Princípio do Trabalho Virtual e Aplicações em Estruturas

145 Princípio do trabalho virtual O princípio do trabalho virtual foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717 e como outros métodos de análise baseiase na conservação de energia Embora o princípio do trabalho virtual tenha muitas aplicações em mecânica neste livro nós o usaremos para obter o deslocamento e a inclinação de vários pontos sobre um corpo deformável Antes disso entretanto precisamos fazer alguns comentários preliminares que aplicam ao desenvolvimento desse método 1468 Determine a altura máxima h da qual um peso de 400 N 40 kg pode cair sobre a extremidade da viga de perfil W150 x 18 de aço A36 sem ultrapassar a tensão elástica máxima 1469 O peso de 400 N 40 kg cai de sua posição de repouso à altura h 12 m sobre a extremidade da viga de perfil W150 x 18 de aço A36 Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida na viga 1470 O paraquedas do carro é feito de terefitalato de polietileno Se E 20 GPa determine a deflexão máxima e a tensão máxima no paraquedas se ele atingir o poste rígido quando o carro estiver aproximadamente a velocidade v 075 ms O carro tem massa de 180 Mg e o paraquedas pode ser considerado simplesmente apoiado sobre dois suportes de mola acoplados à estrutura rígida do carro Considere para o paraquedas I 30010¹ mm⁴ c 75 mm σc 30 MPa e k 15 Nmm 146 Método das forças virtuais aplicado a treliças Neste seção aplicaremos o método das forças virtuais para determinar o deslocamento e a inclinação de treliça Para ilustrar esse princípio determinaremos o deslocamento vertical da articulação A da treliça mostrada na Figura 1430b Esse deslocamento é provocado pelas cargas reais Pi Pe pois essas cargas provocam apenas carga axial nos elementos estruturais basta considerar o trabalho virtual interno devido à carga axial Tabela 141 Para este método devemos lembrar que as tensões expressões considerando que a tensão resultante N V M ou T foi aplicada graficamente de zero até seu valor total Como resultado o trabalho realizado pela tensão resultante é mostrado nas demais expressões como método de produto entre a tensão resultante e seu deslocamento Esse método de aplicação do princípio do trabalho virtual costuma ser denominado método das forças virtuais visto que se aplica uma força virtual resultando do cálculo de um deslocamento real externo Nesse caso a equação do trabalho virtual representa uma declaração de requisitos de compatibilidade para o corpo Embora não seja importante aqui entenda que também podemos aplicar o princípio do trabalho virtual como um método de deslocamento virtuais Nesse caso deslocamentos virtuais são impostos ao corpo quando ele é submetido a cargas reais Esse método pode ser usado para determinar a força de reação externa sobre o corpo ou uma carga interna desconhecida dentro do corpo Quando usada dessa maneira a equação do trabalho virtual é uma declaração de requisitos de equilíbrio para o corpo Portanto a equação do trabalho virtual para toda a treliça é 1A ΣnNL AE 9657 kN²m Essa relação mostra que o trabalho virtual total interno ou à energia de deformação virtual interna armazenada em todos os elementos da treliça isto é Equação 1439 Nessa expressão 1 carga virtual externa unitária que age sobre a articulação de treliça na direção determinada de Δ n força virtual interna em um elemento de treliça provocada pela carga virtual externa unitária Δ deslocamento externo da articulação causado pelos erros de fabricação ΔL diferença no comprimento do elemento em relação ao comprimento pretendido provocado por um erro de fabricação Uma combinação dos lados direitos das equações 1439 a 1441 será necessária se cargas externas agirem sobre a treliça e alguns elementos sofrerem uma mudança de temperatura ou forem fabricados com dimensões erradas 1 kN Δc ΣnNL AE 9657 kN²m 1 kN Δc 300 mm²210⁶ kNm² Δc 4524 mm Parte b Aqui temos de aplicar a