Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção Transversal Retangular

Tensões de cisalhamento em vigas de seção transversal retangular Professora MSc Ariane Cardoso Disciplina Resistência dos Materiais II UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Departamento de Engenharia Civil Recife 2022 arianecardosoeng RESMAT2 Tensão para qualquer elemento estrutural UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BORJA 2019 É a resposta dos elementos estruturais como lajes vigas pilares e fundações aos esforços internos aplicados Força Normal N Dá origem à compressão ou à tração Força Cortante V ou Q Dá origem ao cisalhamento Momento Fletor M Dá origem à flexão Momento Torçor Mt Dá origem à torção Tensão Esforço interno aplicado Característica Geométrica da Seção Transversal arianecardosoeng RESMAT2 Tensão para qualquer elemento estrutural UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BORJA 2019 ESFORÇO INTERNO Força Normal N Força Cortante V ou Q Momento Fletor M Momento Torçor Mt Tensão Esforço interno aplicado Característica Geométrica da Seção Transversal CARACTERÍSTICA GEOMÉTRICA DA SEÇÃO TRANSVERSAL Área A Momento de Inércia I Momento Estático Ms Base b Altura h arianecardosoeng RESMAT2 Tensão de cisalhamento em vigas de seção transversal retangular UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BORJA 2019 Esta tensão é a resposta da viga decorrente do cisalhamento O cisalhamento aparece em uma viga devido ao esforço interno aplicado força cortante V A tensão de cisalhamento é paralela ao plano da seção transversal ao contrário da tensão de flexão que é normal ao plano da seção transversal É razoável aceitar que as tensões de cisalhamento τ atuam na direção paralela ao esforço cortante V e que as tensões de cisalhamento são uniformemente distribuídas sobre a largura da viga apesar de elas poderem variar ao longo da altura arianecardosoeng RESMAT2 Tensão de cisalhamento em vigas de seção transversal retangular UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI A tensão de cisalhamento é determinada segundo a equação τ V x Ms b x I Onde τ Tensão de cisalhamento V Força cortante na seção considerada Ms Momento estático definido pela fibra considerada em relação à Linha Neutra b Base da seção transversal I Momento de inércia em relação à Linha Neutra Eq Dmitri Zhuravski arianecardosoeng RESMAT2 Superfície Neutra UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BORJA 2019 É uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em que as linhas longitudinais não mudam de comprimento Linha Neutra É a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção transversal Na LN não há esforço nem de tração nem de compressão Para materiais homogêneos aço madeira concreto simples a LN passa no centro de gravidade CG da seção transversal arianecardosoeng RESMAT2 Momento Estático de Área Seção transversal retangular UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BORJA 2019 O Momento Estático para seção transversal retangular pode ser determinado pelo produto entre área A e distância d Ms A x d Onde A Área compreendida entre a fibra analisada e a fibra superior d Distância compreendida entre o centro de gravidade CG e a linha neutra LN arianecardosoeng RESMAT2 Momento Estático de Área Seção transversal retangular UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BORJA 2019 Área Área compreendida entre a fibra analisada e a fibra superior d Distância compreendida entre o centro de gravidade CG e a linha neutra LN arianecardosoeng RESMAT2 Exemplo Determinar as tensões cisalhantes na linha neutra e nas fibras 1 e 2 da viga de seção retangular UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BORJA 2019 arianecardosoeng RESMAT2 Na fibra 1 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI τ1 V x Ms1 b x I V 25kN b 10 cm I 𝑏ℎ³ 12 τ1 25 x 10 x 50 4 x 1875 10 x 10 x 503 12 τ1 0056kNcm² arianecardosoeng RESMAT2 Na LN UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI τLN V x Ms1 b x I V 25kN b 10 cm I 𝑏ℎ³ 12 τLN 25 x 10 x 50 2 x 125 10 x 10 x 503 12 τLN 0075 kNcm² arianecardosoeng RESMAT2 Na Fibra 2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI τ2 V x Ms1 b x I V 25kN b 10 cm I 𝑏ℎ³ 12 τ2 25 x 10 x 3x50 4 x 625 10 x 10 x 503 12 τ2 0056 kNcm² arianecardosoeng RESMAT2 Diagrama das tensões de cisalhamento na seção UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BORJA 2019 arianecardosoeng RESMAT2 Verificação da estabilidade UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BORJA 2019 Para que haja estabilidade e a viga não se rompa a tensão admissível precisa ser igual ou maior do que o produto entre a tensão máxima e o coeficiente de segurança τadm τmáx x 14 arianecardosoeng RESMAT2 Exemplo Conhecendose o diagrama do esforço cortante as dimensões da seção transversal e a tensão admissível verifique a estabilidade da viga abaixo UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI τadm 025 kNcm² arianecardosoeng RESMAT2 Características geométricas da seção transversal UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI I bh³ 12 b 10cm I 10 x 40³ 12 53333 cm4 Ms bx h 2 x d Ms 10 x 40 2 x 10 2000 cm³ Tensão Máxima τmáx V x Ms b x I τmáx 60 x 2000 10 x 53333 0225 kNcm² arianecardosoeng RESMAT2 Verificação UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI τadm τmáx x 14 025 0225 x 14 025 0315 NÃO VERIFICA Conclusão A viga não é estável considerandose o cisalhamento IMPORTANTE Para que uma viga seja estável tanto as inequações relativas à flexão quanto à inequação relativa ao cisalhamento devem ser verificadas Portanto se uma das inequações não for verificada a viga rompe arianecardosoeng RESMAT2 RESUMINDO UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI τadm τmáx x 14 Para que uma estrutura qualquer seja estável a seguinte inequação válida para qualquer tipo de esforço deve ser verificada A tensão admissível é uma característica do material ou seja cada material tem a sua tensão admissível para cada tipo de esforço A tensão máxima é uma relação entre o esforço interno máximo que dá origem a esta tensão e uma característica geométrica da seção transversal área momento de inércia momento estático etc O esforço interno máximo é obtido através do cálculo e desenho dos diagramas dos respectivos esforços Para que seja possível o cálculo dos diagramas é necessário que se faça previamente o cálculo das reações de apoio da estrutura em questão arianecardosoeng RESMAT2 PASSO A PASSO UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI dados o carregamento e a geometria calculase as reações de apoio com as reações de apoio fazse o cálculo e desenho dos diagramas com os diagramas obtémse os esforços internos máximos a partir dos esforços internos máximos e com a geometria da seção transversal calculase a tensão máxima com a tensão máxima verificase a estabilidade da estrutura arianecardosoeng RESMAT2 Exemplo com seções de geometrias diferentes UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Considere a seção indicada sujeita a um esforço cortante de 30tf na direção do eixo de simetria Determine a O diagrama representativo das tensões de cisalhamento b A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente Medidas em cm arianecardosoeng RESMAT2 1º Dividir em áreas UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Cálculo do centro de gravidade CG da seção em relação aos eixos x e y auxiliares Devido o eixo y ser de simetria basta calcular o yG arianecardosoeng RESMAT2 2º Encontrar o CG de cada área UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI ÁREA I AI 60 x 20 1200 cm² തyI 40 202 50 cm ÁREA II ÁREA III AII AIII 20 x 20 400 cm² തy II തy III 20 202 30 cm ÁREA IV ÁREA V AIV AV 40 x 20 800 cm² തy IV തyV 202 10 cm arianecardosoeng RESMAT2 3º Encontrar o CG da seção chamaremos de ത𝐲G UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI ഥ𝒚G 𝐀𝐈 𝐲𝐈 