Slide - Primitivas de Funções Racionais - Cálculo 2 2021-2

Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios C´alculo I Alexandre Federici 11 de maio de 2021 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Veremos como integrar uma fun¸c˜ao racional (quociente de polinˆomios). Seja f (x) = P(x) Q(x) onde P e Q s˜ao polinˆomios. Podemos expressar f como soma de fra¸c˜oes mais simples, desde que o grau de P seja menor que o grau de Q. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Veremos como integrar uma fun¸c˜ao racional (quociente de polinˆomios). Seja f (x) = P(x) Q(x) onde P e Q s˜ao polinˆomios. Podemos expressar f como soma de fra¸c˜oes mais simples, desde que o grau de P seja menor que o grau de Q. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Veremos como integrar uma fun¸c˜ao racional (quociente de polinˆomios). Seja f (x) = P(x) Q(x) onde P e Q s˜ao polinˆomios. Podemos expressar f como soma de fra¸c˜oes mais simples, desde que o grau de P seja menor que o grau de Q. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Veremos como integrar uma fun¸c˜ao racional (quociente de polinˆomios). Seja f (x) = P(x) Q(x) onde P e Q s˜ao polinˆomios. Podemos expressar f como soma de fra¸c˜oes mais simples, desde que o grau de P seja menor que o grau de Q. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Caso o grau de P seja maior ou igual ao grau de Q, ent˜ao primeiro dividimos os polinˆomios: P(x) Q(x) = D(x) + R(x) Q(x) onde R ´e um polinˆomio de grau menor que o de Q. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Caso o grau de P seja maior ou igual ao grau de Q, ent˜ao primeiro dividimos os polinˆomios: P(x) Q(x) = D(x) + R(x) Q(x) onde R ´e um polinˆomio de grau menor que o de Q. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Caso o grau de P seja maior ou igual ao grau de Q, ent˜ao primeiro dividimos os polinˆomios: P(x) Q(x) = D(x) + R(x) Q(x) onde R ´e um polinˆomio de grau menor que o de Q. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Caso o grau de P seja maior ou igual ao grau de Q, ent˜ao primeiro dividimos os polinˆomios: P(x) Q(x) = D(x) + R(x) Q(x) onde R ´e um polinˆomio de grau menor que o de Q. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Funcgdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 1 x+x Calcule {| ———dx x—-1 «O> «<ffr «Bre B = NAQ Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 1 3 x~ +x Calcule {| ———dx x—-1 Dividindo x? + x por x — 1 obtemos como quociente x*+x+2e resto= 2. Entao: Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 1 3 x~ +x Calcule {| ———dx x—-1 Dividindo x? + x por x — 1 obtemos como quociente x*+x+2e resto= 2. Entao: x3 +x ——dx = x—-1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 1 3 xX” +X Calcule {| ———dx x-1 Dividindo x? + x por x — 1 obtemos como quociente x*+x+2e resto= 2. Entao: 3 x” + x 2 ——dx = x? +x +2+ —— } dx x-1 x-1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 1 3 xX” +X Calcule / ——— dx x-1 Dividindo x? + x por x — 1 obtemos como quociente x*+x+2e resto= 2. Entao: 3 x” + x 2 ——dx = x? +x +2+ —— } dx x-1 x-1 3 2 x x = —+—42x+2In|x —1]/+k 3 2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Divis˜ao de Polinˆomios Caso vocˆe n˜ao lembre como dividir polinˆomios, ser´a necess´ario revisar como ´e realizada essa opera¸c˜ao. Poder´a ser usado o m´etodo de Briot-Ruffini, ou o algoritmo da divis˜ao euclidiana Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Divis˜ao de Polinˆomios Caso vocˆe n˜ao lembre como dividir polinˆomios, ser´a necess´ario revisar como ´e realizada essa opera¸c˜ao. Poder´a ser usado o m´etodo de Briot-Ruffini, ou o algoritmo da divis˜ao euclidiana Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Divis˜ao de Polinˆomios Caso vocˆe n˜ao lembre como dividir polinˆomios, ser´a necess´ario revisar como ´e realizada essa opera¸c˜ao. Poder´a ser usado o m´etodo de Briot-Ruffini, ou o algoritmo da divis˜ao euclidiana Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Procuraremos fatorar o denominador Q(x) o m´aximo poss´ıvel, escrevendo o polinˆomio Q como produto de fatores lineares e de fatores quadr´aticos irredut´ıveis. Por exemplo, x4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4). Depois de fatorado o denominador Q, devemos expressar a fun¸c˜ao racional como uma soma de fra¸c˜oes parciais, ou seja, fra¸c˜oes cujos denominadores s˜ao dados pelos fatores obtidos na fatora¸c˜ao de Q. A soma dessas fra¸c˜oes ser´a igual ao integrando original. