Integral Definida: Teoria e Técnica do Cálculo I

Integral Definida Integral Definida Beto Rober Bautista Saavedra UNIVASF November 27 2023 Integral Definida Introdução Introdução Integral Definida Introdução Escopo Norteador 1 Ensinar o arcabouço fundamental teórico e técnico do Cálculo I vigilando o entendimento correto 2 Munir de técnicas e habilidades próprias da disciplina necessárias na formação de um engenheiro manuseio aprimorado de propriedades de teoremas e de técnicas da disciplina Integral Definida Introdução Epigrafe1 Jamais considere seus estudos como uma obrigação mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer Albert Einstein Integral Definida Introdução Epigrafe2 Não existe uma estrada real para a ciência e somente aqueles que não temem a fadiga de galgar suas trilhas escarpadas têm chance de atingir seus cumes luminosos Tirado do Prefácio da Edição Francesa do O Cápital Karl Marx Londres 18 de março de 1872 Integral Definida Introdução Epigrafe3 Ex nihilo nihil fit Nada surge da nada 1 Poeta e Filósofo Lecrecio 1Enuncio este princípio na sua obra De Rerum Natura Integral Definida Introdução Epigrafe4 Muitas das atuais teorias matemáticas surgiram da ciência aplicada e só depois adquiriram aquel aspecto axiomático e abstrato que tanto dificulta o seu aprendizado VI ArnoldEminente Matemático Integral Definida Somatória Somatória Teorema1 Seja k uma constante qualquer a i1m k mk b i1m kai bi k i1m ai i1m bi c inm ai injmj aij d i2m ai ai1 am a1 e ai bi i 12n implica i1n ai i1n bi f i1n ai i1n ai Provaremos o item d de modo não muito rigoroso As provas dos outros itens se fundamentam nas propriedades associativa comutativa e distributiva da soma e nas propriedades das desigualdades Deixamse a cargo do discente i2m ai ai1 a2 a1 a3 a2 a4 a3 am am1 a1 a2 a2 a3 a3 am am1 am am a1 Teorema2 Seja n um inteiro positivo qualquer a i1n i fracnn12 b i1n i2 fracnn12n16 c i1n i3 leftfracnn12right2 d i0m ri frac1 rm11 r r R 1 Pelo Teorema 1d temse i2n i2 i 12 n2 1 i2n 2i 1 n2 1 i2n 1 n2 1 2 i2n i n2 1 n2 1 n n2 2 2 i1n i fracn 12 fracn 1n2 Integral Definida Somas de Riemann Somas de Riemann Seja f a b R definida no intervalo fechado e limitado a b Sejam os números reais a x0 x1 xn1 xn b que são extremos de n subintervalos xi1 xi O conjunto formado por estes números P a x0 x1 x2 xn1 xn b será chamado de Partição do Intervalo ab Cada iésimo intervalo xi1 xi tem comprimento Δxi xi xi1 A norma da partição P é definida como o maior de todos os comprimentos dos subintervalos ou seja P max1 i n Δxi Sejam os pontos arbitrários c1 c2 cn nesses subintervalos de tal forma que ci está no iésimo subintervalo xi1 xi Definimos a Soma de Riemann de f relativa à Partição P e à escolha dos pontos ci por Sf P i1n fciΔxi Integral Definida Somas de Riemann Se a função f é não negativa isto é fx 0 x a b SfP é a área da região formada pela união dos retângulos de base xi1 xi e de altura fci como mostra a figura a seguir Integral Definida Somas de Riemann No caso geral o valor de Sf P pode ser positivo ou negativo ou nulo dependendo dos valores fci Veja a figura aseguir Integral Definida Somas de Riemann Somas de Riemann2 Vamos visualizar o comportamento dinâmico das Somas de Riemann SP f quando P 0 sob escolhas de pontos notáveis ci x1 xi Simplificamos a tarefa supondo a função f a b R crescente continua e não negativa