Equação 1441 Visto que temos de determinar o deslocamento horizontal do C podemos usar as relações da Figura 1432b Percebendo que o termo de ΔL ΣnΔL 1 kN Δc 125 kN6 mm Δc 75 mm 75 mm Forças virtuais n Uma carga virtual horizontal de 1 kN é aplicada à treliça na articulação B e as forças em cada elemento são calculadas Figura 1433 1 kN ΔBr nNLAE mΔTL 1472 Determine o deslocamento horizontal da articulação B Cada elemento de aço A36 tem área de seção transversal de 1250 mm² 553 MÉTODOS DE ENERGIA 554 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 555 MÉTODOS DE ENERGIA 148 Teorema de Castigliano Em 1879 Alberto Castigliano um engenheiro de ferrovias italiano publicou um livro no qual descrevia um método para determinar o deslocamento e a inclinação em um ponto sob um corpo carcen Esse método denominado segundo teorema de Castigliano aplicase somente a corpos que tenham temperatura constante e cujo material tenha comportamento linear elástico O deslocamento em um ponto tiver de ser determinado o teorema afirma que o deslocamento é igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação do corpo em relação a uma força que age no ponto e na direção do deslocamento De modo semelhante a inclinação do tangent em um ponto sob um corpo é igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação do corpo em relação ao momento que age no ponto de inclinação Para deduzir o segundo teorema de Castigliano considere um corpo de forma arbitrária que é submetido a uma série e forças P1 P2 Pn Figura 1439 Visto que o trabalho externo realizado por essas forças equivale a energia de deformação em armazenamento de corpo podemos aplicar a conservação de energia isto é Ui dUi Ue dP1 1446 Aqui como energia U é energia de deformação interna no corpo provocada pelas cargas P1 P2 Pn e e dU dPj Δ prova e fUP1 Devemos observar que a Equação 147 é uma de classificação referente aos requisitos de compatibilidade do corpo visto que é uma condição relacionada com deslocamento Além disso a equação já exige que somente forças conservativas sejam consideradas para a análise Essas forças podem ser aplicadas em qualquer ordem e ainda assim realizam trabalho que é independente do caminho e portanto não criam nenhum ganho de energia Como o material tem comportamento linear elástico as forças aplicadas serão conservativas e o teorema é válido Devemos mencionar também que o primeiro teorema de Castigliano assemblehase ao segundo todavia relaciona a carga P como a derivada parcial da energia de deformação em relação ao deslocamento correspondente isto é Pj UAj A prova é semelhante à dada acima Esse teorema constitui outro modo sobre os requisitos de equilíbrio para o corpo contudo sua aplicação é limitada e não o discutiremos aqui 149 Teorema de Castigliano aplicado a treliças Visto que um elemento de treliça está sujeito a uma carga axial a energia de deformação é dada pela Equação 1416 U NPL2AE Substituindo essa equação na Equação 147 e omitindo o índice i temos Δ N2L P 2AE Geralmente é mais fácil efetuar a diferenciação antes do somatório Além disso L A e E são constantes para um dado elemento de treliça e portanto podemos escrever Δ ΣNNP L AE 1448 Nessa expressão Δ deslocamento da articulação da treliça P força externa de intensidade variável aplicada a uma articulação de treliça na direção de Δ N força axial interna em um elemento provocada por ambas a força P e as cargas sobre a treliça L comprimento de um elemento A área da seção transversal de um elemento E módulo de elasticidade do material Para determinar a derivada parcial NP será necessário tratar P como uma variável e não uma quantidade nôminal específica Em outras palavras cada força axial interna N deve ser expressa em função de P Por comparação a Equação 1448 assemblea às usadas por um método do trabalho virtual Equação 1439 1 Δ ΣNNP exceto que n é substituído por P Contudo esse termo n e NP será os mesmos visto que