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Procuraremos fatorar o denominador Q(x) o m´aximo poss´ıvel, escrevendo o polinˆomio Q como produto de fatores lineares e de fatores quadr´aticos irredut´ıveis. Por exemplo, x4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4). Depois de fatorado o denominador Q, devemos expressar a fun¸c˜ao racional como uma soma de fra¸c˜oes parciais, ou seja, fra¸c˜oes cujos denominadores s˜ao dados pelos fatores obtidos na fatora¸c˜ao de Q. A soma dessas fra¸c˜oes ser´a igual ao integrando original. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Procuraremos fatorar o denominador Q(x) o m´aximo poss´ıvel, escrevendo o polinˆomio Q como produto de fatores lineares e de fatores quadr´aticos irredut´ıveis. Por exemplo, x4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4). Depois de fatorado o denominador Q, devemos expressar a fun¸c˜ao racional como uma soma de fra¸c˜oes parciais, ou seja, fra¸c˜oes cujos denominadores s˜ao dados pelos fatores obtidos na fatora¸c˜ao de Q. A soma dessas fra¸c˜oes ser´a igual ao integrando original. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Procuraremos fatorar o denominador Q(x) o m´aximo poss´ıvel, escrevendo o polinˆomio Q como produto de fatores lineares e de fatores quadr´aticos irredut´ıveis. Por exemplo, x4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4). Depois de fatorado o denominador Q, devemos expressar a fun¸c˜ao racional como uma soma de fra¸c˜oes parciais, ou seja, fra¸c˜oes cujos denominadores s˜ao dados pelos fatores obtidos na fatora¸c˜ao de Q. A soma dessas fra¸c˜oes ser´a igual ao integrando original. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Procuraremos fatorar o denominador Q(x) o m´aximo poss´ıvel, escrevendo o polinˆomio Q como produto de fatores lineares e de fatores quadr´aticos irredut´ıveis. Por exemplo, x4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4). Depois de fatorado o denominador Q, devemos expressar a fun¸c˜ao racional como uma soma de fra¸c˜oes parciais, ou seja, fra¸c˜oes cujos denominadores s˜ao dados pelos fatores obtidos na fatora¸c˜ao de Q. A soma dessas fra¸c˜oes ser´a igual ao integrando original. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Procuraremos fatorar o denominador Q(x) o m´aximo poss´ıvel, escrevendo o polinˆomio Q como produto de fatores lineares e de fatores quadr´aticos irredut´ıveis. Por exemplo, x4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4). Depois de fatorado o denominador Q, devemos expressar a fun¸c˜ao racional como uma soma de fra¸c˜oes parciais, ou seja, fra¸c˜oes cujos denominadores s˜ao dados pelos fatores obtidos na fatora¸c˜ao de Q. A soma dessas fra¸c˜oes ser´a igual ao integrando original. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 xe+1 i. ar Para calcularmos {| ——dx temos primeiramente que dividir 2x +3 x? +1 por 2x +3. Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 xe+1 i. ar Para calcularmos {| ——dx temos primeiramente que dividir 2x +3 2 ..n ,X 3 x“ +1 por 2x +3. O quociente dessa divisdo é 574 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 x? +1 i. ar Para calcularmos {| ——dx temos primeiramente que dividir 2x +3 2 ..n ,X 3 x“ +1 por 2x +3. O quociente dessa divisdo é 574 resto 5 igual 13 é iguala —. 4 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 x2 +1 i. ae Para calcularmos {| ——dx temos primeiramente que dividir 2x +3 2 . -.n xX 3 x“ +1 por 2x +3. O quociente dessa divisdo é 574 resto , 13 é igual a a Dessa forma, temos: x? +1 —— dx = 2x +3 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 x? +1 Lo. ar Para calcularmos {| ——dx temos primeiramente que dividir 2x +3 > ; ..n ,X 3 x“ +1 por 2x +3. O quociente dessa divisdo é 574 resto Do. 13 é igual a a Dessa forma, temos: 2 xe +1 d x 3 — dx = —- — ~— 2x +3 2 4 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 x2 +1 i. ae Para calcularmos {| ——dx temos primeiramente que dividir 2x +3 . 2. xX 8 x? +1 por 2x +3. O quociente dessa divisdo é 574 resto , 13 é igual a a Dessa forma, temos: 2 xe +1 x 3 13/4 — dx = =~ -—-— + 13/4 dx = 2x+3 2 4 2x +3 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 x2 +1 i. ae Para calcularmos {| ——dx temos primeiramente que dividir 2x +3 . en ,X 3 x? +1 por 2x +3. O quociente dessa divisdo é 574 resto a 13 é igual a a Dessa forma, temos: 2 xe +1 x 3 13/4 — dx = =~ -—-— + 13/4 dx = 2x +3 2 4 2x +3 4 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 x2 +1 i. ae Para calcularmos {| ——dx temos primeiramente que dividir 2x +3 . 