Aula 1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais 2020-2

Cálculo II / Cálculo Diferencial e Integral II Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais Profs. Cristiane Faria, Maria Hermínia Mello, Patrícia Nunes e Rafael Borges Universidade do Estado do Rio de Janeiro 30 de setembro de 2020 Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 1 / 24 Conteúdo 1 O Conjunto Rn 2 Funções Reais de Várias Variáveis Reais 3 Funções Reais de Duas Variáveis Reais Domínio Imagem Representações Gráfcas Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 2 / 24 Referência Estudem a apostila do IME, volume 1, páginas 33–61. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 3 / 24 Produto Cartesiano Considere dois conjuntos A e B. Defnimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por A × B, como A × B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}. Ou seja, A × B é o conjunto de todos os produtos ordenados (x, y) nos quais o primeiro elemento, x, está em A e o segundo elemento, y, está em B. Exemplo Seja A = {1, 2, 5} e B = {♥, ♠}. Portanto, A × B = {(1, ♥), (1, ♠), (2, ♥), (2, ♠), (5, ♥), (5, ♠)}. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 4 / 24 Produto Cartesiano Da mesma forma, o produto cartesiano entre trés conjuntos A, B e C, denotado por Ax Bx C, é dado por AxBxC={(x,y,z)| xe Aye Beze Ch, e temos definic6es analogas para o produto cartesiano entre quatro, cinco, seis, etc., con- juntos. Nota¢ao Seja A um conjunto. Denotamos A=AxA, A=AxAxA, A"=AXAX...XA. Ve—$5_S_————<_— n vezes O conjunto Rn Assim, R2 é o conjunto dos pares ordenados (x, y), nos quais x e y são valores reais. Ou seja, R2 é um plano (assim como R é uma reta). R3 é o conjunto das triplas ordenadas (x, y, z), nos quais x, y e z são valores reais. Ou seja, R3 é todo o espaço. E, de forma geral, Rn é o conjunto das n-tuplas ordenadas (x1, x2, . . . , xn), nos quais x1, x2, . . . , xn são valores reais. Pergunta Vocês conseguem pensar em uma aplicação para R4? Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 6 / 24 Funções Reais de Várias Variáveis Reais Neste curso, iremos estudar funções que retratam situações onde uma grandeza (um resul- tado observado) dependerá dos valores de assumidos por duas ou mais outras grandezas (as variáveis independentes do problema). Signifcado dos nomes: Funções Reais: funções cuja imagem (ou seja, o resultado observado) é um número real. Funções de Várias Variáveis Reais: funções cujas variáveis independentes são números reais. São as chamadas variáveis do domínio da função. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 7 / 24 Funções Reais de Duas Variáveis Reais Notação usual: z = f (x, y) Variáveis independentes (variáveis do domínio da função): x, y Variável dependente (variável da imagem da função): z Outra notação: z = f (x1, x2) Esta notação é conveniente quando, no domínio, temos muitas variáveis independentes (3 ou mais). Variáveis independentes: x1, x2 Variável dependente: z Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 8 / 24 Exemplos 1 A produção mensal de um certo produto (que denotaremos por Q) depende do ca- pital investido mensalmente (C) e da quantidade de mão-de-obra (L), medida em trabalhadores-hora: Q = f (C, L). 2 A temperatura T em um lugar qualquer na superfície da Terra é função das suas coordenadas (isto é, da sua latitude φ e longitude λ): T = f (φ, λ). Pergunta Você consegue pensar em algum outro exemplo prático de uma grandeza que é função de duas outras? E de três outras? Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 9 / 24 Domínio de uma Função f Defnição O domínio de uma função f é o conjunto dos valores que as suas variáveis independentes podem assumir. As condições do problema ou a fórmula matemática às vezes impõem algumas restrições às variáveis independentes. Por exemplo, se uma das variáveis independentes é o tempo t, em alguns problemas impõe-se a restrição de que t ≥ 0. Notação O domínio de f será denotado por D, Df ou Dom f . Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 10 / 24 Domínio de uma Função z = f (x, y) No caso de uma função real de duas variáveis reais z = f (x, y), Dom f é o conjunto dos valores (x, y) que as variáveis independentes x e y podem assumir. Como x e y são números reais, Dom f é portanto um subconjunto de R2: Dom f ⊆ R2. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 11 / 24 Exemplos 1 z = x − 2y. Não há nenhuma restrição para as variáveis independentes x e y. Portanto, o domínio é todo o plano R2: D = R2. 2 f (x, y) = 1 x2 + y2 . Neste caso, não podemos ter x = y = 0, pois isto faria o denominador se anular. Portanto, o domínio de f é o plano R2, menos a origem (0, 0): Dom f = R2 − {(0, 0)} = {(x, y) ∈ R2 | (x, y) ̸= (0, 0)}. