Integral Definida: Teoria e Aplicações em Cálculo I

Integral Definida Integral Definida Beto Rober Bautista Saavedra UNIVASF November 27 2023 Sumário Integral Definida Introdução Introdução Integral Definida Introdução Escopo Norteador 1 Ensinar o arcabouço fundamental teórico e técnico do Cálculo I vigilando o entendimento correto 2 Munir de técnicas e habilidades próprias da disciplina necessárias na formação de um engenheiro manuseio aprimorado de propriedades de teoremas e de técnicas da disciplina Integral Definida Introdução Epigrafe1 Jamais considere seus estudos como uma obrigação mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer Albert Einstein Integral Definida Introdução Epigrafe2 Não existe uma estrada real para a ciência e somente aqueles que não temem a fadiga de galgar suas trilhas escarpadas têm chance de atingir seus cumes luminosos Tirado do Prefácio da Edição Francesa do O Cápital Karl Marx Londres 18 de março de 1872 Integral Definida Introdução Epigrafe3 Ex nihilo nihil fit Nada surge da nada 1 Poeta e Filósofo Lecrecio 1Enuncio este princípio na sua obra De Rerum Natura Integral Definida Introdução Epigrafe4 Muitas das atuais teorias matemáticas surgiram da ciência aplicada e só depois adquiriram aquel aspecto axiomático e abstrato que tanto dificulta o seu aprendizado VI ArnoldEminente Matemático Integral Definida Somatória Somatória Somatória1 Somatória2 Teorema1 Seja k uma constante qualquer a m i1 k mk b m i1 kai bi k m i1 ai m i1 bi c m in ai mj inj aij d m i2 ai ai1 am a1 e ai bi i 1 2 n implica n i1 ai n i1 bi f n i1 ai n i1 ai Provaremos o item d de modo não muito rigoroso As provas dos outros itens se fundamentam nas propriedades associativa comutativa e distributiva da soma e nas propriedades das desigualdades Deixamse a cargo do discente Teorema2 Seja n um inteiro positivo qualquer a n i1 i nn1 2 b n i1 i2 nn12n1 6 c n i1 i3 nn1 2 2 d m i0 ri 1rm1 1r r R1 Pelo Teorema 1d temse n i2 i2 i12 n2 1 n i2 2i1 n21 n i2 1 n21 2 n i2 i n n2 1 n1 n22 2 n i1 i n n2 n1n 2 Integral Definida Somas de Riemann Somas de Riemann Seja f a b R definida no intervalo fechado e limitado a b Sejam os números reais a x0 x1 xn1 xn b que são extremos de n subintervalos xi1 xi O conjunto formado por estes números P a x0 x1 x2 xn1 xn b será chamado de Partição do Intervalo ab Cada iésimo intervalo xi1 xi tem comprimento xi xi xi1 A norma da partição P é definida como o maior de todos os comprimentos dos subintervalos ou seja P maxxi Sejam os pontos arbitrarios c1 c2 cn nesses subintervalos de tal forma que ci está no iésimo subintervalo xi1 xi Definimos a Soma de Riemann de f relativa à Partição P e à escolha dos pontos ci por Sf P n i1 fcixi Integral Definida Somas de Riemann Se a função f é não negativa isto é fx 0 x a b SfP é a área da região formada pela união dos retângulos de base xi1 xi e de altura fci como mostra a figura a seguir Integral Definida Somas de Riemann No caso geral o valor de Sf P pode ser positivo ou negativo ou nulo dependendo dos valores fci Veja a figura aseguir Integral Definida Somas de Riemann Somas de Riemann2 Vamos visualizar o comportamento dinâmico das Somas de Riemann SP f quando P 0 sob escolhas de pontos notáveis ci x1 xi Simplificamos a tarefa supondo a função f a b R crescente continua e não negativa Além disso dividimos o intervalo em n subintervalos de comprimento ba n Ou seja P ba n Não se perde generalidade pensar na função fx x2 restringida ao intervalo 01 Pelo Teorema de Weierstrass aplicado a f sobre cada xi1xi existem os pontos notáveis xixixi1xi tais que fxifxfxi xxi1xi Denotemos as seguintes somas de Riemann com estes pontos notáveis Lni1nfxiΔxi e Rni1nfxiΔxi Como Pban temse P0n A seguir ilustramos o comportamento de Ln e Rn quando n n10 L100285 n30 L3003169 n50 