Lista de Exercícios 2 - Teoria da Firma e Incerteza

Lista de exercicios n 2 Teoria da firma e incerteza Funcao de producao 1 Em relacgdo a teoria da produgdo assinale se as afirmativas a seguir sdo verdadeiras ou falsa Justifique a A fungdo de producdo FKL KL apresenta rendimentos ou retornos decrescentes de escala Falso b A elasticidade de substituigdo da funcdo de producgdo FKL aK aL é variavel Falso 6 constante igual a igual a 1 c As isoquantas da funcgdo de producgdo FKL KL sao representadas por linhas retas no grafico K por L Falso d Uma tecnologia com rendimentos decrescentes num unico fator de producao e rendimentos constantes em todos os fatores em conjunto nao sao atributos incompativeis Verdadeiro e A taxa marginal de substituigdo técnica pode ser definida como o negativo da derivada de uma isoquanta Verdadeiro f A taxa marginal de substituigdo técnica pode ser definida como o acréscimo na quantidade de um insumo por unidade de acréscimo de outro insumo sem alterar o nivel de producao Falso 2 SN cap 9 Suponha que a funcdo de producgdo de um determinado equipamento seja dada por g kl 08k 0217 onde q representa a quantidade produzida anualmente ka quantidade anual de capital utilizada como insumo a quantidade anual de trabalho utilizada como insumo a Suponha k 10 Faca o grafico da produtividade média e produtividade total do trabalho Qual o nivel de trabalho que maximiza a produtividade média Quantos equipamentos sao produzidos nestes pontos de maximo 1 Exercicios obtidos eou baseados nas referéncias bibliograficas do curso conforme ementa Quando k10 a produtividade total do trabalho é TP10I021780 Ja a produtividade média é dada por APql1002I80I Para encontrarmos o maximo de AP basta 80 tirarmos a condicdo de primeira ordem P 02 Logo 0 maximo sera dado por 20 Quando 20 q40 O esboco do grafico é dado por Quantity 9 dig pees wees oee arn TP 10 25 Labor Input MPMP 10 MP AP 10 20 25 30 40 Labor Input b Ainda assumindo que k10 faca o grafico da curva de produtividade marginal do trabalho Em que nivel de trabalho teremos a produtividade marginal do trabalho igual a 0 A produtividade marginal do trabalho é dada por MP a 10 04l Fazendo MP 0 temos que I25 c Suponha que insumo capital aumentou para k 20 Como mudaria suas respostas dos itens a e b Explique Se k20 temos que TP 201 021 3204 320 AP 20021 MP 20041 A produtividade média atinge seu valor maximo em 40 com q160 Por Sua vez a produtividade marginal iguala a 0 quando I50 d A funcdo de producgdo em questdao exibe retornos de escala constante crescente ou decrescente Dobrando k el aumenta a producdo em 4 vezes comparando item a e item b Entdo a fungdo de producao exibe retornos crescentes de escala 3 SN cap9 Suponha que a fabricacdo de celulares 6 conduzida em dois locais diferentes local 1 e local 2 usando apenas trabalho como insumo A funcdo de producdo do local 1 é dada por q 101 enquanto no local 2 a funcdo de producdo é dada por qz 5019 a Seuma Unica firma é responsavel pela produgao em ambos os locais com o objetivo de ter a maior producdo possivel dada a quantidade de trabalhadores utilizados na produgdo Como esta firma deveria alocar o fator trabalho entre os locais de produgao Explique a relacdo entre Ll e lp A firma deve alocar a quantidade de trabalho de forma que MP MP Entdo 0q1 9q2 al Aly a10l5 asols 9 ab 517 2515 lL 1 3st lL 25 b Considerando que a firma se comporta de maneira eficiente como descrito no item anterior como a producao total q depende do total de trabalhadores contratados 1 Definal 1 l Utilizando a equagdo encontrada no item a temos um sistema com duas equacées Resolvendo para l el em funcdo de l chegamos em l l I Substituindo na fundo de producdo e somando as producao dos dois locais chegamos na relacdo entre a producao total e quantidade de trabalhadores contratados qd 41 42 1019 50195 10V26l 4 SN cap 9 Considere a fungdo de produdo CobbDouglas q fkl AklF com0a1e0B1 a Mostre queae a e f 0q k k Cak Fn GAke 1B Q Ok q q oq il k egl 5g BAKAIP 1 Tab b Defina elasticidade de escalacomo eg ofthe avaliando em at f tktl t 1 mostre que para a fungdo de produao em questdo eg