Lista de Exercícios nº1: Teoria do Consumidor

Mestrado Profissionalizante de Economia 4º Tri 2022 Microeconomia 1 Professora Adriana Perez adrianaperezfgvbr Monitor Alexandre Rabelo alexandremrabelogmailcom Lista de exercícios nº1 Teoria do consumidor1 Preferências e utilidade 1 Julgue se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta a Se as preferências de um consumidor são transitivas isto implica que este prefere mais bens a menos Falso Preferir menos a mais tem a ver com preferências serem monotônicas não transitivas b Se o consumidor apresenta preferências nãoconvexas dadas duas cestas A e B com quantidades diferentes dos mesmos bens x e y ele prefere uma cesta que contenha a média ponderada das quantidades contidas nas cestas A e B a qualquer uma das cestas A e B Falso Como as preferências são não convexas elas não geram um conjunto convexo logo não pode se afirmar que a cesta da média ponderada será preferível c Uma lanchonete oferece quatro tipos de sucos laranja melão manga e uva Um consumidor considera suco de uva pelo menos tão bom quanto de melão suco de laranja pelo menos tão bom quanto de manga suco de melão pelo menos tão bom quanto de laranja e suco de uva pelo menos tão bom quanto de manga Esse consumidor também considera suco de uva pelo menos tão bom quanto de laranja e suco de melão pelo menos tão bom quanto o de manga Tal consumidor apresenta preferências completas e transitivas V É preciso verificar se todas as comparações foram feitas e se o indivíduo é indiferente entre elas Assim UMe UMa UL LMa 1 Exercícios obtidos eou baseados nas referências bibliográficas do curso conforme ementa iam LU LMe MeL MeMa MeU MaU MaMe MaL Portanto sdo completas e transitivas d A taxa marginal de substituigdo sera decrescente ao longo de suas curvas de indiferenca quando as preferéncias forem convexas V A taxa marginal de substituicdo ser decrescente equivale a dizer que todas as combinacées de x e y que sdo preferiveis ou indiferentes a uma combinacdo de uma dada cesta x e y formam um conjunto convexo 2 SN cap 3 Calcule a taxa marginal de substituicdo para cada uma das funées a seguir e discuta se estas funcdes utilidades representam preferéncias convexas justificando sua resposta a Uxy3xy MRS3 b UxyJxy MRSyx c Uxyvx y MRS05x7 d Uxy yx y MRS xy Y e Uxy xy MRS y2x 3 SN cap3 Uma maneira de mostrar que uma preferéncia 6 convexa é argumentando que para quaisquer duas cestas xy e 2 y2em uma mesma curva de indiferenca tal que U k a utilidade dada pela cesta ee gera um utilidade ao menos tao grande quanto k Use deste tipo de argumento para discutir a convexidade das seguintes curvas de indiferenca a Uxy minx y Caso1 O mesmo bem o limitador Sem perda de generalidades assuma x1 yy X2 S yp Note que neste caso como as cestas estdo sobre a mesma curva de indiferenga temos que k Ux1y1 X1 U2 V2 Xz De forma que podemos escrever U 2 ee H1he BRL 2 2 2 2 Caso 2 O bem limitador é diferente em cada cesta Sem perda de generalidades assuma que k x y ek yp Xp Entdo a ke a k que implica que y 2 k Portanto a curva de indiferenca 6 convexa b Uxy maxxy Caso 1 O mesmo bem é 0 maximo Neste caso a curva de indiferenca é linear como argumentado no item anterior Caso 2 O maximo sdo bens diferentes em cada cesta Sem perda de generalidades suponha kxy e ky2X2 Entdo por argumento andlogo ao anterior temos que y 2 k e portanto a curva de indiferenca é concava c Uyxy A curva de indiferenga é linear pois x y k 2 yo U t2 2 7 2 4 SN cap3 Nesta questdo vamos analisar propriedades das funcdes utilidade com elasticidade constante de substituicdo CES Uooy a px xya WIS ESTES a Mostre que a funcdo CES acima é homotética Como a taxa marginal de substituigdo TMS depende da razdo yx Preferéncias sdo ditas homotéticas se a taxa marginal de substituicdo MRS depende apenas