Exercícios de Resistência dos Materiais II - UPE

Exercícios UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Departamento de Engenharia Civil Recife 2021 Professora MSc Ariane Cardoso Disciplina Resistência dos Materiais II arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 1 Estando uma viga isostática de inércia constante submetida ao carregamento abaixo determine a As equações da linha elástica de deformação b b A flecha máxima na estrutura e a posição correspondente sabendo que na seção 1 a maior flexa da seção fica na posição FM1 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI σ 𝑭𝒚 𝟎 VA VB 3 632 0 VA VB 945 tf σ 𝑴𝑨 𝟎 VB 3 945 1 24 0 VB 1185 3 𝐕𝐁 𝟑 𝟗𝟓 𝐭𝐟 VA 945 395 55 tf 𝐕𝐁 𝐕𝐀 H𝐁 σ 𝑭𝒙 𝟎 HB 0 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI S1 Método das seções S2 x q 63 21 x x q 63 3 x 3 𝐂á𝐥𝐜𝐮𝐥𝐨 𝐝𝐨 𝐪 q arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Relembrando Trapézio തx Base maior2x Base menor Base maiorBase menor x Altura 3 Área Base maior Base menor x Altura 2 Base menor Base maior Altura distância da base maior arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI S1 Momento na seção 1 0 𝐱 3m pela direita M1 VB 3 x 3x 63 21x2 3𝑥 3 24 Método das seções x q M1 1185 395x 189 63x 63x 21x²2 3𝑥 3 24 M1 035x³ 315x² 55x M1 1185 395x 945 63x 105x² 3𝑥 3 24 M1 945 395x 2835 189x 315x² 945x 63x² 105x³3 M1 945 395x 945 63x 105x² 315x 21x² 035x³ arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI S1 Método das seções S2 x x q M2 24 tfm Momento na seção 2 3 𝐱 5m pela direita arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI EI d²ν dx² M1 EI d²ν dx² 035x³ 315x² 55x Integrando duas vezes em x obtemos Método da integração na seção 1 0 𝐱 3m 1º 2º EI dν 𝑑𝑥 035𝑥4 4 315𝑥3 3 55𝑥2 2 C1 EI ν 00875x5 5 105 x4 4 275 x3 3 C1x C2 Eq A Eq B EI θ 00875 x4 105x³ 275x² C1 EI ν 00175 x5 02625 x4 275 x3 3 C1x C2 M1 035x³ 315x² 55x arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI EI d²ν dx² M2 Integrando duas vezes em x obtemos Método da integração na seção 2 3 𝐱 5 m 1º 2º EI dν dx 24x C3 EI ν 24x² 2 C3x C4 EI d²ν dx² 24 Eq C Eq D EI ν 12𝑥2 C3x C4 arianecardosoeng RESMAT2 Condições de contorno UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Apoio Móvel Apoio Fixo Engaste Balanço Ponto articulado x 0 ν1 0 x 3 θ1 θ2 x 3 ν1 ν2 x 3 ν 0 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Condições de contorno Quando x 0 ν1 0 Substituindo na Equação B temos 𝐂𝟐 0 x 0 ν1 0 Eq B EI ν 00175 x5 02625 x4 275 x3 3 C1x C2 EI 0 00175 05 02625 04 275 03 3 C1 0 C2 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Condições de contorno Quando x 3 ν1 0 Substituindo na Equação B temos 𝐂𝟏 258 x 3 ν1 0 Eq B EI ν 00175 x5 02625 x4 275 x3 3 C1x C2 EI 0 00175 35 02625 34 275 33 3 C13 0 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Condições de contorno Quando x 3 m θ1 θ2 Igualando a Equação A com a Equação C temos x 3 θ1 θ2 𝐂𝟑 81075 00875 x4 105x³ 275x² C1 24x C3 00875 34 105 3³ 275 3² 258 24 3 C3 70875 2835 2475 258 72 C3 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Condições de contorno x 3 ν2 0 Quando x 3 m ν2 0 Substituindo na equação D temos 𝐂𝟒 135225 EI ν 12𝑥2 C3x C4 EI 0 12 32 81075 3 C4 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI a Substituindo os valores das constantes nas Equações B e D encontramos as equações da linha elástica de deformação para cada trecho Seção 2 3 𝐱 5 m Seção 1 0 𝐱 3 m 𝛎 𝟏 𝐄𝐈 00175 x5 02625 x4 275 x3 3 258x EI ν 12𝑥2 C3x C4 𝛎 𝟏 𝐄𝐈 𝟏 𝟐𝒙𝟐 811x 1352 EI ν 00175 x5 02625 x4 275 x3 3 C1x