Estados de Tensão e Transformações no Estado Plano de Tensões

Estados de Tensão Transformações no Estado Plano de Tensões Professora MSc Ariane Cardoso Disciplina Resistência dos Materiais II UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Departamento de Engenharia Civil Recife 2021 arianecardosoeng RESMAT2 Introdução UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI O estado geral de tensão em um dado ponto Q pode ser representado por seis componentes sendo 𝜎x 𝜎ye 𝜎z três dessas componentes que definem as tensões normais que atuam nas faces de um pequeno elemento de volume centrado em Q e com a mesma orientação dos eixos de coordenadas Fig 1 e as outras três 𝜏xy 𝜏yze 𝜏zx que definem as componentes das tensões de cisalhamento no mesmo elemento O mesmo estado de tensão poderá ser representado por um conjunto diferente de componentes se os eixos de coordenadas sofrerem uma rotação em relação aos primeiros Fig 2 Beer et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Este estado de tensão não é comum na prática da engenharia Ao contrário os engenheiros frequentemente fazem aproximações ou simplificações das cargas sobre um corpo de modo que a tensão produzida em um elemento estrutural ou mecânico possa ser analisada em um único plano Estado plano de tensão Situação na qual duas das faces do elemento de volume estão livres de qualquer tensão Se o eixo z for escolhido como perpendicular a essas faces temos 𝜎Z 𝜏Zx 𝜏Zy 0 e as únicas componentes de tensão restantes são 𝝈x 𝝈y e 𝝉xy Beer et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 Esta situação ocorre em uma placa fina submetida a forças que atuam no plano médio da espessura da placa e pode ocorrer também na superfície livre de um elemento estrutural ou componente de máquina isto é em qualquer ponto da superfície daquele elemento ou componente que não esteja submetido a uma força externa Estado Plano de Tensão arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 Transformação do Estado Plano de Tensão Considerase que existe um estado plano de tensão para o ponto Q com 𝜎Z 𝜏Zx 𝜏Zy 0 e que ele é definido pelas componentes de tensão 𝝈x 𝝈y e 𝝉xy Fig 1 Propõese determinar as componentes de tensão 𝝈x 𝝈y e 𝝉xy associadas ao elemento depois que ele sofrer uma rotação de um ângulo 𝜽 em torno do eixo z Fig 2 e expressar essas componentes em termos de 𝝈x 𝝈y e 𝝉xy e 𝜽 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 Importante As tensões normais serão positivas quando tiverem o sentido saindo da face do plano Tração As tensões de cisalhamento serão positivas quando os componentes superior e do lado direito tiverem o sentido para direita e para cima O ângulo 𝜽 terá valor positivo se tiver no sentido antihorário arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Para determinar a tensão normal 𝝈x e a tensão de cisalhamento 𝝉xy que atuam na face perpendicular ao eixo x consideramos um elemento prismático com faces respectivamente perpendiculares aos eixos x y e x Observamos que se a área da face oblíqua é representada por A as áreas das faces vertical e horizontal são respectivamente iguais a Acos𝛉 e Asen𝛉 Concluise que as forças resultantes que atuam nas três faces são aquelas mostradas na Fig 3 Não há forças aplicadas nas faces triangulares do elemento visto que as tensões normal e de cisalhamento correspondentes foram todas consideradas iguais a zero arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 Usando as componentes ao longo dos eixos x e y escrevemos as seguintes equações de equilíbrio arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 Somando as equações acima membro a membro obtemos 𝝈x 𝝈y 𝝈x 𝝈y Como 𝝈z 𝝈z 0 verificase então que no caso de estado plano de tensão a soma das tensões normais que atuam no elemento de volume do material é independente da orientação desse elemento Equações paramétricas de uma circunferência arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Com isso conseguese desenhar o estado de tensão em uma circunferência que chamamos de círculo de Mohr eng alemão Otto Mohr 18351918 Esse método baseiase em considerações geométricas simples e não requer o uso de fórmulas especializadas Com o circulo de Mohr conseguese entender quais são as maiores tensões que estão envolvidas naquele elemento que se está analisando Beer et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima Tensões principais ocorrem nos planos principais de tensões onde o cisalhamento é zero A tensão de cisalhamento máxima ocorre para 𝝈x 𝝈𝒎é𝒅 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 Tensões principais Essa equação define dois valores de 2𝜃𝑝 que estão defasados em 180 e portanto dois valores de 𝜃𝑝 que estão defasados em 90 90 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 Tensão de cisalhamento máxima Voltando novamente à circunferência notase que os pontos D e E localizados no diâmetro vertical da circunferência correspondem ao maior valor numérico da tensão de cisalhamento 𝜏xy arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 Tensão de cisalhamento máxima A tensão normal correspondente à condição de tensão de cisalhamento máxima é Essa equação define dois valores de 2𝜃c que estão defasados em 180 e portanto dois valores de 𝜃c que estão defasados em 90 90 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Praticando 1 Para o estado de tensão mostrado determine as tensões normal e de cisalhamento que atuam na face oblíqua do elemento triangular sombreado na figura Use um método de análise com base no equilíbrio daquele elemento 55 84 MPa 42 MPa 𝝈 Tensões 55 Acos55 Asen55 Áreas 55 84Acos55 42Asen55 Forças 𝝈 𝑨 𝝉 𝑨 𝝉 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Continuação 55 84Acos55 42Asen55 Forças 𝝈 𝑨 Fx 0 σ A 84 A cos55cos55 42 A sen55 sen55 0 𝛔 0546 MPa x y y x 84Acos55 42Asen55 𝝈 𝑨 Fy 0 τ A 84 A cos55 sen55 42 A sen55 cos55 0 𝝉 592 MPa 𝝉 𝑨 𝝉 𝑨 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Praticando 2 Para o estado de tensão dado determine a os planos principais e b as tensões principais 𝜎x 6 MPa 𝜎y 30 MPa 𝜏xy 9 MPa a tg 2𝜃𝑝 2 9 6 30 075 2𝜃𝑝 3687 𝜽𝒑 𝟏𝟖 𝟒 𝒆 𝟏𝟎𝟖 𝟒𝟑 b 𝜎máxmín 630 2 630 2 ² 9² 𝜎máxmín 18 15 𝝈máx 18 15 33MPa 𝝈mín 18 15 3MPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Praticando 3 Para o estado de tensão dado determine a a orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento no plano das tensões b a tensão de cisalhamento máxima e c a tensão normal correspondente 𝜎x 6 MPa 𝜎y 30 MPa 𝜏xy 9 MPa a tg 2𝜃𝑐 6 30 2 9 13333 2𝜃c 5313 𝜽𝒄 𝟐𝟔 𝟔 𝒆 𝟔𝟑 𝟒 𝑏 𝜏máx 630 2 ² 9² 𝝉máx 15 MPa c 𝜎 𝜎 méd 630 2 𝝈 18 MPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Praticando 4 Exemplo Beer et al 2011 Para o estado plano de tensão mostrado determine a os planos principais b as tensões principais e c a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal correspondente arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Planos principais 𝜎x 50 MPa 𝜎y 10 MPa 𝜏xy 40 MPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Tensões principais 𝜎x 50 MPa 𝜎y 10 MPa 𝜏xy 40 MPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Planos e tensões principais 𝜎x 50 MPa 𝜎y 10 MPa 𝜏xy 40 MPa Fazendo 𝜃 266 verificase que a tensão normal que atua na face BC do elemento é a tensão máxima arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Tensão de cisalhamento máxima 𝜎x 50 MPa 𝜎y 10 MPa 𝜏xy 40 MPa Como 𝜎𝑚á𝑥 e 𝜎mín têm sinais opostos o valor obtido para 𝜏𝑚á𝑥 realmente representa o valor máximo da tensão de cisalhamento no ponto considerado arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Tensão de cisalhamento máxima A orientação dos planos de tensão de cisalhamento máxima e o sentido das tensões de cisalhamento são melhor determinados cortandose o elemento por uma seção ao longo do plano diagonal AC do elemento Como as faces AB e BC do elemento estão contidas nos planos principais o plano diagonal AC deve ser um dos planos de tensão de cisalhamento máxima arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Tensão de cisalhamento máxima Além disso as condições de equilíbrio para o elemento prismático ABC requerem que a tensão de cisalhamento que atua em AC seja direcionada conforme mostra a figura O elemento de volume correspondente à tensão de cisalhamento máxima é mostrado na figura abaixo A tensão normal em cada uma das quatro faces do elemento é dada pela Equação c arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Contato Email ascpecpolibr Profª MSc Ariane Cardoso Minicurrículo Engenheira Civil UNICAP 2016 Mestre em Engenharia Civil PECUPE 2019 Especialista em Estruturas de Concreto e Fundações INBECUNIP 2021 Graduanda em Arquitetura e Urbanismo UNINASSAU Professora PoliUPE desde 2020