da quantidade consumida dos bens em equestdo ou 51 ndo depende da renda nem dos precos Entto MRS i rol oy aly 16 A ee ys 2 logo a preferéncia é homotética b Sobre 6 responda i Qual a taxa marginal de substituicdo quando 6 0 O que podemos dizer sobre a preferéncia que essa funcdo representa no caso em que 6 tende a 0 Note que se 6 0 entao MRS 3 Note que essa 6 a MRS para uma funcdo cobbdouglas da forma Uxy xtyP ii Qual a taxa marginal de substituicdo quando 61 O que podemos dizer sobre a preferéncia que essa funcdo representa neste caso Sed 1aMRSé4 7 constante ou seja a curva de indiferenca é linear portanto substitutos perfeitos iii Para quais valores de 6 a taxa marginal de substituicdo sera estritamente decrescente OMRS a 1662 oa 6 ey x Portanto vai ser negativa estritamente decrescente see somentese 6 1 c Mostre que quando x y a taxa marginal de substituigdo depende apenas do tamanho relativo deae f Do item a temos que sex y entdo a MRS 7 d Ainda sobre a TMS responda i Calcule a taxa marginal de substituicdo para esta funcdo quando 09 e para quando 11ed605 5 05 ento MRS0909 0949 E MRS11 7 11 1055 ii Facaomesmo mas agora supondo 6 1 5 1entio MRS09 09 081 a E MRS11 11 1215 iii OQ que podemos concluir sobre como a taxa marginal de substituido muda na vizinhana de x y Como podemos interpretar esse resultado geometricamente Portanto a MRS muda mais drasticamente quando 6 1 do que quando igual a 05 Isso ocorre pois a curva de indiferenca 6 mais inclinada quando delta é menor Se 6 oo a curva de indiferenca tem um formato em L indicando proporcoes fixas 5 SN cap3 Afuncdo Ux y x In y é frequentemente utilizada em modelos econdmicos em razdo de propriedades matematicas bastante uteis A respeito dessa funcdo responda aos itens abaixo a Encontre a taxa marginal de substituicdo desta funcdo Interprete o resultado MRS y Portanto a MRS depende apenas da quantidade y sendo independente da quantidade de x b Compare a utilidade marginal com relagdo a x com a utilidade marginal em relagdo a y Como vocé interpreta as funcdes encontradas U 1 y 1 yy c Suponha que o consumidor tenha um aumento em sua renda e consiga consumir mais bens Como os consumidores escolherdo entre x e y de maneira a aumentar seu nivel de utilidade Como a utilidade marginal de x 6 constante igual a 1 enquanto a utilidade marginal de y é decrescente a medida que y aumenta esperamos que os consumidores consumam mais x relativamente quando compram mais de ambos os bens d Considerando os resultados dos itens anteriores e como a utilidade muda quando a quantidade dos dois bens aumenta descreva algumas situacdes de mercado em que pode ser util utilizar tal fundo de utilidade Essa funcdo normalmente é usada para descrever 0 consumo de um bem com relacdo a todos os outros bens Entdo In y pode representar o consumo do bem de interesse e x representa o consumo de todos os demais bens consumidos Maximizacdo da utilidade e escolha 6 SN cap4 Fernanda deriva utilidade do consumo dos bens x e y de acordo com a funcdo Ux y x2 y Responda os itens abaixo a Fernanda tem 50 reais para gastar nos dois bens Maximize sua utilidade sabendo que o preco do bem x é 3 eo preco do bem y é 4 Dica E mais facil maximizar o quadrado da utilidade Maximizando o quadrado da utilidade podemos montar a fundo Lagrange como Lxy 150 3x 4y As condicdes de primeira ordem entdo serdo Ly 2x 3A 0 Ly 2y 4A 0 L 503x 4y 0 Das duas primeiras equacdes temos que y4x3 Substituindo na restricdo orcamentaria terceira restricdo chegamos que x6 y8 e U10 b Facao grafico das curvas de indiferenca da Fernanda e identifique 0 ponto de tangéncia com sua restricdo orcamentaria Quais hipdteses sdo feitas sobre comportamento de consumo de Fernanda apos a observacdo deste grafico Note que as curvas de indiferenca neste caso ndo possuem MRS decrescente