C2 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI b O valor da flexa máxima 𝛎𝒎á𝒙𝟏 𝟐𝟎𝟐 𝐄𝐈 A flexa máxima da seção 1 ocorre em x 13 m porém precisase verificar a flecha da seção 2 para saber qual é a maior Substituindo então na Equação B da seção 1 temos 𝛎 𝟏 𝐄𝐈 00175 135 02625 134 275 133 3 258 13 𝛎 𝟏 𝐄𝐈 00175 x5 02625 x4 275 x3 3 258x arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI b O valor da flexa máxima 𝛎𝒎á𝒙𝟐 𝟐𝟗𝟕 𝐄𝐈 Avaliando na extremidade do balanço substituise então na Equação D da seção 2 para x 5m Logo a flecha máxima na estrutura é 𝟐𝟗𝟕 𝐄𝐈 e ocorre na extremidade do balanço 𝛎 𝟏 𝐄𝐈 𝟏 𝟐𝒙𝟐 811x 1352 𝜈 1 EI 12 5²811 5 1352 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 2 Para o estado de tensão dado determine a Os planos principais b As tensões principais c A tensão de cisalhamento depois que o elemento sofreu uma rotação de 40 no sentido horário arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI σx 37 GPa σy 27 GPa τxy 07 GPa a Planos principais tg 2𝜃𝑝 2 07 37 27 021875 2𝜃𝑝 1234 𝜽𝒑 𝟔 𝟏𝟕 𝒆 𝟗𝟔 𝟏𝟕 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI b Tensões principais 𝜎máxmín 37 27 2 37 27 2 ² 07² 𝝈máx 377567 GPa 𝝈mín 277567 GPa 𝜎máxmín 05 327567 σx 37 GPa σy 27 GPa τxy 07 GPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI a A tensão de cisalhamento depois que o elemento sofreu uma rotação de 40 no sentido horário θ 40 2θ 80 Sentido horário negativo 𝜏𝑥𝑦 37 27 2 sen 80 07 cos 80 𝜏𝒙𝒚 327 GPa σx 37 GPa σy 27 GPa τxy 07 GPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 3 Em um estudo de viabilidade de uma estrutura para poder ser utilizada em um evento você foi solicitadoa a verificar a carga axial de compressão máxima que poderá ser aplicada em uma barra da estrutura admitindo um coeficiente de segurança igual a 25 Sabese que a barra biengastada possui 180 cm de comprimento e 35 mm de diâmetro com módulo de elasticidade de 210 GPa Nestas condições qual a carga máxima que poderá ser aplicada e qual a tensão máxima que poderá ser gerada arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Sabese que I𝑐𝑖𝑟𝑐 π d4 64 π 00354 64 7366175 108 m4 Pcr 𝛑𝟐 𝐄 𝐈𝐦í𝐧 𝐋² Biengastada k05 Lf 05 180m 09 m Pcr π2 210 109 7366175 108 09² Cálculo da carga crítica Pcr 188484697 N 18848 kN arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Como o coeficiente de segurança é 25 a carga máxima que se admite que seja aplicada na barra é Pcr 18848 25 Pcr 𝟕𝟓 𝟑𝟗 𝐤𝐍 A tensão máxima gerada na barra é σcr 𝐏𝐜𝐫 𝐀 σcr Pcr 𝜋 d² 4 σcr 7539 𝜋 0035² 4 σcr 783588 KPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 4 Em uma barra de aço maciça de 66mm de diâmetro é aplicado um torque de 31 kNm Determine a tenção de cisalhamento no ponto A situado na exteminade da seção e o percentual do torque total absorvido até o ponto A arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Fórmulas 𝛕 máx G 𝛄 máx 𝛄𝐦á𝐱 𝐂 𝐋 𝐓 𝐋 𝐉 𝐆 𝑳 𝐓 𝐉𝐆 𝛕 𝐓 𝛒 𝐉 T J τ C arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Determinar o momento polar de inércia J J 𝜋 𝐷𝑒4 32 Circular maciça J π 00664 32 186284 106 m4 𝛕 𝐓 𝛒 𝐉 Determinar a tensão de cisalhamento no ponto A τ 31kNm 0015m 186284 106 m4 τ 2496188 kNm² 𝛕 2496 MPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI TA JA τ𝐴 𝛒 Determinar o torque em A TA 𝜋 2 𝐶3 τ𝐴 J 𝜋 2 𝐶4 TA 𝜋 2 0015³ 2496188 TA 0132 kN 13233 N arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Percentual absorvido 𝐓𝐀 𝐓 100 100 0132 31 100 426 426 é o percentual do torque no Ponto A em relação ao torque na extremidade Absorvido 9574 100 426