L5003234 n10 R100385 n30 R3003502 n50 R5003434 Integral Definida Somas de Riemann Seja S a região planar limitada pelo gráfico de f pelas retas verticais xa e xb e pelo eixo X Ver figura abaixo No caso particualr da função fx x2restringida ao intervalo 0 1 temse Integral Definida Somas de Riemann Denotamos o area da região S por AS Se observa que Ln AS Rn n N Além disso as ilustrações nos induzem a presumir que os valores Ln e Rn se aproximam de AS quando n ou equivalentemente quando P 0 Salientase que estamos tratando dois típos especiais de somas de Riemann pois o intervalo 0 1 foi dividido em n subintervalos de comprimento 1 n e os pontos ci são os pontos extremos de cada subintervalo Na seguinte seção registraremos a condição que garante a convergência de todas somas de Riemann de uma função a um único limite No caso particular da função ser não negativa o limite seria AS definido acima A Integral Definida ba fxdx Estamos interessados em aquelas funções f a b R cujas somas de Riemann Sf P se aproximam de um único valor l quando a norma P tende a zero sem importar se o intervalo a b foi dividido em subintervalos xi1 xi de igual comprimento nem tampouco como foram selecionados os pontos ci xi1 xi Formalizaremos estas exigências como segue Seja a função f a b R A função f é integrável em ab se existe um número l tal que para todo ε 0 dado existe um δ 0 tal que para toda partição P para qual P δ com ci xi1 xi arbitrário i 1 2 n temse n i1 fciΔxi l ε Neste caso escrevemos I lim P0 n i1 fciΔxi lim P0 Sf P O número l é chamado de Integral Definida de f de a até b e denotado por ba fxdx Assim ba fxdx lim P0 n i1 fciΔxi se o limite existir As componentes do símbolo ba fx dx são o limite inferior de integração a o limite superior de integração b a diferencial de x dx e o integrando fx O símbolo parece a letra s alongada e faz alusão a uma soma enquanto dx faz alusão ao comprimento dos subintervalos xi1 xi aliás vimos a grande utilidade técnica de dx para a Integração por Substituição Futuramente veremos a utilidade técnica para Integração por Partes Considerando os comentários e as notações dadas na seção anterior em torno de AS analisamos a integrabilidade de uma função não negativa Seja f ab ℝ uma função integrável não negativa A região limitada pelo gráfico de f pelas retas verticais xa e xb e pelo eixo X é denotada por SE a área dessa região é denotada por AS Ver o gráfico Observação Importante Colateralmente estamos mostrando que se a função f a b ℝ é não negativa isto é fx 0 x ab então b a fxdx 0 Registramos a condição suficiente sem justificação que garante a integrabilidade de uma função Teorema 1 Se a função f a b ℝ é limitada e continua salvo um número finito de pontos em ab então f é integrável isto é existe a integral definida b a fxdx Se k é uma constante provar que Calcular a integral definida Já que a função fx x² é continua sobre 01 f é integravel Logo para calcular a Integral definida usaremos a fórmula ₀¹ x² dx lim P0 ₙ i1 fcᵢΔxᵢ Álias a integrabilidade nos permite considerar só as partições do tipo P 0 1n 2n n1n 1 que divide 01 em n subintervalos de mesmo comprimento 1n e escolher cᵢ in i 1 2 n que é o ponto extremo direito de i1n in Portanto existe outra forma de calcular essa integral definida fx x² Já que a função fx x³ é continua sobre 01 f é integravel Logo para calcular a Integral definida usaremos a fórmula ₀¹ x³ dx lim P0 ₙ i1 fcᵢΔxᵢ Álias a integrabilidade nos permite considerar só as partições do tipo P 0 1n 2n n1n 1 que divide 01 em n subintervalos de mesmo comprimento 1n e escolher cᵢ in i 1 2 n que é o ponto extremo direito de i1n in Portanto ₀¹ x³ dx 14 fx x³ Teorema 2 Propriedades Básicas da Integral definida Se a b d A B e C uma constante real arbitrária então 1 aa fxdx 0 2 ab fxdx ba fxdx 3 ab