𝐀𝐈𝐈 𝐲𝐈𝐈 𝐀𝐈𝐈𝐈 𝐲𝐈𝐈𝐈 𝐀𝐈𝐕 𝐲𝐈𝐕 𝐀𝐕 𝐲𝐕 𝐀𝐈𝐀𝐈𝐈𝐀𝐈𝐈𝐈𝐀𝐈𝐕𝐀𝐕 തyG 1200 50 400 30 400 30 800 10 800 10 1200400400800800 ഥ𝒚G 2778 cm arianecardosoeng RESMAT2 4º Posicionar o CG de cada área em relação ao yG UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 5º Calcular o Momento de Inércia em relação ao eixo x UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Como as áreas II e III são iguais e estão em posições simétricas em relação ao eixo y podese calcular o momento de inércia de uma delas e multiplicar por 2 O mesmo ocorre com as áreas IV e V Ix IxI IxII IxIII IxIV IxV IxI 60 20³ 12 60 20 2222 2 63247408 cm4 IxII IxIII 2 20 20³ 12 20 20 222 2 3060938 cm4 IxIV IxV 2 40 20³ 12 40 20 1778 2 55913878 cm4 Ix 63247408 3060938 55913878 122222222 𝐜𝐦𝟒 arianecardosoeng RESMAT2 6º Calcular o Momento Estático de cada área em relação ao eixo x e a tensão de cisalhamento UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Lembrando de Mecânica Geral I Ms 𝐲 𝐝𝐀 Onde dA é um elemento infinitesimal de área da área indicada Se tratando de uma área retangular temse que dA b dy logo Ms 𝐲 𝐚 𝐲 𝐛 𝐝𝐲 Onde y representa a distância do eixo x ao elemento infinitesimal arianecardosoeng RESMAT2 6º Calcular o Momento Estático de cada área em relação ao eixo x UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 6º Calcular o Momento Estático de cada área em relação ao eixo x UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Momento Estático devido a seção 1 1222 cm y 3222 cm UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ms 𝐲 𝐚 𝐲 𝐛 𝐝𝐲 Ms1 y 3222 y 60 dy Ms1 60 𝑦² 2 3222 𝑦 Ms1 30 3222² y² Ms1 30 10381284 y² arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI V 30tf 30000 kgf τ1 𝐕 𝐌𝐬𝟏 𝐛𝟏 𝐈𝐱 Tensão de cisalhamento devido a seção 1 1222 cm y 3222 cm τ1 30000 30 10381284 y2 60 122222222 Ix 122222222 cm4 τ1 00122727 10381284 y2 τB 00122727 10381284 1222 2 Quando y 1222 cm Quando y 3222 cm τA 00122727 10381284 3222 2 0 Substituindo os valores de y na equação τB 1091 kgfcm² Ms1 30 10381284 y² arianecardosoeng RESMAT2 Momento Estático devido a seção 2 778 cm y 1222 cm UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ms2 Ms1 y1222 𝐲 𝐛 𝐲 𝐛 𝐝𝐲 Ms2 26664 y 1222 y 40 dy Ms2 26664 40 𝑦² 2 1222 𝑦 Ms2 26664 20 1222² y² Ms2 29650568 20y² Ms1 y1222 30 10381284 1222² 26664 cm³ arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI V 30tf 30000 kgf τ2 𝐕 𝐌𝐬𝟐 𝐛𝟐 𝐈𝐱 Tensão de cisalhamento devido a seção 2 778 cm y 1222 cm τ2 30000 29650568 20y2 40 122222222 Ix 122222222 cm4 τ2 6 1363637 104 29650568 20y2 τC 1745 kgfcm² Quando y 778 cm Quando y 1222 cm τB 1636 kgfcm² Substituindo os valores de y na equação Quando y 0 τ 182 kgfcm² Ms2 29650568 20y² arianecardosoeng RESMAT2 Momento Estático devido a seção 3 2778 cm y 𝟕 𝟕𝟖 cm UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ms3 Ms2 y 778 𝐲 𝐝 𝐲 𝐛 𝐝𝐲 Ms3 28440 y 778 y 80 dy Ms3 28440 80 𝑦² 2 778 𝑦 Ms3 28440 40 778² y² Ms3 3086114 40y² Ms2 y 778 29650568 20 778² 28440 cm³ arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI V 30tf 30000 kgf τ3 𝐕 𝐌𝐬𝟑 𝐛𝟑 𝐈𝐱 Tensão de cisalhamento devido a seção 3 2778 cm y 𝟕 𝟕𝟖 cm τ3 30000 3086114 40y2 80 122222222 Ix 122222222 cm4 τ3 30681819 104 3086114 40y2 τD 873 kgfcm² Quando y 778 cm Quando y 2778 cm τE 0 Substituindo os valores de y na equação Ms3 3086114 40y² arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 7º Desenhar o diagrama das tensões de cisalhamento arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 7º Desenhar o diagrama das tensões de cisalhamento Conclusão Observando o diagrama das tensões de cisalhamento percebese que a tensão máxima solicitada foi de 182 kgfcm² na posição F30 0 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Agora é sua vez de praticar Dada a seção indicada sujeita a um esforço cortante de 48tf na direção do eixo de simetria determine a O diagrama representativo das tensões de cisalhamento b A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente Medidas em cm