entdo a preferencia ndo é estritamente convexa e portanto ndo temos as condicdes suficientes para garantir que encontramos o maximo no item anterior Na verdade as curvas de indiferenca sdo circulos concéntricos e portanto o que encontramos foi a alocacdo que gera o minimo de utilidade Se ela por exemplo gastasse toda sua renda consumindo apenas o bem x teria uma utilidade 503167 maior do que a encontrada no item a 7 SN cap4 Ronaldo deriva utilidade do consumo de trés bens refrigerantes x sanduiches y e sorvete z de acordo com a seguinte funcdo utilidade Ux yz x y51 z Sabendo que o preco do refrigerante é 1 0 preco do sanduiche 6 4 e 0 preco do sorvete 6 8 e que a renda de Ronaldo é 8 responda os itens abaixo a Maximize a utilidade de Ronaldo para o caso em que z 0 e mostre que qualquer escolha tenha z 0 nado é uma escolha otima Podemos escrever o Langrage como L xXyt21 7Z12 18 1X 4Y 82 As condicées de primeira ordem serdo dadas por OL OX 12XV7421 Z7 2 0 OL OY 12X7421 Z1 40 0 OL OZ 12X421 Z17 81 0 OL 0A 8X 4AY 8Z 0 Fazendo a razdo das duas primeiras equacdes YX 0250uY X4 Fazendo arazdo das CPO em relacdo a Xe aZtemos Z 1X 18 ouZ X8 1 Note que para valores de X menores que 8 a demanda otima por Zé negativa Podemos notar isso da seguinte forma Sex 4ey1entdo Uz 0 2 Sez 1 entdo U 0 pois x y0 Sez 01 entao x 36e y09 Portanto qualquer escolha que envolva z 0 reduz a utilidade do détimo uma vez que U 36 095115 189 o que é menor que Uz 0 b Qual a intuicdo econdémica para que no dtimo encontrado no item anterior tenhamos z 0 A ideia principal aqui que o bem Z é demasiadamente caro para valer a pena ser consumido pelo agente Note que quando x 4y 1 and z 0temos que Ms NYY 025 Px Py MU 0125 Pz Das condicdes de primeira ordem do item a temos que A 025 Além disso sabemos que para ter termos uma solucdo interior cada uma das razdes acima tem que igualar A Como isso ndo é verdade ndo temos uma solucdo interior pois o bem Z é demasiadamente caro Portanto mesmo quando z 0 a utilidade marginal de z ndo vale a pena levando em conta seu preco Note que 0 1 na funcdo utilidade faz com que o individuo incorra em utilidade marginal decrescente de z antes mesmo de consumir Zz c Para algum nivel de renda consumir alguma quantidade positiva de z é Otimo para Ronaldo Se positivo a partir de qual renda ele comecaria a consumir sorvete Se I 32 as escolhas otimas sdo x 16 y 4 and z 1 Uma maior renda pode fazer com que se tenha consumo positivo de z Para isso suponha que a pessoa ira gastar quantias iguais em x y and 1 z por ser uma Cobb Douglas portanto DxX Pyy p1 Zz Substituindo na restrido orcamentaria 2p12pzI Que implica em 3pz 1 2p Entdo temos que quando I 2p oul 16 temos que no dotimo z 0 8 SN cap4 Para as funcdes utilidade baixo encontre i demanda marshalliana para y e x ii a funcdo de utilidade indireta iii funcdo dispéndio Discuta a continuidade das funcdes encontradas a Uxy minxy Neste caso a maximizacdo de utilidade requer yx Substituindo na restricdo orcamentaria gera x Entio PxtPyy I V px Py 1 ey Dx Py E Dx Py V px PyV A funcdo utilidade é descontinua porém possui utilidade indireta e funcdo dispéndio continuas b Uxy ax by Aqui vamos analisar os seguintes casos Caso 1 ppy ab Nesta situagdo temos que x 0y y Caso 2 ab Py Nesta situagdo temos que x a 0 Caso 3 ab Py Nesta situagdo temos x assumindo algum valor entre 0 e 7 E y algum valor entre Oe Py Dado estes resultados temos que I V Px Py 1 eer min Px Py E px Py V minp DyV Apesar da utilidade ser continua a funcdo de utilidade indireta e a funcdo dispéndio sdo descontinuas 9 SN cap4 Considere a funcdo utilidade CES similar ao exercicio 4 x5 yo 6 6 a Mostre que pelas condicdes de primeira ordem do problema de maximizacdo da utilidade com restricdo orcamentaria os individuos devem demandar os bens na proporcdo 