Modelagem e Controle de Sistemas: Teoria e Recomendações de Estudo

Modelagem e Controle de Sistemas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profª Drª Claudia Barros dos Santos Demori Revisão Textual Prof Me Claudio Brites Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem Função de Transferência Apresentar equações gerais para funções de transferência de primeira e segunda ordem Exemplificar sistemas reais OBJETIVO DE APRENDIZADO Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discus são pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem Função de Transferência Já vimos em outras unidades que o nosso estudo inicial de sistemas é baseado em sistemas lineares e invariantes no tempo Dessa forma é possível modelálos com as funções de transferência Essas funções caracterizam com precisão as relações de entrada e saída de sinais entre os dispositivos que compõem um sistema Elas servem principalmente para a análise e execução de projetos No geral uma função de transferência Gs pode ser escrita como G s Y s X s b s b s b s b a s a s a s a m m m m n n n 0 1 1 1 0 1 1 1 n Onde Xs é a transformada de Laplace da entrada e Ys é a transformada de Laplace da saída com condições iniciais nulas O que determinará a ordem do sistema é a maior potência de n Sistemas de Primeira Ordem Observe o diagrama de blocos da imagem a seguir ele representa em um con texto geral sistemas de primeira ordem Rs Es Rs Cs a b Cs 1 Ts 1 Ts1 Figura 1 O diagrama de blocos da imagem representa um sistema de primeira ordem que em contexto aplicado pode ser um circuito RC um sistema térmico ou algo semelhante observaremos alguns exemplos mais adiante Para ilustrar um sistema real e prático utilizaremos um circuito RC conforme ilustra a imagem a seguir R C e0 ei Figura 2 8 9 Já vimos em unidades anteriores como obter a função de transferência do circuito apresentado lembrese que o diagrama de blocos desse circuito está representado aqui Para a função de transferência 1 Vamos utilizar as Leis das Malhas de Kirchhoffe note há duas malhas ei e eo 2 Se há duas malhas haverá duas equações e suas respectivas transformadas de Laplace e Ri t C i t dt E RI s C s I s e C i t i i O 1 1 1 1 1 dt E s C s I s O 1 1 2 3 Vamos escrever a função de transferência de malha fechada para o sistema E E C s I s RI s C s I s E E C s RCs Cs E E RCs O i O i O i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Podemos ilustrar com o diagrama de blocos como segue Rs Cs 1 RCs Figura 3 Ou ainda podemos ilustrar o diagrama de blocos de maneira simplificada com a função de transferência de malha fechada 1 RCs 1 E0 Ei Figura 4 Podemos observar pela função de transferência E E RCs O i 1 1 que este é um sistema de primeira ordem visto que o maior expoente de s no denominador é igual a 1 Quando se realiza de forma eficaz o curso de modelagem e controle de sistemas o aluno fica engajado em compreender como as equações podem servir para mo delar e atuar em sistemas reais Sendo assim analisaremos alguns sistemas reais com vistas a compreender o processo de modelagem de sistemas 9 UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem Exemplo 1 No primeiro exemplo para ilustrar um sistema de primeira ordem real estudare mos os detalhes de um sistema de nível de líquido Na engenharia um sistema que utiliza óleo ou água é chamado de sistema hidráulico Observe a imagem a seguir Válvula de Controle H h Válvula de Restrição Resistência R Capacitância C Q qo Q qi Figura 5 A imagem representa um sistema de nível de água frequentemente utilizado na indústria quando se trata de reservatórios ou fluxos entre tubos e conexões No geral esse tipo de fluxo é turbulento e deve ser representado por equações diferenciais não lineares no entanto essas equações poderão ser linearizadas se a região de opera ção for limitada ou seja uma vazão pequena e uma altura pequena Dessa maneira podemos descrever a dinâmica desse sistema de maneira mais simplificada Sobre fluxo laminar e turbulento em httpsgooglZoD3Qb Explor Consideraremos o fluxo de fluido ao longo de uma tubulação curta conectando dois reservatórios como mostrou a imagem anterior Observe a resistência à pas sagem de líquido R Ela é definida como a variação na diferença de nível