utilizar três referências Nesses casos anteriormente citados as referências são chamadas de eixos coordenados Tais eixos são retas que interceptam em um ponto O conhecido como origem e são todas perpendiculares entre si ou seja formam entre si um ângulo de 90º SANTANA 2013 Em um plano cartesiano trabalhase em duas dimensões bidimensional a reta horizontal chamada de eixo x eixo das abscissas e a reta vertical chamada de eixo y eixo das ordenadas conforme pode ser visualizado na Figura 2 Sistemas de Coordenadas 3 Figura 2 Eixos coordenados no plano Fonte SANTANA 2013 Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em 4 regiões chamadas de quadrantes os quais são enumerados no sentido antihorário conforme ilustrado na Figura 3 Figura 3 Localização e numeração dos quadrantes Fonte SANTANA 2013 No plano as coordenadas de um dado ponto P são indicadas por P x y As coordenadas da origem O são dadas por O 00 que é o ponto de referência inicial para localizar qualquer ponto no plano cartesiano O ponto de origem divide o eixo x e o eixo y em duas semirretas com sinais contrários em ambos os eixos O que distingue um quadrante do outro é importante observar os sinais das coordenadas x y de um ponto qualquer do plano Dessa forma Se x y pertence ao 1º quadrante então x0 e y0 Simbolicamente Se x y pertence ao 2º quadrante então x0 e y0 Simbolicamente Se x y pertence ao 3º quadrante então x0 e y0 Simbolicamente Se x y pertence ao 4º quadrante então x0 e y0 Simbolicamente Sistemas de Coordenadas 4 Algumas particularidades importantes a serem consideradas quando se tem o ponto Px x0 lêse da seguinte forma projeção ortogonal de P formação de ângulo de 90º sobre o eixo das abscissas e quando há o ponto Py 0 y lêse projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas Com o objetivo de facilitar a visualização das explicações anteriormente mencionadas considere os seguintes pontos de coordenadas A 2 3 B 3 2 e C 2 3 o próximo passo será posicionálos no plano cartesiano Dessa forma para localizar o ponto A 2 3 é preciso andar a partir da origem duas unidades no sentido positivo do eixo x e depois três unidades no sentido positivo do eixo y direção paralela ao eixo y Essa situação pode ser observada na Figura 4 Figura 4 Localização do ponto de coordenadas A 2 3 Fonte SANTANA 2013 Para localizar o ponto B 3 2 é preciso andar a partir da origem três unidades no sentido negativo do eixo x e depois duas unidades no sentido positivo do eixo y direção paralela ao eixo y conforme apresentado na Figura 5 Figura 5 Localização do ponto de coordenadas B 3 2 Fonte SANTANA 2013 Sistemas de Coordenadas 5 Para localizar o ponto C 2 3 é necessário andar a partir da origem duas unidades no sentido negativo do eixo x e depois três unidades no sentido negativo do eixo y direção paralela ao eixo y tal localização pode ser visualizada na Figura 6 Figura 6 Localização do ponto de coordenadas C 2 3 Fonte SANTANA 2013 3 SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO No espaço o sistema de coordenada cartesiana é baseado em três dimensões sendo um caso tridimensional Dessa forma para localizar um ponto no espaço utilizase de três parâmetros x y e z Assim as coordenadas de um ponto P no espaço é representada pela notação P x y z As coordenadas cartesianas recebem alguns nomes específicos como já mencionado anteriormente o eixo x se refere ao eixo das abcissas o y ao eixo das ordenadas e o eixo z presente no espaço tridimensional referese ao eixo das cotas No espaço os eixos coordenados são formados por três retas perpendiculares entre si que se interceptam em um ponto O origem Os eixos x e y pertencem a um mesmo plano Já o eixo z é perpendicular simultaneamente aos eixos x e y Tais eixos coordenados podem ser visualizados na Figura 7 Sistemas de Coordenadas 6 Figura 7 Coordenadas cartesianas no espaço Fonte SANTANA 2013 Da mesma forma que os eixos de coordenadas em um ambiente bidimensional divide o plano em 4 quadrantes tais eixos dividem o espaço tridimensional em 8 regiões octantes É possível distinguir um octante do outro a partir dos sinais das coordenadas x y z de um ponto qualquer do espaço Dessa forma Se x y z pertence ao 1º octante x0 y0 e z0 Simbolicamente Se x y z pertence ao 2º octante x0 y0 e z0 Simbolicamente Se x y z pertence ao 3º octante x0 y0 e z0 Simbolicamente Se x y z pertence ao 4º octante x0 y0 e z0 Simbolicamente Se x y z pertence ao 5º octante x0 y0 e z0 Simbolicamente Se x y z pertence ao 6º octante x0 y0 e z0 Simbolicamente Se x y z pertence ao 7º octante x0 y0 e z0 Simbolicamente Se x y z pertence ao 8º octante x0 y0 e z0 Simbolicamente Algumas particularidades importantes a serem consideradas quando se tem o ponto P1 x y 0 P2 0 y z e P3 x 0 z lêse da seguinte forma projeções ortogonais de P sobre os planos coordenados Já quando se tem o ponto Px x 0 0 Py 0 y 0 e Pz 0 0 z a leitura é da seguinte maneira projeções ortogonais de P sobre os eixos coordenados Sistemas de Coordenadas 7 Com o objetivo de facilitar a visualização das explicações anteriormente mencionadas considere o ponto de coordenada A 2 3 2 o próximo passo será posicionálo no espaço Tal ponto está no primeiro octante pois as três coordenadas apresentam valores positivos Dessa forma para localizar o ponto A é preciso andar a partir da origem duas unidades no sentido positivo do eixo x depois três unidades no sentido positivo do eixo y direção paralela ao eixo y Por último é preciso andar duas unidades no sentido positivo do eixo z direção paralela ao eixo z Essa situação pode ser observada na Figura 8 Figura 8 Representação do ponto A 232 no espaço Fonte SANTANA 2013 Para localizar o ponto P 3 5 6 no espaço em uma perspectiva 3D é necessário caminhar três unidades no sentido positivo do eixo x e andar 5 unidades no sentido positivo do eixo y Essas retas se encontram em um ponto Nesse ponto é preciso caminhar 6 unidades no sentido positivo do eixo z ou seja devese caminhar de forma paralela ao eixo z Tal ponto pode ser visualizado na Figura 9 Figura 9 Representação em 3D do ponto P 356 no espaço Fonte ALES e MACIEL 2015 Sistemas de Coordenadas 8 3 EXEMPLOS Exemplo 1 Os pontos 23 53 e 27 são vértices de um triângulo retângulo A área desse triângulo é Desenhar o triângulo no plano cartesiano A área do triângulo é 𝐴 𝐵 𝑥 𝐻 2 Equação 1 Onde A área B base H altura Assim o próximo passo é encontrar os resultados dessas incógnitas Para isso é preciso subtrair os pontos situados no eixo da abcissa x para encontrar o valor da base e subtrair os pontos do eixo da ordenada y para determinar o resultado da altura Então B 52 3 u m H 73 4 um Legenda um unidade de medida Sistemas de Coordenadas 9 Assim o próximo passo é determinar a área do triângulo aplicando os valores mencionados anteriormente na Equação 1 𝐴 3 𝑥 4 2 A 6 um Resposta Para esse exemplo o valor da área do triângulo retângulo é de 6 um Exemplo 2 Determine as coordenadas que localizam o ponto médio entre A 43 e B 21 A Equação para determinar o ponto médio referente ao eixo x é a seguinte 𝑋𝑚 𝑋𝑎𝑋𝑏 2 Equação 2 Assim a coordenada x é calculada aplicando os valores de Xa 4 e Xb2 na Equação 2 𝑋𝑚 4 2 2 𝑋𝑚 3 A Equação para determinar o ponto médio referente ao eixo y é a seguinte 𝑌𝑚 𝑌𝑎𝑌𝑏 2 Equação 3 Dessa forma a coordenada y é calculada aplicando os valores de Ya 3 e Yb1 na Equação 3 𝑌𝑚 3 1 2 𝑌𝑚 1 Resposta As coordenadas que localizam o ponto médio dos pontos A e B são 3 1 Sistemas de Coordenadas 10 Exemplo 3 Determine as coordenadas que localizam o ponto médio entre A 43 2 e B 21 1 A Equação para determinar o ponto médio referente ao eixo x é a seguinte 𝑋𝑚 𝑋𝑎𝑋𝑏 2 Equação 4 Assim a coordenada x é calculada aplicando os valores de Xa 4 e Xb2 na Equação 4 𝑋𝑚 4 2 2 𝑋𝑚 3 A Equação para determinar o ponto médio referente ao eixo y é a seguinte 𝑌𝑚 𝑌𝑎𝑌𝑏 2 Equação 5 Dessa forma a coordenada y é calculada aplicando os valores de Ya 3 e Yb1 na Equação 5 𝑌𝑚 3 1 2 𝑌𝑚 1 A Equação para determinar o ponto médio referente ao eixo z é a seguinte 𝑍𝑚 𝑍𝑎𝑍𝑏 2 Equação 6 Dessa forma a coordenada y é calculada aplicando os valores de Za 2 e Zb1 na Equação 6 𝑍𝑚 2 1 2 𝑌𝑚 1 2 Resposta As coordenadas que localizam o ponto médio dos pontos A e B são 3 1 1 2 Sistemas de Coordenadas 11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALES Vanessa Terezinha MACIEL Marli Geometria Analítica Material para acompanhamento nas aulas Curitiba 2015 DELGADO Jorge FRENSEL Katia Geometria Analítica MA UFMA 2011 SANTANA Alessandro Alves Geometria Analítica Uberlândia MG UFU 2013