161 x 2 y Py Como a preferéncia é estritamente convexa a condicdo de maximizacdo implica em igualar a MRS com a razdo de precos 0U 54 x MRS x Px gy y Py dy Entdo definindo o chegamos em 1 a7 o y Py Py b Considere agora o caso da CobbDouglas 6 0 e mostre que o resultado encontrado no item a implica que os individuos alocam suas rendas igualmente entre os bens xe y Se 6 0 entdo Py Y Px LOgO PxX Pyy c Como a razdo pxpyy depende do valor de 6 no otimo Explique intuitivamente os resultados encontrados Do item a temos que se ao 1 entdo a parcela da renda gasta com 0 bem x é positivamente correlacionada com o preco relativo baixo grau de substitutibilidade Ja se temos o 1 a parcela da renda gasta com o bem x é negativamente correlacionada com seu preco relativo alto grau de substitutibilidade d Derive a funcdo de utilidade indireta e a funcdo dispéndio do problema deste consumidor e comente sobre a homogeneidade dessas funcdes em relacdo a renda e a precos Resolvendo para utilidade indireta temos que O a 2 y Py O Py Substituindo na restrido orcamentaria ypi x a I pyx pyy Sa Pyy or Ipy ypy py y y Px Py De maneira andaloga temos Ipx x Px py Podemos escrever a funcdo utilidade em questdo como 5 an 68 5 16 Px 5 Py ax ty al vi F Como é0 1 a chegase em 1 6U 1 Gs ry 1o 1o V I px Py io n i Em que V 6Ué Invertendo a expressdo acima chegamos a fundo dispéndio A E1Vpy py ia 10 Considere uma funcdo demanda em que o consumidor gasta toda sua riqueza em dois bens e que a proporcdo gasta em cada bem é dada por p2p Mostre que a relacdo de preferéncias representada pela funcdo x x2 representaria essa funcdo demanda Como a preferéncia em questdo monotona os precos sdo positivos e a inclinacdo da curva de indiferenga é zero para x2 Oeinfinito parax 0 temos que tanto x quanto Xz tem de ser positivo no dtimo Usando a condido de otimalidade temos que MRS xj x2 X2V 1 P1P2 portanto pyx1p2xX2 P2P1 11 Um individuo com renda positiva consome 2 bens que possuem precos positivos Sua funcdo de utilidade é dada por U x1X2 max ax1 ax2 min x1 x2 OndeO0a 1 a Derive a demanda marshalliana Py X41 Pp X2 M xP P M M x P Pz M Le a x2 Gap Em que xe y representam cestas otimas para a funcdo de minimo 1 2 Ja para a funcdo de maximo a capacidade de consumo sera dada por M M y IX A figura abaixo apresenta o grafico com a curva de indiferenca para este caso NL x1 b Qual seria a interpretacdo econdémica da soma das duas funcdes A aditividade representada pela funcdo acima indica a substitutibilidade entre os bens x X2 Desta forma independente da propordo que se tem dos bens as trocas realizadas entre estes bens sera representada por meio de uma taxa marginal de substituicdo constante Elasticidades efeitos renda e substituicdo 12 Determine a demanda marshalliana a utilidade indireta funcdo dispéndio e demanda hicksiana para as seguintes funcodes utilidade a Uxy min2xx y2y Funcdo de bens complementares perfeitos Preferéncias Leontief Para encontrar as demandas Walrasianas Dada a preferentes temos que 2xxy2y entdo 2x2y e xy A restrido orgamentaria é dada por w pxx Ppyy x pw PxtPy Logo a demanda marshalliana ou walrasiana é dada por w ypRw PxtPy Para encontrar a utilidade indireta basta escrevermos a funcdo utilidade substituindo as demandas marshallianas ou seja deixando em funcdo da rendae dos precos Logo a utilidade indireta neste caso é 2w 2w 2w 2w vp w min Px Py Px Py Px Py Px Py A funcao dispéndio é encontrada resolvendo a equacdo acima para a renda entdo sera upx Py epu Para encontrarmos as demandas Hicksianas basta aplicarmos o lema de sheppard diferenciando a funcdo dispéndio com relacdo ao preco do bem logo teremos u u hy 2 hy 2 b Uxy max3x 8y Para encontrar as demandas marshallianas Ux y max3x 8y 3dx 8dy dx 8 dy 3 Ou seja a taxa marginal de substituicdo de bem x pelo bem y é de 83 