Aula 3 Derivadas Parciais - Cálculo 2 2020-2

Cálculo II / Cálculo Diferencial e Integral II Aula 03 - Derivadas Parciais Profs. Cristiane Faria, Maria Hermínia Mello, Patrícia Nunes e Rafael Borges Universidade do Estado do Rio de Janeiro 7 de outubro de 2020 Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 1 / 20 Conteúdo 1 Derivadas Parciais Exemplos 2 A Derivada Parcial como um Limite 3 Derivadas Parciais de Ordem Superior Teorema de Clairaut Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 2 / 20 Referência Estudem a apostila do IME, volume 1, páginas 87–96. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 3 / 20 Derivadas Parciais Considere a função f (x, y) = 4 − x2 + xy − 2y2 2 no domínio D = {(x, y) ∈ R2 | x, y ≥ 0} (isto é, o primeiro quadrante do plano xy). Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 4 / 20 Derivadas Parciais A interseção da superfície de f (x, y) com o plano y = 1 nos dá uma curva que só depende de x: Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 5 / 20 Derivadas Parciais A função f (x, y) = 4 − x2 + xy − 2y2 2 quando res- trita ao plano y = 1 fca: f (x, y) = 4 − x2 + x · 1 − 2 · 12 2 = 2 − x2 + x 2 . Portanto, no plano y = 1, z é uma função apenas de x. Vamos chamá-la de g(x): g(x) = 2 − x2 + x 2 . Podemos derivá-la, obtendo g′(x) = −2x + 1 2 . Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 6 / 20 Derivadas Parciais Da mesma forma, a interseção de f (x, y) com o plano y = y0, onde y0 é um valor fxo arbitrário, igualmente nos dá uma curva que só depende de x: Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 7 / 20 Derivadas Parciais A função f (x, y) = 4 − x2 + xy − 2y2 2 quando restrita ao plano y = y0 fca: f (x, y) = 4 − x2 + x · y0 − 2 · y02 2 . Portanto, no plano y = y0, z é uma função apenas de x (já que y0 é um valor fxo). Como antes, vamos chamá-la de g(x). Derivando g(x) com relação a x, obtemos g′(x) = −2x + y0 2 . Esta é a fórmula para a taxa de variação da f (x, y) com relação a x, quando a variável y está fxa em um y0 arbitrário. Por exemplo, para y0 = 2 temos g′(x) = −2x + 2 2 . Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 8 / 20 Derivadas Parciais O que fzemos — derivar uma função de duas ou mais variáveis com relação somente a x, mantendo fxas as outras variáveis — é chamado de derivada parcial com relação a x. Notem que mantemos y fxo para calcularmos a derivada parcial de f (x, y) com relação a x. Porém, como vimos, a fórmula fnal vai depender do valor de y que escolhemos fxar. Por isso, a expressão da derivada parcial de f (x, y) com relação a x em geral é uma função tanto de x quanto de y. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 9 / 20 Derivadas Parciais Notação Denotamos a derivada parcial de f (x, y) com relação a x por ∂f ∂x (x, y), ∂xf (x, y), fx(x, y), Dxf (x, y), ou D1f (x, y). O símbolo ∂ pronuncia-se “derrom”. Usa-se ∂x ao invés de dx porque este último símbolo denota a derivada total que, como veremos adiante no curso, é calculada de outra forma. O (x, y) às vezes é ignorado por simplicidade: ∂f ∂x , fx, etc. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 10 / 20 Derivada Parcial com Relação a y A derivada parcial de f (x, y) com relação a y é análoga: deixamos x fxo (isto é, o consi- deramos uma constante) e derivamos f (x, y) com relação a y somente. Notação Denotamos a derivada parcial de f (x, y) com relação a y por ∂f ∂y (x, y), ∂yf (x, y), fy(x, y), Dyf (x, y), ou D2f (x, y). A defnição da derivada parcial de f (x, y, z) com relação a z é similar. Notação Denotamos a derivada parcial de f (x, y, z) com relação a z por ∂f ∂z (x, y, z), ∂zf (x, y, z), fz(x, y, z), Dzf (x, y, z), ou D3f (x, y, z). Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 11 / 20 Exemplos 1 Seja f (x, y) = 2x2y. Então, ∂f ∂x (x, y) = 4xy, ∂f ∂y (x, y) = 2x2. E quanto valem as derivadas parciais no ponto (−1, 2)? ∂f ∂x (−1, 2) = 4 · (−1) · 2 = −8, ∂f ∂y (−1, 2) = 2 · (−1)2 = 2. 2 Seja f (x, y) = 2x2 − xy − 3y2 − 3x + 7y + 10. Então, fx(x, y) = 4x − y − 3, fy(x, y) = − x − 6y + 7. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 12 / 20 Exemplos 3 Seja z = 2x3y4 − x2y2 2 + xy + x + 9y − 3 7. Então, ∂z ∂x = 6x2y4 − xy2 + y + 1, ∂z ∂y = 8x3y3 − x2y + x + 9. 4 Seja f (x, y) = x x2 + y2 . Aqui, precisamos aplicar a regra da derivada da divisão, sempre considerando a outra variável como uma constante: fx = ∂xx · (x2 + y2) − x · ∂x(x2 + y2) (x2 + y2)2 = 1 · (x2 + y2) − x · 2x (x2 + y2)2 = y2 − x2 (x2 + y2)2 , fy = ∂yx · (x2 + y2) − x · ∂y(x2 + y2) (x2 + y2)2 = 0 · (x2 + y2) − x · 2y (x2 + y2)2 = − 2xy (x2 + y2)2 . Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 13 / 20 Exemplos 5 Seja f (x, y) = cos(xy). Notem que temos uma composição de funções (a função xy aparece dentro do cosseno). Precisamos então usar a regra da cadeia, sempre consi- derando a outra variável como uma constante: ∂x cos(xy) = − sen(xy) · ∂xxy = −y sen(xy), ∂y cos(xy) = − sen(xy) · ∂yxy = −x sen(xy). 6 Seja z = ex2−y. Novamente, para calcularmos as derivadas parciais precisamos usar a regra da cadeia: ∂xex2−y = ex2−y · ∂x(x2 − y) = 2x ex2−y, ∂yex2−y = ex2−y · ∂y(x2 − y) = −ex2−y. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 14 / 20 Exemplos 7 Seja f (x, y) = (x2+y2) ln(x2+y2). Para calcularmos as derivadas parciais precisamos usar a regra do produto e a da cadeia: fx = ∂x(x2 + y2) ln(x2 + y2) + (x2 + y2) ∂x ln(x2 + y2) = 2x ln(x2 + y2) + (x2 + y2) 1 x2 + y2 ∂x(x2 + y2) = 2x ln(x2 + y2) + 2x, fy = ∂y(x2 + y2) ln(x2 + y2) + (x2 + y2) ∂y ln(x2 + y2) = 2y ln(x2 + y2) + (x2 + y2) 1 x2 + y2 ∂y(x2 + y2) = 2y ln(x2 + y2) + 2y. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 15 / 20 Exemplos 8 Seja w = 3x2y3z + xyz + 2x − 3y + 5z − 6. Então ∂w ∂x = 6xy3z + yz + 2, ∂w ∂y = 9x2y2z + xz − 3, ∂w ∂z = 3x2y3 + xy + 5. 9 Seja f (x, y, z) = exyz. Então fx = yz exyz, fy = xz exyz, fz = xy exyz. Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 16 / 20 A Derivada Parcial como um Limite Formalmente, a derivada parcial é defnida como um limite: ∂f ∂x (x, y) = lim h→0 f (x + h, y) − f (x, y) h , ∂f ∂y (x, y) = lim h→0 f (x, y + h) − f (x, y) h . Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 17 / 20 Como em Calcul I, nada nos impede de calcular a derivada parcial da derivada parcial de f, quantas vezes desejarmos. Nota¢ao 5 (Ff) = Galle») = afl») = fly) 5 (Fite )) = Fomehs Y) = Oxyf (x, ¥) = fry(x, y), Fe (gpl 9)) = gega fle 9) = Bah 9) = fil), 5 (Fed) = Gepahle 9) = Bol 9) = foley) x Calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) = x*y? + In-. y Solucdo: primeiro, note que f(x, y) = x*y” + Inx — In y. Temos 1 1 _ 2 _ 943 fe = 3x"y +o fy = 2x — 5. Assim, 1 1 fx = Ox (sy + :) = oxy’ — —, x x 22,1 2 frry = Oy | 3x°y +5 = 6x"y, 3 1 2 fox = Ox | 2x y— — } = 6x"y, y 1 1 fy =O (2-2) = 234 — yy — Oy y ye’ Teorema de Clairaut Podemos notar que fxy = fyx no exemplo anterior. Ou seja, a ordem das derivadas não importou naquele caso. Será que isto é sempre verdade? Ou terá sido mera coincidência? A resposta é: depende da suavidade da função. Este é o assunto do resultado a seguir: Teorema de Clairaut Se existe uma bola aberta B em torno do ponto (x0, y0) tal que f (x, y) está defnida em todos os pontos de B, e se ambas fxy(x, y) e fyx(x, y) são contínuas, então fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). Equipe de Cálculo II / CDI II (UERJ) Aula 03 - Derivadas Parciais 7 de outubro de 2020 20 / 20