m pela variação na vazão m³s Considerando um fluxo laminar R dH dQ H Q Onde H m é a altura do nível em regime permanente e Q m³s a vazão em volume do regime permanente A Resistência R no escoamento laminar é equivalente a uma resistência R em circuito elétrico Se considerarmos um fluxo turbulento a taxa de fluxo em estado permanente será dada por Q K H dQ K H dH 2 10 11 Onde Q m³s é a vazão em regime permanente K ms é um coeficiente e H m é a altura do nível Assim R dH dQ H K 2 Onde K Q H Logo para o fl uxo turbulento R H Q 2 Observe a imagem que representa o sistema para o nível de líquido as variáveis são Q m³s vazão do volume em regime permanente qi m³s pequeno desvio da vazão de entrada em relação ao valor de seu regime permanente qom³s pequeno desvio da vazão de saída em relação ao valor de seu regime permanente H m altura do nível em regime permanente h m pequeno desvio do nível em relação ao valor de seu regime permanente A capacitância C m³m do reservatório é a variação na quantidade de líquido no reservatório necessária para causar o aumento no potencial altura de uma unidade observe a diferença entre capacidade m³ e capacitância m² Esse sistema é linear se o fluxo for laminar ou ainda poderá ser linearizado no caso do fluxo turbulento se as variáveis tiverem pequenas variações Logo podemos dizer que a quantidade adicional armazenada no reservatório C dh é igual à diferença entre fluxo de saída e fluxo de entrada durante um inter valo de tempo dt A equação diferencial relativa ao sistema é C dh q q dt i O Onde q h R O Então C dh q h R dt C dh q R h R dt RC dh dt h Rq i i i 11 UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem Se recorrermos às unidades anteriores onde vimos a transformada de Laplace com condições iniciais nulas poderemos escrever RCs H s RQ s i 1 E a função e transferência desse sistema serão dadas por H s Q s R RCs i 1 Onde vemos uma equação típica para um sistema de primeira ordem Exemplo 2 O segundo exemplo é um sistema típico de pressão Observe a imagem a seguir Resistência R P pi P po Capacitância C q Figura 6 Devemos considerar que o sistema da imagem é um sistema ideal com somente pequenos desvios de suas variáveis em relação aos valores de regime permanente sendo assim podemos considerálo um sistema linear Sejam as variáveis relativas ao sistema P Nm² é a pressão do gás no recipiente pi Nm² é uma pequena variação na pressão do gás no fluxo de entrada po Nm² é uma pequena variação na pressão do gás no recipiente V m³ é o volume do recipiente m kg é a massa do gás no recipiente q kgs é o fluxo do gás ρ kgm³ é a densidade do gás Se os valores da variação na pressão do gás na entrada e no recipiente são pequenos a resistência R pode ser escrita como R p p q i O 12 13 Já a capacitância C será dada por C dm dp Onde se pode escrever que Cdp qdt O Então C dp dt p p R O i O Que rearranjada é RC dp dt p p O O i Utilizando a transformada de Laplace podemos escrever RCsP s P s P s O O i Se Pi for considerada uma entrada e Po uma saída então a função de transferência do sistema será dada por P P RCs O i 1 1 Que é uma equação típica para um sistema de primeira ordem Exemplo 3 O terceiro exemplo para sistemas de primeira ordem é um sistema de aquecimento do tipo ilustrado na imagem Misturador Líquido Quente Líquido Frio Aquecedor Misturador Figura 7 13 UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem Para esse exemplo novamente consideraremos um sistema perto do ideal onde o reservatório seja isolado e as perdas de calor para o ambiente externo sejam mínimas a ponto de serem desprezíveis Consideraremos também que o líquido no recipiente possa ser perfeitamente misturado de tal maneira que a temperatura fique uniforme em toda distribuição Então podemos definir algumas variáveis tais quais Θi C é a temperatura do líquido de entrada em regime permanente Θo C é a temperatura do líquido de saída em regime permanente G kgs é a vazão do líquido em regime permanente M kg é a massa de líquido no reservatório c kcalkgC é o calor específico do líquido R Cskcal é a resistência térmica C kcalC é a capacitância térmica H kcals é a taxa de entrada de calor em regime permanente Para escrever a função de transferência desse sistema vamos supor