Neste caso teremos duas solucdes dependendo da razdo de precos vigente CASO 12 Px 3 Neste caso 0 individuo ira consumir apenas o bem x Para ver isso suponha Ux y max3x 8y 8 ex Uxy 3 8 z Entao marc Dx WwW WwW max 3 De 3 Logo o individuo escolhe apenas o bem x CASO 2 Px 3 Neste caso o individuo escolhe consumir apenas y Portanto temos que Py Be yao Suey so 3 Wpw xyV xV max vVpw px 3 Dx Dx Dx Upx u ep u 20 hy p u zr ly u 0 Py 8 oye Suey os 8 vpw x0y xy max 08 8 vpw Px 3 Py Py Py UPy u epu 3 hy p u gtx u 0 13 SN cap5 Suponha que a fungdo utilidade para os bens x e y 6 dada por Ux y xyty a Encontre a funcdo de demanda Marshalliana para x e y e descreva como as curvas de demanda para x e y se comportam devido a mudancas na renda ou nos precos do outro bem Maximizando por Lagrange chegamos em a Reescrevendo como pyy pxx y Px substituindo na restricdo oramentaria temos que vals yates 2px 2Py Entdo mudancas no preco de y nao afeta a quantidade demanda de x mas mudanas no preco do bem de x afetam a demanda por y b Calcule a funcdo dispéndio para xe y 2 A utilidade indiretaéV ne resolvendo para chegamos na funcdo dispéndio dada xPy por EF V4ppy px c Useafuncdo dispéndio encontrada no item b para encontrar a demanda compensada para os bens x e y Descreva como as curvas de demanda compensada para x e y se comportam com mudanas na renda ou por mudancas no preco do outro bem Dica calcule as derivadas parciais a Pelo lema de sheppard a demanda compensada é dada por x V Sp py x 1 Logo a demanda compensada de x depende do preco de y apesar da demanda marshalliana ndo depender 14 SN cap5 Suponha que uma pessoa considera queijo e presunto como bens complementares ela usa uma fatia de presunto em combinacao com uma fatia de queijo para seu sanduiche Suponha ainda que presunto e 0 queijo sdo os Unicos bens que essa pessoa compra e que o pao gratuito a Se o preco do presunto é igual ao preco do queijo mostre que a elasticidadepreco da demanda por presunto é 05 e que a elasticidade precocruzada da demanda por presunto com relacdo ao preco do queijo também é 05 Defina h como a quantidade de presunto e c a quantidade de queijo Devido a proporcdao I fixa temos que a demanda por presunto sera dada por h Portanto en PntPc en Oh Ph PhntPc Ph Opn bh PntPc I PhtPc De forma similar e Pe hPe pptpe Entd0 Dn Des Cnp np 99 b Explique porque os resultados do item a refletem apenas o efeito renda Com proporcées fixas ndo existe efeito substituicdo c Quais sdo as elasticidadesprego compensadas neste problema Como mencionado no item anterior as elasticidades preco compensada sao zero De forma que a equacdo de Slutsky se torna y 0 sy 05 d Use o resultado do item b para mostrar como sua resposta do item a mudaria caso o preco de uma fatia de presunto custasse 0 dobro de uma fatia de queijo ny 2 1 Com pp 2p pelos resultados do item a temos que ny Zz enpe F e Explique como esse problema poderia ser resolvido intuitivamente assumindo que essa pessoa consume apenas um bem um sanduiche de presunto e queijo Se essa pessoa consome apenas sanduiches de presunto e queijo a elasticidade preco da demanda deve ser 1 A elasticidade preco de um bem reflete o efeito proporcional de uma mudanca do preco desse bem sobre o preco do sanduiche Por exemplo no item a um aumento de 10 no preco do presunto leva a um aumento no preco do sanduiche de 5 fazendo com que a demanda caia em 5 15 Diga se as afirmacdes abaixo sdo verdadeiras ou falsa Justifique sua resposta a A curva de precoconsumo é representada graficamente pela relacdo entre preco do bem medido no eixo vertical e a quantidade consumida daquele bem medida no eixo horizontal Falso ela e representada pela relacdo entre os dois bens e a relacdo entre os precos é a inclinacdo dessa relacdo b A curva de Engel possui sempre inclinagdo positiva Falso