a f ou seja a elasticidade de é igual ao retorno de escala neste caso f tk tl t2F Akl dq t t Jin Ji atp1 Cgt lim at g lima Bt q at p 5 SN cap9 Considere uma fungdo de producdo do tipo CES dada por q kP P4P a Mostre que MP qk and MP qlP Temos que oq 1 re MP k e ke OE p P gq Ke Ip 8 k Ip MP 2 De maneira similar chegase a l b Mostre que RTS lk e use este fato para mostrar que o 11 p Usando os resultados do item a 6 possivel escrever MP l ers MBs 4 MP k l i RTS1P k nt ners n bk 1p n Entdo a elasticidade de substituicdo 0 pode ser obtida como l dinz 4 o ks dlnRTS 1 p c Calcule as elasticidades de producdo para k el e mostre que estas somam 1 0q k 2 1 e ooo OS Cr ak ak q k 1 lkP 2 1 1 e SS ve XI 1kD 14 lk Somando as duas elasticidades temos o resultado do enunciado demonstrado retornos constantes de escala aq a d Prove que 7 e consequentemente In 2 oln 2 1 O resultado segue direto do item a pois 0 ip Funcao custo 6 Em relacdo a teoria dos custos assinale se as afirmativas a seguir sdo verdadeiras ou falsa Justifique a Seja 4y 100y 100 o custo total de uma firma em que y é 0 produto Caso y 25 o custo variavel médio sera 204 Falso b Seja Sp a curva de oferta da firma i Se forem produzidas 3 unidades o custo variavel total sera 9 Verdadeiro c Seja fx1X2 x x212 a funcdo de producdo de uma firma ew e W2 OS custos dos insumos xj Xz respectivamente Supondo w W2 a minimizado de custos requer que x 0 Verdadeiro d Sejacy 3y 10 paray 0a fungdo de custo de curto prazo de uma firma Para cO 6 o custo quasefixo custo que podem ser evitados se e so se a producao for igual a 0 sera de 4 Verdadeiro a Esta ultima igualdade é bastante Util em trabalho empiricos pois permite aproximar ar pelo salario determinado competitivamente Dessa forma é possivel estimar o através da regressdo de In 2 no Insalario e Uma firma opera duas plantas Para minimizar custos esta firma deve aumentar a producao na planta onde o custo médio for menor e reduzir a producdo em que o custo médio for maior Falso 7 SN cap10 Suponha que uma firma tenha fungdo de producdo dada por gq min 5k 101 a Encontre as funcdes de custo total custo médio e custo marginal de longo prazo para esta firma No longo prazo nenhum insumo deve ser desperdicado Entao dada a funcdo de produgdo temos que ter q5k10l e portanto k2lq5 Entao C vkwl v2l wl q q w Gf 5 10 q 2v4w 10 Entdo AC C 22w q 10 uc OC 22vw qsi10 b Suponha que k esta fixo em 10 no curto prazo Calcule as fungdes de custo total custo médio e custo marginal da firma no curto prazo Quando k10 qmin5010I Entdo existem trés casos que temos que considerar Primeiro vamos considerar I5 entao temos que q 10I50 entdo a curva de custo total de curto prazo é dada por STC 10v q10w o custo médio é dado por SACSTCq10vq w10 e o custo marginal é dado por SMC w10 Segundo 5 entdo q 50 Portanto é impossivel de produzir mais do que 50 unidades no curto prazo Neste caso STCSACSMC 9 para q 50 Por ultimo vamos considerar 0 caso que 5 Neste caso teremos a mesma formula para o custo total descrita acima STC 10v q10w assim como o custo médio SAC 10vq w10 Por sua vez a SMC nao é definida pois STC tem diferentes derivadas a direita e a esquerda de q50 c Suponha quev 1 ew 3 Encontre as funcdes de custo médio e custo marginal de curto e longo prazo Substituindo v1 e w3 nas férmulas dos itens anteriores encontramos que no longo prazo a ACMC 12 Ja no curto prazo para q 50 temos que SAC 10q 310 e SMC 310 8 SN cap10 Suponha que funcdo de custo total de uma firma seja dada por C qw23y13 Responda a Use o lema de Shephard para computar as fungcdes demanda para os insumoslek Do Lema de Shepard temos que ac 2 v3 3 F 240 Ov 3 w 2 oC 1 ypw3 Ea Ov 3 v b Use seus resultados do item a para calcular a funcdo de producdo desta firma Basta resolver a equacao de para q e substituir na equacdo para k resolvendo novamente para q de forma a eliminar w e v das equacées do item anterior Entdo teremos uma fungdo de producdo CobbDouglas 2 33 12 1 21 q 5 3313 k3 BI3k3 9 Um produtor pode usar duas fabricas para produzir seu produto As funcdes de producdo de cada fabrica sdo dadas por fa Va e gaz Vaz em que a a quantidade