representam a taxa de variação da força axial interna relacionada a carga P ou em outras palavras a força axial por carga unitária PROCEDIMENTO DE ANÁLISE O seguinte procedimento fornece um método que pode ser usado para determinar o deslocamento de qualquer articulação numa treliça aplicandose o segundo teorema de Castigliano Força externa P Coloque uma força P sobre a treliça na articulação onde o deslocamento deve ser determinado Considerese que essa força tem intensidade variável e deve ser orientada ao longo da linha de ação do deslocamento Forças internas N Determine a força N em cada elemento provocada por ambas as cargas reais numéricas e a força variável P Considere que as forças de tração são positivas e as de compressão negativas Determine a derivada parcial NP respectiva para cada elemento Depois que N e NP forem determinadas atribua a P seu valor numérico seja realmente substituindo uma força real na treliça Senha utilize P zero Segundo teorema de Castigliano Aplique o teorema de Castigliano para determinar o deslocamento desejado Δ É importante conservar os sinais algébricos para os valores correspondentes de N e NP quando substituindo esses termos na equação Se a soma resultar ΣNNPAE for positiva Δ estará na mesma direção de P Se resultar um valor negativo Δ está na direção contrária de P Determine o deslocamento vertical da articulação C da treliça de aço mostrada na Figura 141a A área da seção transversal de cada elemento é 625 mm² e E 200 GPa SOLUÇÃO Força externa P Aplicase a força vertical P à treliça na articulação C já que é nesse lugar que o deslocamento vertical deve ser determinado Figura 141b Forças internas N As reações nos pontos A e D da treliça são calculadas e os resultados mostrados na Figura 141b Usando o método dos nós as forças N em cada elemento são determinadas Figura 141c Para conveniência esses resultados juntamente com as derivadas parciais NP são apresentadas em forma tabular Observe que visto que P não será não existe como uma carga real sobre a treliça exigese P 0 Membro N NP NP 40 kN L NP AB 100 0 100 4 0 BC 1414 0 1414 2828 0 AC 1414 1414 1414 2828 5657 CD 200 P 1 200 2 400 9657 kNm Segundo teorema de Castigliano Aplicando a Equação 1448 temos ΔC ΣNNP L AE 0 0 625106 Nm 625 mm²200103 Nmm² 400 9657 km AE 424 0 532 mm Resposta Substituindo A e E pelos valores numéricos obtemos Δ 9657 kNm 40010⁶ m² 20010⁶ kNm² 001207 m 121 mm Resposta Essa solução deve ser comparada com a do Exemplo 1411 usando o método do trabalho virtual PROBLEMAS 14117 Resolve o Problema 1471 usando o teorema de Castigliano 14118 Resolve o Problema 1473 usando o teorema de Castigliano 14119 Resolve o Problema 1474 usando o teorema de Castigliano 14120 Resolve o Problema 1472 usando o teorema de Castigliano 14121 Resolve o Problema 1475 usando o teorema de Castigliano 14122 Resolve o Problema 1476 usando o teorema de Castigliano 14123 Resolve o Problema 1477 usando o teorema de Castigliano 14124 Resolve o Problema 1478 usando o teorema de Castigliano 14125 Resolve o Problema 1479 usando o teorema de Castigliano 14126 Resolve o Problema 1480 usando o teorema de Castigliano 14127 Resolve o Problema 1481 usando o teorema de Castigliano 14128 Resolve o Problema 1482 usando o teorema de Castigliano 14129 Resolve o Problema 1483 usando o teorema de Castigliano 14130 Resolve o Problema 1485 usando o teorema de Castigliano 14131 Resolve o Problema 1486 usando o teorema de Castigliano 14132 Resolve o Problema 1487 usando o teorema de Castigliano PROCEEDIMENTO DE ANÁLISE O seguinte procedimento fornece um método que pode ser usado para aplicar o segundo teorema de Castigliano Força externa P ou Momento M Coloque a força P sobre a viga no ponto o orientea ao longo da linha de ação do deslocamento desejado Se a inclinação da tangente tiver de ser determinada coloque um momento M no ponto Considere que ambos P e M têm intensidade variável Momentos internos