Para bens inferiores a inclinacdo é negativa c Para bens normais 0 efeitorenda 6 sempre menor em valor absoluto que o efeitosubstituigdo Falso os dois efeitos sao negativos mas nao é possivel dizer qual dos dois sera menor ou maior d Paraos bens de Giffen 0 efeitorenda é sempre maior em valor absoluto que o efeito substituigdo Verdadeiro 16 SN cap5 Considere uma fungao utilidade quaselinear da forma Ux y x Iny a Calcule o efeito renda para cada bem Calcule também a elasticidade renda da demanda por cada bem Aplicando o método de Lagrange para encontrar as funcdes de demanda IPx Dx x Px y Py O efeito renda para o bem x entdo é dado por Ox Pxl xX ar pe A elasticidade de renda para x é dada por Ox I I ey I alx 1py O efeito renda para y é dado por dy y0 val E a elasticidade renda para y é dy I e ai TT 0 aly b Calcule o efeito substituicdo para cada bem Também calcule a elasticidade preco compensada para cada bem Precisamos encontrar a funcdo de demanda compensada para ambos os bens Primeiramente vamos partir da utilidade indireta dada por I Px V Inp Inpy Px Logo a fungdo dispéndio é dada por E pV Inp Inpy 1 Entdo OE x VlInpln Op Px Py Podemos calcular o efeito substituicdo para x Ox 1 Op Px E a elasticidadepreco para x é dada por Ox px 1 exe yn Px Apy x InpyInpyV Por sua vez o efeito substituicdo de y é dy Px OPy DF A elasticidade preco para y é dy p Cy py al Opy y c Mostre que a equacdo de Slutsky em forma de elasticidade também se aplica a essa funcdo Descreva qualquer caracteristica especial que vocé observar Para a equacdo de Slutsky também precisamos de ox toy Px aDx px Opy Py Portanto a equacdo de Slutsky para x é dada por Ox Ox 1 pI I an RP pt Op dl Px Px Px Ox Ox Ox EX Op Op ol Ja para y Oy OX Px 9 OPy ol py dy dy day y Opy OPpy Ol Para a forma da equacdo de Slutsky com elasticidade temos que I Cxpx Pxy1 Cy py 1 Portanto para x 1 1 1 e Syey 1 XE Px OXI Ty In Dy V IIp Px Px I I Px I Cxpy Expy SxPxt Para y yp Syy 101 Cy py ypy Syyt 17 Abrado consome dois bens pipoca x e ingressos de cinema y Ele possui uma funcdo utilidade dada por Uxy minxyerecebe 150 reais de salario Na cidade em que mora Itu tanto a pipoca quanto o ingresso para o cinema custam 1 real Seu chefe Ihe propds uma transferéncia para trabalhar em outro escritdorio da firma localizado no Rio de Janeiro porém sem nenhuma alteracdo salarial Ao analisar a proposta Abrado soube que o preco da pipoca no Rio também 6 1 real porém o ingresso do cinema custa 2 reais Como estudou variagdo equivalente e variagdo compensatoria Abrado argumentou com seu chefe que essa transferéncia de cidade é tao ruim quanto diminuir seu salario em A reais Além disso afirmou que so aceita a mudanga se receber um aumento de B reais Quais os valores de Ae B A fungao demanda de pipoca e cinema é dada por 150 xy Dx Py Portanto a utilidade indireta é 150 150 V Px Py oe Px Py Logo para encontrar A 150A 150 A50 qc 11 12 Por sua vez para encontrar B 150 150B R75 S 11 12 18 Calcule o efeito renda e o efeito substituicdo de um consumidor com as preferéncias dadas pela funcdo utilidade abaixo Ux y xy Suponha que ele resolve o seguinte problema de otimizacdo Max y Uxy Como a preferéncia é CobbDouglas sabemos que x05Ip O efeito total de uma alteracdo nos precos é dado por 055 Podemos decompor o efeito total em efeito renda e efeito substituicdo owe dx O efeito substituicdo é dado por pe a1B 0505 05 CUS py 05Upe py 2 Sabemos que x ape 59500505 U D x ax 1505 Entdo ip 05p py U Pela funcdo de utilidade indireta temos que U VL Dx Dy 3a x Py Substituindo na derivacdo acima w 05 py pe 10 025 px1 dpx Y py py Por sua vez o efeito renda é dado por x 025 Ipx Entdo pela equacdo de Slutsky podemos escrever Efeito total Efeito substituicdo Efeito renda que para o caso da CobbDouglas em questdo ficara como I 05 025 py1 025 1px Px