Lista 3 - Cálculo 2 - 2024-1

Lista 3 1. Calcule ∇f(x,y) sendo a) f(x,y) = x²y b) f(x,y) = e²−x² c) f(x,y) = x/y d) f(x,y) = arctg x/y 2. Determine a derivada direcional da função f no ponto (x₀,y₀) dado na direção do vetor ∇ a) f(x,y) = x² − 3y², (x₀,y₀) = (1,2) e ∇ = 2𝐢 + 𝐣 b) f(x,y) = e²−y², (x₀,y₀) = (1,1) e ∇ = (3,4) c) f(x,y) = arctg x/y, (x₀,y₀) = (3,3) e ∇ = (1/√2 1/√2) d) f(x,y) = xy, (x₀,y₀) = (1,1) e ∇ = 𝐢 + 𝐣 e) f(x,y) = √(1 + x² + y²), (x₀,y₀) = (2,2) e ∇ = (1,2) f) f(x,y) = √(1 + x² + y²), (x₀,y₀) = (2,2) e ∇ = −𝐢 + 2𝐣 g) f(x,y) = 2/x² + y², (x₀,y₀) = (−1,1) e ∇ = 2𝐢 + 3𝐣 3. Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente? a) f(x,y) = x² + xy + y² em (1,1) b) f(x,y) = ln ∥(x,y)∥ em (1,−1) c) f(x,y) = √(4 − x² − 2y²) em (1, 1/2) 4. Seja f(x,y) = arctg x/y. Calcule ∂f/∂∇(1,1), onde ∇ aponta na direção e sentido de máximo crescimento de f, no ponto (1,1). 5. A temperatura é T(x,y) graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano xy e T(x,y) = 3x² + 2xy. A distância é medida em metros. (a) Ache a taxa de variação máxima da temperatura no ponto (3,−6) da placa. (b) Ache a direção e sentido em que a taxa de variação é máxima em (3,−6). Respostas (a) 6√2 (b) direção do vetor 1/√2 𝐢 + 1/√2 𝐣