Além disso dividimos o intervalo em n subintervalos de comprimento ba n Ou seja P ba n Não se perde generalidade pensar na função fx x2 restringida ao intervalo 01 Pelo Teorema de Weierstrass aplicado a f sobre cada xi1 xi existem os pontos notáveis xi xi xi1 xi tais que fxi fx fxi x xi1 xi Denotemos as seguintes somas de Riemann com estes pontos notáveis Ln i1 to n fxiΔxi e Rn i1 to n fxiΔxi Como P ban temse P 0 n A seguir ilustramos o comportamento de Ln e Rn quando n n10 L10 0285 n30 L30 03169 n50 L50 03234 n10 R10 0385 n30 R30 03502 n50 R50 03434 Integral Definida Somas de Riemann Seja S a região planar limitada pelo gráfico de f pelas retas verticais xa e xb e pelo eixo X Ver figura abaixo No caso particualr da função fx x2restringida ao intervalo 0 1 temse Integral Definida Somas de Riemann Denotamos o area da região S por AS Se observa que Ln AS Rn n N Além disso as ilustrações nos induzem a presumir que os valores Ln e Rn se aproximam de AS quando n ou equivalentemente quando P 0 Salientase que estamos tratando dois típos especiais de somas de Riemann pois o intervalo 0 1 foi dividido em n subintervalos de comprimento 1 n e os pontos ci são os pontos extremos de cada subintervalo Na seguinte seção registraremos a condição que garante a convergência de todas somas de Riemann de uma função a um único limite No caso particular da função ser não negativa o limite seria AS definido acima A Integral Definida ᵇₐ fxdx A Integral Definida1 Estamos interessados em aquelas funções f a b ℝ cujas somas de Riemann Sf P se aproximam de um único valor l quando a norma P tende a zero sem importar se o intervalo a b foi dividido em subintervalos xi₁ xi de igual comprimento nem tampouco como foram selecionados os pontos ci xi₁ xi Formalizaremos estas exigências como segue Seja a função f a b ℝ A função f é integrável em ab se existe um número l tal que para todo ε 0 dado existe um δ 0 tal que para toda partição P para a qual P δ com ci xi₁ xi arbitrário i 1 2 n temse i1ⁿ fciΔxi l ε Neste caso escrevemos I lim P0 i1ⁿ fciΔxi lim P0 Sf P O número l é chamado de Integral Definida de f de a até b e denotado por ᵇₐ fxdx Assim ᵇₐ fxdx lim P0 i1ⁿ fciΔxi se o limite existir As componentes do símbolo ᵇₐ fx dx são o limite inferior de integração a o limite superior de integração b a diferencial de x dx e o integrando fx O símbolo parece a letra s alongada e faz alusão a uma soma enquanto dx faz alusão ao comprimento dos subintervalos xi₁ xi aliás vimos a grande utilidade técnica de dx para a Integração por Substituição Futuramente veremos a utilidade técnica para Integração por Partes A Integral Definida2 Considerando os comentários e as notações dadas na seção anterior em torno de AS analisamos a integrabilidade de uma função não negativa Seja f ab ℝ uma função integrável não negativa A região limitada pelo gráfico de f pelas retas verticais xa e xb e pelo eixo X é denotada por SE a área dessa região é denotada por AS Ver o gráfico Na seção anterior vimos que Ln AS Rn Como f é integrável as somas de Riemann Ln e Rn convergem a ab fxdx Portanto AS ab fxdx Observação Importante Colateralmente estamos mostrando que se a função f ab ℝ é não negativa isto é fx 0 x ab então ab fxdx 0 A Integral Definida3 Registramos a condição suficiente sem justificação que garante a integrabilidade de uma função Teorema 1 Se a função f a b ℝ é limitada e continua salvo um número finito de pontos em ab então f é integrável isto é existe a integral definida ab fxdx A Integral Definida4 A Integral Definida5 Integral Definida Já que a função fx x2 é continua sobre 01 f é integravel Logo para calcular a Integral definida usaremos a fórmula int01 x2 dx limP o 0 sumi1n fci Delta xi Além disso a integrabilidade nos permite considerar só as partições do tipo P 0 frac1n frac2n ldots fracn1n 1 que divide 01 em n subintervalos do mesmo comprimento frac1n e escolher ci fracin i 1 2 ldots n que é o ponto extremo direito de fraci1n fracin Logo limP o 0 sumi1n fci Delta xi limn o infty frac16 left1 frac1nright left2 frac1nright frac16 cdot 1 cdot 2 frac13 Portanto int01 x2 dx frac13 sem texto para extrair apenas uma ilustração gráfica Já que a função fx x3 é continua sobre 01 f é integravel Logo para calcular a Integral definida usaremos a fórmula int01 x3 dx limP o 0 sumi1n fci Delta xi Além disso a integrabilidade nos permite considerar só as partições do tipo P 0 frac1n frac2n ldots fracn1n 1 que divide 01 em n subintervalos do mesmo comprimento frac1n e escolher ci fracin i 1 2 ldots n que é o ponto extremo direito de fraci1n fracin Logo limP o 0 sumi1n fci Delta xi limn o infty leftfrac12 frac12nright2 leftfrac12right2 frac14 Portanto int01 x3 dx frac14 A Propriedade 1 foi preconizada anteriormente contudo existe uma prova elegante das propriedades 1 e 2 no livro texto adotado A propriedade 3 é um efeito da propriedade 2 pois Integral Definida Exercícios Resolvidos Exercícios Resolvidos Seja f a a ℝ uma função integrável tal que fx fx x a a isto é f é uma função par Ver figura Mostrar que Como f é integrável sobre aa é irrelevante como é dividido o intervalo aa e como é selecionado o ponto ci em cada subintervalo xi1 xi O que importa é selecionar uma coleção infinita de partições cujas normas convergem a zero pois pela integrabilidade as somas de Riemann respectivas convergem a único limite ab fxdx Em efeito seja a partição genérica Por outro lado o conjunto 𝑃₁ 0 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑎 é uma partição genérica do intervalo 0a com norma 𝑃₁ an Assim podemos escrever Sf 𝑃₁ 𝑖1𝑛 f𝑐ᵢΔ𝑥ᵢ 𝑖1𝑛 f𝑥ᵢΔ𝑥ᵢ Portanto aa fxdx lim 𝑃0 Sf 𝑃 2 lim 𝑃₁0 Sf 𝑃₁ 2 0a fxdx Seja g aa ℝ uma função integrável tal que f𝑥 f𝑥 𝑥 aa isto é f é uma função ímpar Ver figura Mostrar que aa fxdx 0 Agimos e justificamos como anteriormente Seja a partição genérica 𝑃 a 𝑥𝑛1 𝑥𝑖 𝑥₂ 𝑥₁ 0 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥𝑖 𝑥𝑛1 𝑎 cuja norma 𝑃 an Escolhemos o ponto 𝑐ᵢ 𝑥ᵢ do subintervalo 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 e o ponto 𝑑ᵢ 𝑥ᵢ do subintervalo 𝑥ᵢ 𝑥𝑖1 Logo a soma de Riemann genérica respectiva é Sf 𝑃 𝑖1𝑛 f𝑑ᵢΔ𝑥ᵢ 𝑖1𝑛 f𝑐ᵢΔ𝑥ᵢ 𝑖1𝑛 f𝑥ᵢΔ𝑥ᵢ 𝑖1𝑛 f𝑥ᵢΔ𝑥ᵢ 𝑖1𝑛 f𝑥ᵢΔ𝑥ᵢ 𝑖1𝑛 f𝑥ᵢΔ𝑥ᵢ 0 Logo aa fxdx lim 𝑃0 Sf 𝑃 0 Seja f a b ℝ continua e não negativa Se existe c a b tal que fc 0 então b a fxdx 0 Vamos supor que c a b As provas dos casos restantes deixo como exercício Dado ε fc 2 0 existe um δ 0 tal que x c δ c δ a b fc fc 2 fx fc fc 2 fx fc 2 Logo b a fxdx c δ a fxdx c δ c δ fxdx b c δ fxdx 0 c δ c δ fc 2 dx 0 fc 2 Portanto b a fxdx 0 Integral Definida Exercícios Resolvidos fc fc 2 cd cd c a b Integral Definida Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido4 Provar que a função f 0 1 R definida por fx 1 se x Q 0 se x Q não é integrável