de insumos utilizado na fabrica i O custo de produzir uma unidade de cada insumo é 1 e o custo de ativar uma fabricaé k O Calculea funcdo custo deste produtor Se o produtor utiliza apenas uma fabrica o seu custo de produzir y unidades é dado por y k Se o produtor ativar as duas fabricas entdo ele ira de maneira dtima produzir y2 unidades em cada fabrica de maneira que o seu custo de producao sera dado por 2y4 2k Ento produzir em uma fabrica tera um custo menor que produzir em duas quando y2 k ou de outra forma y V2k Portanto a funcao de producao do produtor sera dada por coy f ify vV2k y242k ifyv2k 10 Considere uma firma que tem funcdo de producdo ykl Ak15 em que y a quantidade de produto e os insumos e k referemse respectivamente ao trabalho e ao capital a No curto prazo considere que o capital esta fixoem k 25equeA 20 Calcule a produtividade marginal do trabalho No curto prazo a funcdo de produgdo é dada por y 20251 1001 Produtividade marginal do trabalho é dada pela razdo da derivada parcial de y em logo PMGI 051001501 b Considerando o mesmo cenario descrito no item a encontre a fundo de custo total de curto prazo desta firma em funcgdao apenas da quantidade de produto y do preco do capital v e do preco do trabalho w Para encontrar em funcdo de y y1001 que implica que I y100 Custo total no curto prazo é dado por SCwl vk wy1007 25v c Considerando o mesmo cenario descrito no item ae quaew 10ev 4 encontre a quantidade ofertada pela firma em funcdo do preco do produto supondo que a firma concorre num mercado perfeitamente competitivo ou seja 6 tomadora de precos Como a firma esta em um mercado perfeitamente competitivo ela é tomadora de precos Assim a condicdo para maximizacdo de lucro é de que seu custo marginal de curto prazo seja igual ao prego de mercado Usando o custo total de curto prazo do item anteriores chegamos em 0SC dy sao 2Y P 11 As firmas presentes em uma industria sdo tomadoras de precos e tem uma funcdo custo dada por Cq q 6q 13q a Escreva as fungdes de custo marginal e custo médio das firmas e faca um diagrama com as mesmas Cmg 3q 12q 13 eCme q 6q4 13 q b Suponha que nao seja possivel para novas firmas entrarem na industria mas que a Saida de firmas é possivel Sem saber nada sobre a demanda o que podemos dizer sobre i Prego minimo para que nao haja saida de firmas O preco minimo para que as empresas nado saiam 6 o que evita lucros negativos logo p minCmg 4 ii Quantidade que cada firma produzira no ponto de saturacdao da industria O preco sera dado por pCmg e entdo temos que q 3 iii Lucro econdémico auferido por cada firma Sem a entrada de novas firmas é possivel que o lucro auferido pelas firmas seja positivo mesmo no longo prazo iv Numero de firmas na industria Com as informacées dadas nao podemos afirmar nada sobre o numero de firmas na industria Maximizacao do lucro 12 SN cap11 Uma determinada firma produz livros com um custo dado por custo total 025q Os livros que ela produz sao vendidos tanto em Portugal quanto no Brasil No Brasil a demanda pelos livros é dada por qq 100 2P Por sua vez em Portugal a demanda é dada por q 100 4P Suponha que a firma em questao consegue controlar a quantidade de livros ofertada em cada pais Calcule quanto ela deve ofertar em cada mercado de forma a maximizar seu lucro e qual o preco cobrado em cada pais Fazendo qq qa q temos que podemos escrever o custo total como C 025q 025q q Invertendo as demandas chegamos em WA P 50 A 2 WL P 25 h 4 E podemos escrever as receitas como 2 WA Ra Pada 50a 2 QL Ry Ppqu 2541 4 Logo as receitas marginais serdo dadas por MR 50 dap 2 Igualando custo marginal a receita marginal 25 0544 054 Resolvendo o sistema acima temos que gq 30 gq 10P 35eP 225 Entdo o lucro maximo é dado por mz 1050 225 400 875 13 SN cap11 Considerando um firma maximizadora de lucro responda formalmente qual o efeito de cada um dos seguintes tipos de impostos sobre a producdo otima nas seguintes situagdes i imposto de valor fixo T lump sum ii imposto proporcional com aliquota t sobre o lucro iii imposto de aliquota t sobre cada unidade vendida Primeiramente vamos relembrar que sem qualquer imposto