fxdx dfxdx bd fxdx 4 Cf é integrável em AB e ab Cfxdx C ab fxdx 5 f g é integrável em AB e ab f gxdx ab fxdx ab gxdx A Propriedade 2 nos permite certas liberdades 1 Para formular uma Integral Definida ab fxdx não é necessário supor a b 2 Para aplicar a Propriedade 3 com as condições dadas no enunciado não é necessário supor que a d b Por exemplo a seguinte igualdade é possível 12 fxdx 13 fxdx 23 fxdx 3 No seguinte exemplo apreciamos a pertinência da Propriedade 1 aa fxdx ba fxdx ab fxdx 0 Observação Importante Na Propriedade 3 usamos um fato válido implicitamente Se a função f a b ℝ é integrável e c d a b então f c d ℝ é integrável Ora inversamente Se f a c ℝ e f c b ℝ são funções integráveis então f a b ℝ é integrável A Integral Definida9 Calcular 01 2x 3x² 4x³ dx 01 2xdx 01 3x²dx 01 4x³dx 2 01 xdx 3 01 x²dx 4 01 x³dx 212 313 414 2 1 1 A Integral Definida10 Teorema 3 Sejam f g a b ℝ funções integráveis 1 Se fx 0 para toda x a b então ba fxdx 0 2 Se fx gx para toda x a b então ba fxdx ba gxdx 3 Se existem números m M ℝ tais que m fx M x a b então mb a ba fxdx Mb a 4 A função y fx é integrável sobre a b e ba fxdx ba fxdx A Propriedade 1 foi precionada anteriormente contudo existe uma prova elegante das propriedades 1 e 2 no livro texto adotado A propriedade 3 é um efeito da propriedade 2 pois bafxdxbamd xMdxmbabafxdxMba Provar que a função f é integrável não é difícil porém ocupa muito pelos detalhes Agora se f é continua então f é continua logo f é integrável É oportuno frisar que integrabilidade não é equivalente a continuidade É evidente que fxfxfxxab Seguese pela Propriedade 2 que bafxdxbafxdxbafxdxbafxdx Integral Definida Exercícios Resolvidos Exercícios Resolvidos Seja faaℝ uma função integrável tal que fxfxxaa isto é f é uma função par Ver figura Mostrar que aafxdx2a0fxdx Como f é integrável sobre aa é irrelevante como é dividido o intervalo aa e como é selecionado o ponto ci em cada subintervalo xi1xi O que importa é selecionar uma coleção infinita de partições cujas normas convergem a zero pois pela integrabilidade as somas de Riemann respectivas convergem a único limite aafxdx Em efeito seja a partição genérica P axn1xixi1x2x10x1x2xi1xn1a cuja norma P an Escolhemos o ponto ci xi do subintervalo xi1xi e o ponto di xi do subintervalo xixi1 Logo a soma de Riemann genérica respectiva é SfPni1fdiΔxini1fciΔxini1fxiΔxini1fxiΔxi2ni1fxiΔxi Por outro lado o conjunto P1 0 x1 x2 ldots xi1 xi ldots xn1 a é uma partição genérica do intervalo 0a com norma P1 fracan Assim podemos escrever Sf P1 sumi1n fci Delta xi sumi1n fxi Delta xi Portanto intaa fxdx limP o 0 Sf P 2 limP1 o 0 Sf P1 2 int0a fxdx Exercício Resolvido2 Seja g a a o mathbbR uma função integrável tal que fx fx forall x in a a isto é f é uma função ímpar Ver figura Mostrar que intaa fxdx 0 Agimos e justificamos como anteriormente Seja a partição genérica mathcalP a xn1 ldots xi xi1 x2 x1 0 x1 x2 ldots xi ldots xn1 a cuja norma mathcalP fracan Escolhemos o ponto ci xi do subintervalo xi1 xi e o ponto di xi do subintervalo xi xi1 Logo a soma de Riemann genérica respectiva é Sf mathcalP sumi1n fdi Delta xi sumi1n fci Delta xi sumi1n fxi Delta xi sumi1n fxi Delta xi sumi1n fxi Delta xi sumi1n fxi Delta xi 0 Logo intaa fxdx limP o 0 Sf mathcalP 0 Seja f ab R contínua e não negativa Se existe c ab tal que fc 0 então b a fxdx 0 Vamos supor que c ab As provas dos casos restantes deixo como exercício Dado ε fc 2 0 existe um δ 0 tal que x c δ c δ a b fc fc 2 fx fc fc 2 fx fc 2 Logo b a fxdx c δ a fxdx c δ c δ fxdx b c δ fxdx 0 c δ c δ fc 2 dx 0 fc 2 Portanto b a fxdx 0 Integral Definida Exercícios Resolvidos fc fc 2 cd cd c a b Integral Definida Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido4 Provar que a função f 0 1 R definida por fx 1 se x Q 0 se x Q não é integrável