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 12 / 24 Exemplos zZ=V/1—-x?-y*. O radicando de uma raiz quadrada tem que ser maior ou igual a zero. Portanto, 3 2 D= {(x,y) © R’ |1—x° —y’ > O}. ; Para simplificarmos esta expressdo, vamos resol- (| o» ver a inequacao 1 — x” — y” > 0: a 2 ey 2 a 1—-x-y’>0 vs 1>x4+y" Ey <1. =2 Assim, temos £ D= Rj x?+y<1 ={(x,y) € Ro | x+y <1}. Exemplos 4 f (x, y) = ln(y − 1). A variável independente x não aparece na fór- mula da função. Fica subentendido que a variável x pode assumir qualquer valor real. Já para a variável independente y, há a restrição imposta pela função ln: o logaritmo só está def- nido para valores estritamente positivos. Logo, Dom f = {(x, y) ∈ R2 | y − 1 > 0} = {(x, y) ∈ R2 | y > 1}. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 14 / 24 Imagem de uma Função f Defnição A imagem de uma função f é o conjunto dos valores que as suas variáveis dependentes as- sumem. Notação A imagem de f será denotada por I, If ou Im f . No caso de uma função real de duas variáveis reais z = f (x, y), a imagem de f sempre será um subconjunto de R (pois z é um número real): Im f ⊆ R. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 15 / 24 Exemplos 1 z = x − 2y. I = R. 2 f (x, y) = 1 x2 + y2 . Im f = R∗ + = {z ∈ R | z > 0}. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 16 / 24 Exemplos z= V//1—-x*-y?. Notemos que, para os valores de x e y tais que x? + y" = 1, teremos z = 0. Parax = 0 e y = 0, teremos z = 1. Como ja vimos, 0 dominio de f é 0 conjunto dos valores de xe y para os quais 0 < x* + y* < 1. Assim, T={zeER|0<z< 1}. f(x, y) = In(y — 1). Primeiramente, notem que o valor de x nao influencia em nada na imagem de f. Como vimos anteriormente, no dominio de f temos sempre y > 1. Quando y varia entre 1* e +00, os valores de z variam entre —oo e +00. Assim, Inf =R. Gráfco de uma Função z = f (x, y) Defnição O gráfco de uma função real de duas variáveis reais z = f (x, y) é o conjunto das triplas ordenadas (x, y, f (x, y)): Gra f = {(x, y, z) | (x, y) ∈ Dom f e z = f (x, y)}. Notação Denotamos o gráfco de f por G, Gf ou Gra f . Em geral, nos exemplos práticos o gráfco de uma função real de duas variáveis reais z = f (x, y) é uma superfície em R3. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 18 / 24 Exemplos Usem sites ou aplicativos para desenharem os gráfcos das funções vistas anteriormente. Exemplos de sites: Calc Plot 3D: https://www.monroecc.edu/faculty/paulseeburger/calcnsf/CalcPlot3D/ Geogebra: https://www.geogebra.org/3d?lang=pt Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 19 / 24 Observação Dado o gráfco de uma função z = f (x, y): Fazendo a projeção ortogonal dos pontos do gráfco no plano xy, obtemos o domínio da função. Fazendo a projeção dos pontos do gráfco da função no eixo z, obtemos a imagem da função. Observação Em geral, o gráfco de uma função z = f (x, y) é uma superfície. Mas a recíproca não é verdadeira. Existem superfícies que não são gráfcos de funções z = f (x, y). As superfícies que não são gráfcos de funções defnem implicitamente funções do tipo z = f (x, y). Isto é, os gráfcos dessas superfícies contêm ou podem ser subdivididos em gráfcos de funções da forma z = f (x, y). Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 20 / 24 Curvas de nível Como vimos, o gráfco de uma função real de duas variáveis reais z = f (x, y) é uma superfície em R3. Portanto, é impossível representar tal gráfco numa folha de papel, num slide, numa tela de computador ou em qualquer outro objeto bidimensional sem fazermos algum tipo de concessão. Uma forma bastante usual de representarmos o gráfco de z = f (x, y) é através das suas curvas de nível. Defnição Uma curva de nível de uma função real de duas variáveis reais z = f (x, y) é o conjunto dos pares ordenados (x, y) tais que f (x, y) = k, para algum valor escolhido k (chamado de nível). Ou seja, a curva de nível é o conjunto {(x, y) ∈ Dom f | f (x, y) = k}. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 21 / 24 Curvas de nível A representação de z = f (x, y) por curvas de nível é feita da seguinte maneira: primeiro, escolhemos um conjunto de níveis de f (x, y). Depois, desenhamos as curvas destes níveis no plano xy, escrevendo o valor do nível ao lado da sua respectiva curva. Desta forma, obtemos uma representação da f (x, y) em um plano — embora esta seja uma representação incompleta, já que nem todos os níveis da f (x, y) são representados no gráfco. A seguir, veremos alguns exemplos de representação por curvas de nível. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 22 / 24 Exemplos Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 23 / 24 Exemplos Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 01 - Funções Reais de Várias Variáveis Reais 30 de setembro de 2020 24 / 24