temos mq Rq Cq i Com um imposto lumpsum dado por T a funcdo lucro passa a ser 7q Rq Cq T Acondicao de primeira ordem para a maximizacao do Om OR Oc lucro neste caso continua sendo dada por 0O 0 oq oq oq Portanto continuamos a ter como condicdo para maximizacao do lucro MR MC ii Como um imposto proporcional ao lucro escrevemos mq 1 tRq Cq Neste caso a condido de primeira ordem é dada por a a 1 tMR MC 0 Novamente isto implica que para a maximizacdo do lucro deveremos ter MR MC iii Como uma taxado sobre cada unidade mq Rq Cq tq A Z 0 CPO é dada por MR MC t 0Entao MR MC t Logo um imposto sobre unidade vendida afeta o total de produtos ofertados 14 Considere uma firma que utiliza dois insumos x ex z com precos w 0 ew 0 respectivamente Sua tecnologia é tal que y Osex S loux 1ey minxx2 caso contrario Encontre a fungao lucro em fungao do preco do produto p e dos insumos Discuta como o pardmetro determina se a tecnologia descrita possui retornos constantes crescentes ou decrescentes de escala Analisando primeiramente o caso em ambos os insumos sao maiores que 1 Nesta situacdo a firma tem retornos crescente de escala se alfa 1 retornos decrescentes de escala se alfa 1 e retornos constantes de escala se alfa 1 Além disso como os precos dos insumos sao estritamente positivos dada a funcao de producdo teremos x xX Xz Entao o problema de maximizacao pode ser escrito como max px w w2x ow W1iW2 1a1 Da condicdo de primeira ordem temos que x a Notando que a firma pode escolher x0 e obter lucro zero a fungdo lucro sera dada por aa1 1a1 1pW1W2 max p x2 Ww wo 2 0 pa pa 15 Para as fungdes de producdo abaixo encontre a demanda por fatores que maximiza o lucro a fundao oferta e a funcdo lucro em termos dos precos a fx1x2alnxalnxz A funcao exibe retornos decrescentes de escala Funcdo Lucro RT CT Entdo DY WX W2X2 I pqq Inx az In x2 WyxX1 W2X2 Oj pa w0 Ox xX Ol paz w0 Oxy X2 Demanda por fatores x pay Wy pa W2 Funcao oferta pay paz X1Xo a n a ln f x1 x2 caer 2 Funcdo lucro pay paz pay paz p a In a lIn wy wz Wy W2 Wy W2 a net a in apa pay Wy paz Ww pa pa a a pa nes 4 Az ne ay a Wy W2 a a p ja int 1 Az in 1 Wy W2 b fx1x2 minx x2 Note que para algum t0 f x1 x2 minx x2 ftx1 tx2 mintx tx ftx tx2 tminx x2 t fx1 x2 tminx x2 Logo a funcdo de producao tem retornos constantes de escala Portanto nado ha um ponto que maximiza a producao Nao é possivel portanto resolver o problema de maximizado dado por Max pminx x2 W1X1 W2X2 Incerteza 16 SN cap7 Vocé esta planejando uma viagem em que pretende gastar RS 1000000 Sua utilidade de viajar uma fungado do quanto vocé realmente gastaY dada pela fundo utilidade UY InY a Se existe uma probabilidade de 25 de vocé perder RS 100000 na viagem qual é a utilidade esperada da viagem EU 075ln 10000 025ln 9000 91840 b Suponha que vocé possa comprar um seguro que o proteja contra a perda de RS100000 pagando um prémio atuarialmente justo de RS25000 Mostre que sua utilidade esperada é maior comprando o seguro do que arriscar perder os mil reais sem ter o seguro A utilidade esperada com o seguro é dada por EU In 9750 91850 portanto maior que a utilidade sem o seguro c Qual o valor maximo que vocé estaria disposto a pagar por um seguro que o protegesse contra a perda de R100000 Comparando as utilidades esperadas com seguro e sem seguro observase que o valor maximo a pagar é 260 reais pois a partir desse valor a utilidade esperada de ndo se assegurar é maior que utilidade esperada de se assegurar 17 SN cap7 Maria possui RS 1 e pode investir este valor no ativo A ou no ativo B Um real investido no ativo A possui 50 de chance de retornar RS 16 e 50 de chance de nao ter retorno Ja um real investido no ativo B tem 50 de retornar RS 9 e 50 de chance de nao ter retorno algum A utilidade de Maria é dada pela fungdo UW VW a Suponha que os retornos dos ativos sdo independentes Mostre que Maria prefere investir metade do seu dinheiro em B e metade em Aa investir todo o dinheiro em A A utilidade esperada de investir apenas em A é dada por EUW V16 v0 2 Por sua vez a utilidade de investir quantias iguais nos dois ativos é dada por 1 ees 1 Edivissio igual UW 4 125 4 O v8 245 