M Estabeleça coordenadas x adequadas que sejam válidas dentro de regiões da viga onde não há nenhuma descontinuidade de força carga distribuída ou momento Calcule os momentos internos M em função de P ou M e as derivadas parciais MP ou MM para cada coordenada x Depois que M e MP ou MM forem determinados atribua a P ou M seu valor numérico e de фак ela ou ele substitui uma força ou momento real Senão iguale P ou M a zero Segundo teorema de Castigliano Aplique a Equação 1449 ou 1450 para determinar o deslocamento desejado Δ ou θ É importante conservar os sinais algébricos correspondentes de M e MP ou MM Se a soma resultante de todas as integrais definidas for positiva Δ ou θ estará na mesma direção de P ou M Se resultar um valor negativo Δ ou θ estará na direção contrária de P ou M EXEMPLO 1420 Determine a inclinação no ponto B da viga mostrada na Figura 1443a E é constante SOLUÇÃO Momento externo M Visto que a inclinação no ponto B deve ser determinada um momento externo M é colocado sobre a viga nesse ponto Figura 1443b Momentos internos M Duas coordenadas x e ex devem ser usadas para determinar os momentos internos dentro da viga visto que há uma descontinuidade M em B Como mostra a Figura 1443b x abrange a faixa de A a B x abrange de A a B e C Usando o método das seções Figura 1443c os momentos internos e a derivada parcial são determinados da seguinte maneira Para x EXEMPLO 1421 Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço mostrada na Figura 1444a Considere E 200 GPa I 125106 mm4 SOLUÇÃO Força externa P Uma força vertical P é aplicada ao ponto C Figura 1444b Mais adiante essa força será igualada ao valor fixo de 5 kN Momentos internos M Nesse caso são necessárias duas coordenadas y para a integração visto que a carga é descontínua em C Usando o método das seções Figura 1444c os momentos internos e as derivadas parciais são determinados da seguinte maneira Para x1 MA 0 M1 frac13 cdot 3 cdot x1 9 04Px1 0 M1 9 04Px1 1 cdot g cdot x13 fracpartial M1partial P 04x1 Para x2 sum MA 0 M2 18 3 06Px2 0 M2 18 3 06Px2 fracdM2dP 06x2 Segundo teorema de Castigliano Fazendo P 5 kN e aplicando a Equação 1449 temos Deltac int0L fracMLpartial P dx EI int01 frac11x12x1EIdx int0118 6x206x2dx frac4109 kN cdot m3200106 kNm2125106 m4 00164 m 164 mm Resposta PROBLEMAS 14131 Resolve o Problema 1487 usando o teorema de Castigliano 14134 Resolve o Problema 1489 usando o teorema de Castigliano 14135 Resolve o Problema 1490 usando o teorema de Castigliano 14136 Resolve o Problema 1488 usando o teorema de Castigliano 14137 Resolve o Problema 1491 usando o teorema de Castigliano 14138 Resolve o Problema 1493 usando o teorema de Castigliano 14139 Resolve o Problema 1494 usando o teorema de Castigliano 14140 Resolve o Problema 1492 usando o teorema de Castigliano 14141 Resolve o Problema 1495 usando o teorema de Castigliano 14142 Resolve o Problema 1497 usando o teorema de Castigliano 14143 Resolve o Problema 1499 usando o teorema de Castigliano 14144 Resolve o Problema 1496 usando o teorema de Castigliano 14145 Resolve o Problema 14101 usando o teorema de Castigliano 14146 Resolve o Problema 14102 usando o teorema de Castigliano 14147 Resolve o Problema 14103 usando o teorema de Castigliano 14148 Resolve o Problema 14100 usando o teorema de Castigliano 14149 Resolve o Problema 14105 usando o teorema de Castigliano 14150 Resolve o Problema 14106 usando o teorema de Castigliano 14151 Resolve o Problema 14107 usando o teorema de Castigliano 14152 Resolve o Problema 14104 usando o teorema de Castigliano 14153 Resolve o Problema 14109 usando o teorema de Castigliano 14154 Resolve o Problema 14113 usando o teorema de Castigliano 14155 Resolve o Problema 14114 usando o teorema de Castigliano 14156 Resolve o Problema 14108 usando o teorema de Castigliano 14157 Resolve o Problema 14116 usando o teorema de Castigliano 14158 Resolve o Problema 14115 usando o teorema de Castigliano