que ao ser ligado o sistema receba um aumento na taxa de entrada de calor e ela então seja H hi e portanto a taxa de saída de calor também sofrerá uma variação para H hi Com o aumento da quantidade de calor a temperatura de saída do líquido será Os valores C e R podem ser obtidos com h O Gc θ E C Mc R h Gc O θ 1 A equação que balanceia a entrada de calor no sistema pode ser escrita como Cd h h dt i O θ Ou ainda C d dt h h i O θ E RC d dt Rhi θ θ 14 15 Utilizando a antitransformada de Laplace teremos RCs s RH s s i Θ Θ E sendo Θs a temperatura final de saída e His a taxa de entrada de calor no sistema a função de transferência poderá ser escrita como Θ s H s R RCs i 1 A equação apresentada é uma equação típica para sistemas de primeira ordem Sistemas de Segunda Ordem Os sistemas de segunda ordem podem ser representados pela seguinte função de transferência C s R s s n n n ω ξω ω 2 2 2 2 Onde ωn é a frequência natural não amortecida e ξ é o coeficiente de amorte cimento do sistema Aliás esses dois parâmetros são fundamentais pois deter minarão o comportamento dinâmico do sistema assim como determinarão a resposta do sistema a entradas típicas do tipo impulso degrau rampa etc Outro fator importante determinado pelos parâmetros fundamentais em um sistema de segunda ordem é a estabilidade do sistema Quanto à estabilidade e ao coeficiente de amortecimento temse as seguintes relações Se 0 ξ 1 os polos de malha fechada ver unidades anteriores são com plexos conjugados O sistema é dito subamortecido e a resposta transitória é oscilatória estudaremos a resposta transitória em breve na Unidade V Se ξ 0 a resposta transitória não decai Se ξ 1 o sistema é dito criticamente amortecido Se ξ 1 o sistema é dito superamortecido Estudaremos os efeitos do coeficiente de amortecido mais detalhadamente na próxima unidade Exemplo 1 Para ilustrar um sistema de segunda ordem utilizaremos como exemplo de sis tema real um sistema de nível de líquido com interação conforme mostra a figura a seguir 15 UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem Q qi Reservatório 1 Reservatório 2 R1 R2 C1 C2 Q q1 Q q2 H1 q1 H2 q2 Figura 8 No sistema da imagem o reservatório 1 tem ligação com o reservatório 2 e surgem duas novas variáveis As equações agora ficam da seguinte maneira h h R q C dh dt q q h R q C dh dt q q 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 Se considerarmos Q como entrada e Q2 como saída a equação diferencial para esse sistema é Q s Q s R C R C s R C R C R C s 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 Que é uma equação típica para sistema de ordem dois Exemplo 2 O segundo exemplo para um sistema típico de ordem dois é um mecanismo de posicionamento angular conforme ilustra a imagem a seguir J B T θ Ta Figura 8 16 17 Esse tipo de sistema é o sistema que modela diversos dispositivos com braços móveis como máquinasferramentas antenas de radares robôs máquinas para construção civil câmeras inteligentes móveis etc Observe na imagem o torque inicial Ta ele provém de um estímulo externo como um circuito elétrico ou um algo semelhante O giro em Ta transmite um torque T proporcional que deslocará o sistema de um ângulo θ Conforme vimos na Unidade III esse sistema está associado a um momento de inércia J e um coeficiente de atrito B do acoplamento de engrenagens polias etc E dessa maneira o torque total relacionado ao sistema pode ser escrito como T T T J B Ou ainda T J d dt B d dt 2 2 θ θ Utilizando a transformada de Laplace teremos T s Js s Bs s 2θ θ E sendo Ts entrada e θ s saída temos a função de transferência desse sistema dada por θ s T s Js Bs 1 2 Que é equação típica para um sistema de ordem 2 17 UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites A Função de Transferência httpsgooglhepcbc Vídeos Título do vídeo Sistemas de Controle 48 Sistemas de Primeira Ordem httpsyoutube2oOTkSRnaG4 Sistemas de Controle 58 Sistemas de Segunda Ordem httpsyoutubeUVFer8huMKE 18 19 Referências OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5 ed São Paulo Pearson Pren tice Hall 2010 DE SOUZA Antônio Carlos Zambroni et al Projetos simulações e experiências de laboratório em sistemas de controle 1 Ed Rio de Janeiro Interciência 2014 19 Cruzeiro do Sul Educacional