2121 b Suponha agora que os retornos dos ativos sdo negativamente perfeitamente correlacionados ou seja quando A tem retorno estritamente positivo B tem retorno O e viceversa Mostre que neste caso se Maria investir novamente metade de sua renda em cada ativo desta vez ela tera uma utilidade esperada maior que a calculada no item anterior Neste caso teremos Equal spit UW V8 V45 2475 18 Um consumidor com aversao a risco pode dividir sua riqueza W em dois ativos um ativo livre de risco e com retorno rf e outro ativo que dara retorno r com probabilidade zz Sob que condicdes ele devera investir parte de sua riqueza no ativo de risco Seja x a parcela de sua riqueza que o consumidor investe no ativo de risco e pf 1 rfp1rep 141r Entao UEx nUp 1 xw pxw 11Upf 1 xw ptxw Se U E0 entao o consumidor deve investir parte de sua riqueza no ativo de risco UE é dado por UE 9 w7p 1 1 p1 pUpw Calculando em x0 ou seja vendo a utilidade marginal quando o consumidor nao investe no ativo de risco temos que UE9 wmp 1 2p p3Upw Portanto vale a pena investir mais do que zero no ativo de risco caso mp 1mp pf mr1nrr Ou seja sempre que o retorno esperado do ativo com risco for maior do que o retorno do ativo livre de risco o agente vai investir uma quantia positiva no ativo com risco mesmo sendo avesso ao risco 19 Um individuo avesso ao risco e fanatico por futebol tem funcdo utilidade dada 3 41 por Utx t4x4ondet 0 écrescente no resultado do seu time de futebol no campeonato brasileiro e x 6 o montante que ele possui para gastar em bens de consumo Este individuo esta pensando em entrar em uma loteria justa na qual apostaria no resultado do seu time no campeonato brasileiro O individuo considera que existe uma probabilidade p de seu time ganhar o campeonato e uma probabilidade 1 p do seu time perder o campeonato O individuo possui uma renda inicial de Wo a Analisando a utilidade do individuo que tipo de aposta ele faria Por qué Como o individuo tem funcao utilidade céncava ele é avesso ao risco Logo ele prefere suavizar consumo entre os dois estados da natureza Como a utilidade dele depende do resultado do time de futebol mas também do quanto obtém de renda para consumo este consumidor ira entrar em uma aposta onde ele ganha se o time perder e paga se o time ganhar ou seja o individuo vai fazer da aposta um seguro Este resultado so se inverteria se o individuo esperasse que o time dele ganhasse com certeza b Monte o problema de escolha deste individuo A escolha do individuo é de quanto ele vai apostar Defina y como a quantia que ele ira apostar Como a loteria é justa temos que py 1px 0 1p py 1p x y Pp MaxypU ty x1 1 pU te x2 Pp MaxypU tWo y 1 pU tswo 2 c Este individuo sempre faz a aposta Por qué Sim pois ele 6 avesso ao risco e a loteria 6 justa logo ele prefere a loteria a ter sua utilidade variando entre os possiveis estados 20 Responda aos itens abaixo a Verdadeiro ou falso Se um individuo tem aversdo absoluta ao risco decrescente o ativo é um bem inferior Dado que a aversdo absoluta ao risco é representada por y x t a ulx Quando ha decréscimo na aversdo absoluta ao risco o grau de aversdo ao risco do individuo diminuira Logo o individuo estara mais disposto a adquirir um ativo e portanto ndo sera um bem inferior Portanto a assertiva apresentada é falsa Em outras palavras a medida que a renda se eleva o individuo fica mais propenso a entrar na loteria para adquirir 0 ativo em questdo b Um individuo avesso ao risco faz seguro quando o prémio de risco nado é atuarialmente justo Justifique matematicamente sua resposta Seja WoRiqueza inicial Da possivel perda caso ocorra um sinistro com probabilidade e a quantidade de seguro justo ao prego q A riqueza esperada desse individuo é W W D aq a 1 TD W 2g E a utilidade esperada é EUW JUW D aq a 1 DU Wy aq O problema de maximizacao do individuo é Max UW Daqta 1 JDUW aq Condicao de primeira ordem dEUW oIUO TYCa qUWo D A aq 1 FD qu Wo 2a Analisando 0 ponto em que a 0 aEUW okUW JI la00 0a UW D 1 IDq UWo WG q Desta forma mesmo que q ou seja que o seguro nao seja atuarialmente justo o individuo fara o seguro caso a relacdo acima seja satisfeita