2. xX 8 x? +1 por 2x +3. O quociente dessa divisdo é 574 resto ye 13 é igual a a Dessa forma, temos: 2 xe +1 x 3 13/4 — dx = =~ -—-— + 13/4 dx = 2x+3 2 4 2x +3 _ x? 3x 4 4 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 x*+1 i, io. Para calcularmos [ae temos primeiramente que dividir 2x +3 Cw y 3 x? +1 por 2x +3. O quociente dessa divisdo é 5 qr &0 resto . 13 é igual a a Dessa forma, temos: 2 x“ +1 x 3 13/4 aT dy = “a 2 I" Vay = [KS * IG a a5) * 2 x 3x 13 =— — — — |n|2 3 C. 4 a+ 3 n|2x + 3| + Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 2 x? +1 Lo. ae Para calcularmos [ae temos primeiramente que dividir 2x +3 ow 7X 8 x? +1 por 2x +3. O quociente dessa divisdo é 574 resto , 13 é igual a a Dessa forma, temos: 2 1 3 13/4 xt) / x 3, 13/4) AK 2x+3 2 4 2x+3 2 x 3x 13 =— —- — — In |2 3, + C. 4 at gin |2x + 3) + Veremos em seguida os diferentes casos possiveis de fatoracdo de Q. Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominadores Quadr´aticos (1o Caso) Seja Q um polinˆomio de grau 2 ⇒ Q(x) = ax2 + bx + c, a ̸= 0. Temos que analisar 3 casos: (1) Q possui ra´ızes distintas: Q(x) = a(x − r1)(x − r2) ⇒ P(x) Q(x) = D(x) + R(x) a(x − r1)(x − r2) onde R(x) = αx + β. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominadores Quadr´aticos (1o Caso) Seja Q um polinˆomio de grau 2 ⇒ Q(x) = ax2 + bx + c, a ̸= 0. Temos que analisar 3 casos: (1) Q possui ra´ızes distintas: Q(x) = a(x − r1)(x − r2) ⇒ P(x) Q(x) = D(x) + R(x) a(x − r1)(x − r2) onde R(x) = αx + β. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominadores Quadr´aticos (1o Caso) Seja Q um polinˆomio de grau 2 ⇒ Q(x) = ax2 + bx + c, a ̸= 0. Temos que analisar 3 casos: (1) Q possui ra´ızes distintas: Q(x) = a(x − r1)(x − r2) ⇒ P(x) Q(x) = D(x) + R(x) a(x − r1)(x − r2) onde R(x) = αx + β. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominadores Quadr´aticos (1o Caso) Seja Q um polinˆomio de grau 2 ⇒ Q(x) = ax2 + bx + c, a ̸= 0. Temos que analisar 3 casos: (1) Q possui ra´ızes distintas: Q(x) = a(x − r1)(x − r2) ⇒ P(x) Q(x) = D(x) + R(x) a(x − r1)(x − r2) onde R(x) = αx + β. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominadores Quadr´aticos (1o Caso) Seja Q um polinˆomio de grau 2 ⇒ Q(x) = ax2 + bx + c, a ̸= 0. Temos que analisar 3 casos: (1) Q possui ra´ızes distintas: Q(x) = a(x − r1)(x − r2) ⇒ P(x) Q(x) = D(x) + R(x) a(x − r1)(x − r2) onde R(x) = αx + β. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Zz 7 Sempre é possivel escrever Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Sempre é possivel escrever R(x) a(x — n)(x — 2) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Sempre é possivel escrever R(x) ax + B ax—n)(x—r) a(x—n)(x— 1) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Sempre é possivel escrever R(x) ax + B 1 { A 1 B \ So i — — = — ————. ———. 5 ax—n)(x—m) alx—ny(x-—nr) al(x-n) (x-n) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Sempre é possivel escrever R(x) ax + B 1 { A 1 B \ So i — — = — ————. ———. 5 ax—n)(x—r) ax—n)(x-nm) al(x-n) (x-h) onde Ae B sao constantes. Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 3 2 1 Xo +X + d —_zj DC OX x21 «O> «<ffr «Bre B = NAQ Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 2 x*+x+1 ear x-—1 Podemos dividir o numerador pelo denominador, Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 2 x-+x+1 —a TX x-—1 Podemos dividir o numerador pelo denominador, obtendo x+2 1+ —.— ] dx / ( x2 —1 Fatorando o denominador, podemos reescrever a integral como Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 2 x-+x+1 —a TX x-—1 Podemos dividir o numerador pelo denominador, obtendo x+2 1+ —— ] dx Fatorando o denominador, podemos reescrever a integral como x+2 1 + ——___ ] dx (x + 1)(x — 1) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Ent˜ao x + 2 (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 onde A e B s˜ao contantes. Reduzindo a soma de fra¸c˜oes `a direita ao mesmo denominador, temos x + 2 (x + 1)(x − 1) = A(x − 1) + B(x + 1) (x + 1)(x − 1) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Ent˜ao x + 2 (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 onde A e B s˜ao contantes. Reduzindo a soma de fra¸c˜oes `a direita ao mesmo denominador, temos x + 2 (x + 1)(x − 1) = A(x − 1) + B(x + 1) (x + 1)(x − 1) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Ent˜ao x + 2 (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 onde A e B s˜ao contantes. Reduzindo a soma de fra¸c˜oes `a direita ao mesmo denominador, temos x + 2 (x + 1)(x − 1) = A(x − 1) + B(x + 1) (x + 1)(x − 1) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Ent˜ao x + 2 (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 onde A e B s˜ao contantes. Reduzindo a soma de fra¸c˜oes `a direita ao mesmo denominador, temos x + 2 (x + 1)(x − 1) = A(x − 1) + B(x + 1) (x + 1)(x − 1) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Ent˜ao x + 2 (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 onde A e B s˜ao contantes. Reduzindo a soma de fra¸c˜oes `a direita ao mesmo denominador, temos x + 2 (x + 1)(x − 1) = A(x − 1) + B(x + 1) (x + 1)(x − 1) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Ent˜ao x + 2 (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 onde A e B s˜ao contantes. Reduzindo a soma de fra¸c˜oes `a direita ao mesmo denominador, temos x + 2 (x + 1)(x − 1) = A(x − 1) + B(x + 1) (x + 1)(x − 1) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Ent˜ao x + 2 (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 onde A e B s˜ao contantes. Reduzindo a soma de fra¸c˜oes `a direita ao mesmo denominador, temos x + 2 (x + 1)(x − 1) = A(x − 1) + B(x + 1) (x + 1)(x − 1) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Ent˜ao x + 2 (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 onde A e B s˜ao contantes. Reduzindo a soma de fra¸c˜oes `a direita ao mesmo denominador, temos x + 2 (x + 1)(x − 1) = A(x − 1) + B(x + 1) (x + 1)(x − 1) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Da´ı (A + B)x + (−A + B) = x + 2 Portanto A + B = 1 e −A + B = 2, Ent˜ao A = −1/2 e B = 3/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Da´ı (A + B)x + (−A + B) = x + 2 Portanto A + B = 1 e −A + B = 2, Ent˜ao A = −1/2 e B = 3/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Da´ı (A + B)x + (−A + B) = x + 2 Portanto A + B = 1 e −A + B = 2, Ent˜ao A = −1/2 e B = 3/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Da´ı (A + B)x + (−A + B) = x + 2 Portanto A + B = 1 e −A + B = 2, Ent˜ao A = −1/2 e B = 3/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Da´ı (A + B)x + (−A + B) = x + 2 Portanto A + B = 1 e −A + B = 2, Ent˜ao A = −1/2 e B = 3/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Da´ı (A + B)x + (−A + B) = x + 2 Portanto A + B = 1 e −A + B = 2, Ent˜ao A = −1/2 e B = 3/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Da´ı (A + B)x + (−A + B) = x + 2 Portanto A + B = 1 e −A + B = 2, Ent˜ao A = −1/2 e B = 3/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Da´ı (A + B)x + (−A + B) = x + 2 Portanto A + B = 1 e −A + B = 2, Ent˜ao A = −1/2 e B = 3/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 3 - continua¸c˜ao Da´ı (A + B)x + (−A + B) = x + 2 Portanto A + B = 1 e −A + B = 2, Ent˜ao A = −1/2 e B = 3/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 - continuacao Assim sendo, reescreveremos a fracdo como a seguinte soma Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 - continuacao Assim sendo, reescreveremos a fracdo como a seguinte soma 2 x*+x+1 Sea = x-—1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 - continuacao Assim sendo, reescreveremos a fracdo como a seguinte soma xe+x+1 x+2 x-—1 x*+—1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 - continuacao Assim sendo, reescreveremos a fracdo como a seguinte soma 2 x*+x+1 x+2 x-—1 x*+—1 - / (1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 - continuacao Assim sendo, reescreveremos a fracdo como a seguinte soma 2 x*+x+1 x+2 —,—— dx = 1 —>— | dx / x2 —1 + x2 —1 3 #1 — 14+ 2 / ( 2x—1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 - continua¢ao Assim sendo, reescreveremos a fracdo como a seguinte soma 2 x*+x+1 x+2 —,—— dx = 1 —+— | dx / x2 —1 / ( + 2a :) 3 #1 1 1 = 1+ =—— —- =—— ]} ax / ( 2x—-1 2x+ :) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 - continuacao Assim sendo, reescreveremos a fracdo como a seguinte soma 2 x*+x+1 x+2 —,—— dx = 1 —>— | dx / x2 —1 / ( + 2a :) 3 #1 1 1 = 1+ =—— —- =—— ]} ax / ( 2x—-1 2x+ :) = x Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 - continuacao Assim sendo, reescreveremos a fracdo como a seguinte soma 2 x*+x+1 x+2 —,—— dx = 1 —>— | dx / x2 —1 / ( + 2a :) 3 #1 1 1 = 1+ =—— —- =—— ]} ax / ( 2x—-1 2x+ :) =x + 3 In|x — 1| Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 3 - continuacao Assim sendo, reescreveremos a fracdo como a seguinte soma 2 x*+x+1 x+2 —,—— dx = 1 —>— | dx / x1 I( +5) 3 #1 1 1 =/(1 + =—~ —- -—_)« / ( * 3x1” Ox :) =x + 3 In|x —1 — $In|x+1)+k. Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 4 >—~ dx / x2 —1 «O> «<ffr «Bre B = NAQ Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 1 —+>— dx / x2 —1 Pode ser resolvido de forma andloga: 1 x21 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 1 —+>— dx / x2 —1 Pode ser resolvido de forma andloga: 1 1 x2—-1 0 (x+1)(x-1) © Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 1 —+>— dx / x2 —1 Pode ser resolvido de forma andloga: 1 1 A 1 B x2—-1 (x+1)(x-1) x41 x1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 1 —+>— dx / x2 —1 Pode ser resolvido de forma andloga: 1 1 A 1 B x2—-1 (x+1)(x-1) x41 x1 portanto Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 1 —+>— dx / x2 —1 Pode ser resolvido de forma andloga: 1 1 A 1 B x2—-1 (x+1)(x-1) x41 x1 portanto 1 x21 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 1 —+>— dx / x2 —1 Pode ser resolvido de forma andloga: 1 | 1 _A, 8B x2—-1 (x+1)(x-1) x41 x1 portanto 1 A(x - 1) + B(x +1) x1 x? —1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 4 -continua¸c˜ao de onde (A + B)x + (−A + B) = 1 Ent˜ao A + B = 0 e −A + B = 1, sendo A = −1/2 e B = 1/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 4 -continua¸c˜ao de onde (A + B)x + (−A + B) = 1 Ent˜ao A + B = 0 e −A + B = 1, sendo A = −1/2 e B = 1/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 4 -continua¸c˜ao de onde (A + B)x + (−A + B) = 1 Ent˜ao A + B = 0 e −A + B = 1, sendo A = −1/2 e B = 1/2. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 4 - continuacao Temos entao 40> «<@§r«2Ebrod«aeB = DAG Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 - continuacao Temos entao 1 > d= / x2 —1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 - continuacao Temos entao 1 1 1 1 1 —-— dx =| ( =~ — -——_ ) dx lz [Ga ssa) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 - continuacao Temos entao 1 1 1 1 1 —-— dx =| ( =~ — -——_ ) dx lz [Ga ssa) 1 1 = <=In|x —1]/—<=In|x+1|/+k = sin |x 1) — 5 In|x +1\+ Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 4 - continuacao Temos entao 1 1 1 1 1 ——— dx = | (=—-- —-=—_)d lea * [Ga ssa) * 1 1 1 x-1 = =| —1|/-=|l 1]/+k = —In|——|+k. sin |x 1) — 5 In|x +1\+ 5 In| 1+ Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 5 2x (c) | —“~-ax = xe —4 «O> «<ffr «Bre B = NAQ Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 2x A B (c) | “a = | (+. +. ) x x- —4 x+2 x-2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 2x A B (c) | “oak = | (7. + =~ ) x x- —4 x+2 x-2 Temos entao que Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 2x A B (c) | “oak = | (7. + =~ ) x x- —4 x+2 x-2 Temos entao que 2x (x + 2)(x — 2) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 2x A B dk = | ( —~+—~)d (©) | wae (+=) * Temos entao que 2x — A(x— 2) + B(x +2) (x + 2)(x — 2) (x + 2)(x — 2) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 2x A B c) | “—ax = | (~~ +—~)d (©) | wae (+=) * Temos entao que 2x — A(x— 2) + B(x +2) (x + 2)(x — 2) (x + 2)(x — 2) portanto, Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 2x A B dk = | ( —~+—~)d (©) | wae (+=) * Temos entao que 2x — A(x— 2) + B(x +2) (x + 2)(x — 2) (x + 2)(x — 2) portanto, A(x — 2) + B(x +2) = Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 2x A B dk = | ( —~+—~)d (©) | wae (+=) * Temos entao que 2x — A(x— 2) + B(x +2) (x + 2)(x — 2) (x + 2)(x — 2) portanto, A(x — 2)+ B(x +2) = 2x Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 2x A B dk = | ( —~+—~)d (©) | wae (+=) * Temos entao que 2x — A(x— 2) + B(x +2) (x + 2)(x — 2) (x + 2)(x — 2) portanto, A(x — 2)+ B(x +2) = 2x Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 5 - continua¸c˜ao Uma forma simples para determinar esses coeficientes, quando temos termos de grau 1 nos fatores do denominador ´e substituirmos na igualdade A(x − 2) + B(x + 2) = 2x os valores das ra´ızes de cada fator que comp˜oe o denominador. Assim: Se x = 2, temos A · 0 + B · 4 = 4 donde B = 1 Se x = −2, temos A · (−4) + B · 0 = −4 donde A = 1 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 5 - continuacao 2x d es xX = x24 «O> «<ffr «Bre B = NAQ Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 - continuacao 2x 1 1 dx = —_ + —_ ) ax | x2 — 4 x+2 x-2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 - continua¢ao 2x 1 1 >— dx = —j + — 5 | ax )ea Is x—2 = In|x +2] Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 - continua¢ao 2x 1 1 >— dx = —j + — 5 | ax )ea Is x—2 = In|x+2| + In|x—2| Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 5 - continuacao 2x 1 1 >— dx = ——~ + —— ] ax lea I(as+=) = In|x+2| + In|x—2| + k = In|x? —4] +k. Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Denominadores Quadraticos (2° Caso) (2) Q possui raiz dupla: Q(x) = a(x — 1)? Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Denominadores Quadraticos (2° Caso) (2) Q possui raiz dupla: Q(x) = a(x — 1)? Sempre é possivel escrever Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Denominadores Quadraticos (2° Caso) (2) Q possui raiz dupla: Q(x) = a(x — 1)? Sempre é possivel escrever R(x) a(x —r)2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Denominadores Quadraticos (2° Caso) (2) Q possui raiz dupla: Q(x) = a(x — 1)? Sempre é possivel escrever R(x) — axt+B alx—r)? a(x—r)? Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Denominadores Quadraticos (2° Caso) (2) Q possui raiz dupla: Q(x) = a(x — 1)? Sempre é possivel escrever R(x) —ax+6 1 A 4 B alx—r)? ax—r)? a\(x—-r) (x-r)2/’ onde A e B sao constantes. Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 6 ~ od — 2 AX (x + 2) «O> «<ffr «Bre B = NAQ Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 6 x —x5 dx (x + 2) Neste caso podemos escrever Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 x ——5dx (x + 2) Neste caso podemos escrever x (x + 2)? Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 x ——5dx (x + 2) Neste caso podemos escrever x A (x + 2)? x+2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 x ——5dx (x + 2) Neste caso podemos escrever x A 1 B (x+2)2 x42 (x + 2)? Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 x ——5dx (x + 2) Neste caso podemos escrever x A 1 B (x+2)2 x42 (x + 2)? Reduzindo ao mesmo denominador, temos Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 x ————5 dx / (x + 2) Neste caso podemos escrever x _ A 1 B (x+2)2 x42 (x + 2)? Reduzindo ao mesmo denominador, temos x A(x +2)+B (x+2)? (x +2)? Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 6 - continuacao Temos entao 40> «<@§r«2Ebrod«aeB = DAG Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 - continua¢ao Temos entao Ax +(2A+ B)=x, Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 - continuacao Temos entao Ax +(2A+B)=x, portanto A=1 e 2A+B=0 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 - continuacao Temos entao Ax +(2A+ B)=x, portanto A=1 e 2A+B=0 Assim A = 1, B = —2 e temos Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 - continuacao Temos entao Ax +(2A+ B)=x, portanto A=1 e 2A+B=0 Assim A = 1, B = —2 e temos x —~5 dx = / (x + 2)? Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 - continuacao Temos entao Ax +(2A+B)=x, portanto A=1 e 2A+B=0 Assim A = 1, B = —2 e temos x 1 —"~__dx = ——_ / (x + 2)? / (; +2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 - continuacao Temos entao Ax +(2A+ B)=x, portanto A=1 e 2A+B=0 Assim A = 1, B = —2 e temos x 1 2 —"~__dx = —_ — —*__) dx |p * Ie a) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 - continuacao Temos entao Ax +(2A+B)=x, portanto A=1 e 2A+B=0 Assim A = 1, B = —2 e temos x 1 2 —~__dy = —_ _—_“__j\q |p * Ie a) * = In|x + 2| Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 6 - continuacao Temos entao Ax +(2A+B)=x, portanto A=1 e 2A+B=0 Assim A = 1, B = —2 e temos x 1 2 —~__dy = —_ _—_“__j\q |p * Ie a) * Inlx +2] + 2——— +k = In|x —— : x+2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 6 - continua¸c˜ao Note que a partir da express˜ao A(x + 2) + B = x do numerador podemos obter A e B, substituindo x = −2, que ´e a raiz do termo do denominador, ficando A · 0 + B = −2, portanto B = −2. Ent˜ao, A(x + 2) − 2 = x O valor de A pode ser obtido substituindo qualquer valor diferente de −2 em x, ou, como Ax + 2A − 2 = x, temos diretamente que A = 1. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 6 - continua¸c˜ao Note que a partir da express˜ao A(x + 2) + B = x do numerador podemos obter A e B, substituindo x = −2, que ´e a raiz do termo do denominador, ficando A · 0 + B = −2, portanto B = −2. Ent˜ao, A(x + 2) − 2 = x O valor de A pode ser obtido substituindo qualquer valor diferente de −2 em x, ou, como Ax + 2A − 2 = x, temos diretamente que A = 1. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 6 - continua¸c˜ao Note que a partir da express˜ao A(x + 2) + B = x do numerador podemos obter A e B, substituindo x = −2, que ´e a raiz do termo do denominador, ficando A · 0 + B = −2, portanto B = −2. Ent˜ao, A(x + 2) − 2 = x O valor de A pode ser obtido substituindo qualquer valor diferente de −2 em x, ou, como Ax + 2A − 2 = x, temos diretamente que A = 1. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 6 - continua¸c˜ao Note que a partir da express˜ao A(x + 2) + B = x do numerador podemos obter A e B, substituindo x = −2, que ´e a raiz do termo do denominador, ficando A · 0 + B = −2, portanto B = −2. Ent˜ao, A(x + 2) − 2 = x O valor de A pode ser obtido substituindo qualquer valor diferente de −2 em x, ou, como Ax + 2A − 2 = x, temos diretamente que A = 1. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 6 - continua¸c˜ao Note que a partir da express˜ao A(x + 2) + B = x do numerador podemos obter A e B, substituindo x = −2, que ´e a raiz do termo do denominador, ficando A · 0 + B = −2, portanto B = −2. Ent˜ao, A(x + 2) − 2 = x O valor de A pode ser obtido substituindo qualquer valor diferente de −2 em x, ou, como Ax + 2A − 2 = x, temos diretamente que A = 1. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 6 - continua¸c˜ao Note que a partir da express˜ao A(x + 2) + B = x do numerador podemos obter A e B, substituindo x = −2, que ´e a raiz do termo do denominador, ficando A · 0 + B = −2, portanto B = −2. Ent˜ao, A(x + 2) − 2 = x O valor de A pode ser obtido substituindo qualquer valor diferente de −2 em x, ou, como Ax + 2A − 2 = x, temos diretamente que A = 1. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 6 - continua¸c˜ao Note que a partir da express˜ao A(x + 2) + B = x do numerador podemos obter A e B, substituindo x = −2, que ´e a raiz do termo do denominador, ficando A · 0 + B = −2, portanto B = −2. Ent˜ao, A(x + 2) − 2 = x O valor de A pode ser obtido substituindo qualquer valor diferente de −2 em x, ou, como Ax + 2A − 2 = x, temos diretamente que A = 1. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Exemplo 6 - continua¸c˜ao Note que a partir da express˜ao A(x + 2) + B = x do numerador podemos obter A e B, substituindo x = −2, que ´e a raiz do termo do denominador, ficando A · 0 + B = −2, portanto B = −2. Ent˜ao, A(x + 2) − 2 = x O valor de A pode ser obtido substituindo qualquer valor diferente de −2 em x, ou, como Ax + 2A − 2 = x, temos diretamente que A = 1. Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominador Quadr´atico (3o Caso) (3) Q ´e irredut´ıvel: Se o denominador tiver um fator da forma ax2 + bx + c, com b2 − 4ac < 0, ent˜ao a esse fator corresponder´a uma fra¸c˜ao da forma Ax + B ax2 + bx + c A determina¸c˜ao das constantes A e B ´e an´aloga ao que fizemos anteriormente (escrever a soma de fra¸c˜oes parciais, reduzir ao mesmo denominador, para determinar as constantes,comparando o numerador obtido com as constantes e o numerador da fra¸c˜ao original). Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominador Quadr´atico (3o Caso) (3) Q ´e irredut´ıvel: Se o denominador tiver um fator da forma ax2 + bx + c, com b2 − 4ac < 0, ent˜ao a esse fator corresponder´a uma fra¸c˜ao da forma Ax + B ax2 + bx + c A determina¸c˜ao das constantes A e B ´e an´aloga ao que fizemos anteriormente (escrever a soma de fra¸c˜oes parciais, reduzir ao mesmo denominador, para determinar as constantes,comparando o numerador obtido com as constantes e o numerador da fra¸c˜ao original). Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominador Quadr´atico (3o Caso) (3) Q ´e irredut´ıvel: Se o denominador tiver um fator da forma ax2 + bx + c, com b2 − 4ac < 0, ent˜ao a esse fator corresponder´a uma fra¸c˜ao da forma Ax + B ax2 + bx + c A determina¸c˜ao das constantes A e B ´e an´aloga ao que fizemos anteriormente (escrever a soma de fra¸c˜oes parciais, reduzir ao mesmo denominador, para determinar as constantes,comparando o numerador obtido com as constantes e o numerador da fra¸c˜ao original). Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominador Quadr´atico (3o Caso) (3) Q ´e irredut´ıvel: Se o denominador tiver um fator da forma ax2 + bx + c, com b2 − 4ac < 0, ent˜ao a esse fator corresponder´a uma fra¸c˜ao da forma Ax + B ax2 + bx + c A determina¸c˜ao das constantes A e B ´e an´aloga ao que fizemos anteriormente (escrever a soma de fra¸c˜oes parciais, reduzir ao mesmo denominador, para determinar as constantes, comparando o numerador obtido com as constantes e o numerador da fra¸c˜ao original). Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Denominador Quadr´atico (3o Caso) (3) Q ´e irredut´ıvel: Se o denominador tiver um fator da forma ax2 + bx + c, com b2 − 4ac < 0, ent˜ao a esse fator corresponder´a uma fra¸c˜ao da forma Ax + B ax2 + bx + c A determina¸c˜ao das constantes A e B ´e an´aloga ao que fizemos anteriormente (escrever a soma de fra¸c˜oes parciais, reduzir ao mesmo denominador, para determinar as constantes,comparando o numerador obtido com as constantes e o numerador da fra¸c˜ao original). Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Por exemplo, a fra¸c˜ao x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) deve ser escrita como x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A x − 3 + Bx + C x2 − 2x + 3 Reduzindo ao mesmo denominador, temos x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) (x − 3)(x2 − 2x + 3) Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim sendo, temos x2 − 2x − 9 = A(x2 − 2x + 3) + (Bx + C)(x − 3) Fazendo x = 3, temos 9 − 6 − 9 = A · 6 + (B · 0 + C) · 0 e ent˜ao A = −1 Reescrevendo a express˜ao, temos x2 − 2x − 9 = (B − 1)x2 + (C + 2 − 3B)x + (−3C − 3) Da´ı encontramos B = 2, C = −2 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim, x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = −1 x − 3 + 2x − 2 x2 − 2x + 3 A quest˜ao que resta responder ´e: como calcular a integral de uma express˜ao racional, onde o denominador seja de segundo grau irredut´ıvel? Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim, x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = −1 x − 3 + 2x − 2 x2 − 2x + 3 A quest˜ao que resta responder ´e: como calcular a integral de uma express˜ao racional, onde o denominador seja de segundo grau irredut´ıvel? Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim, x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = −1 x − 3 + 2x − 2 x2 − 2x + 3 A quest˜ao que resta responder ´e: como calcular a integral de uma express˜ao racional, onde o denominador seja de segundo grau irredut´ıvel? Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim, x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = −1 x − 3 + 2x − 2 x2 − 2x + 3 A quest˜ao que resta responder ´e: como calcular a integral de uma express˜ao racional, onde o denominador seja de segundo grau irredut´ıvel? Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Assim, x2 − 2x − 9 (x − 3)(x2 − 2x + 3) = −1 x − 3 + 2x − 2 x2 − 2x + 3 A quest˜ao que resta responder ´e: como calcular a integral de uma express˜ao racional, onde o denominador seja de segundo grau irredut´ıvel? Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x — p)? +r) =at+r, Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x — p)? +r) =at+r, ondet=x-—p Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x — p)? +r) =at+r, ondet=x-—p Na fracgao do exemplo anterior podemos escrever Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x — p)? +r) =at+r, ondet=x-—p Na fracgao do exemplo anterior podemos escrever 2 _ x* —2x+3 = Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x— p)? +r) =at+r, ondet=x-—p Na fracgao do exemplo anterior podemos escrever 2 _ 2 x* —2x+3 = (x-1)°4+2, Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x— p)? +r) =at+r, ondet=x-—p Na fracgao do exemplo anterior podemos escrever 2 _ 2 x* —2x+3 = (x-1)°4+2, e fazer t= x —1, Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x — p)? +r) =at+r, ondet=x-—p Na fracgao do exemplo anterior podemos escrever 2 _ 2 x* —2x+3 = (x-1)°4+2, e fazer t= x — 1, tendo a integral Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x — p)? +r) =at+r, ondet=x-—p Na fracgao do exemplo anterior podemos escrever 2 _ 2 x* —2x+3 = (x-1)°4+2, e fazer t= x — 1, tendo a integral x? — 2x —9 a a X= (x — 3)(x? — 2x + 3) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x— p)? +r) =at+r, ondet=x-—p Na fracgao do exemplo anterior podemos escrever 2 _ 2 x* —2x+3 = (x-1)°4+2, e fazer t= x — 1, tendo a integral 2 x* — 2x —9 —l [eo en = [he (x — 3)(x? — 2x + 3) x—3 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Completando quadrados Neste caso completamos quadrados, para podermos fazer em seguida uma mudan¢a de variaveis: Q(x) = ax? + bx +c = a((x — p)? +r) =at+r, ondet=x-—p Na fracgao do exemplo anterior podemos escrever 2 _ 2 x* —2x+3 = (x-1)°4+2, e fazer t= x — 1, tendo a integral 2 x* — 2x —9 —l 2x —2 > xk = —dx + >. dx lass ls less Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Entao «O> «<ffr «Bre B = NAQ Alexandre Federici «= Calcul 1 Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Entao 2x —2 d SOX x2 —2x4+3 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Entao 2x —2 2(t+1)+-2 nox = | py Ht x* —2x4+3 t“+2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Entao 9 2(t +1) 5 xX — t+1)+—- sox =f Sat x* —2x4+3 t-+2 2t = | aypot t“+2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Entao 9 o(t+1 5 xX — t+1l)+— ox a = eat x* —2x4+3 t-+2 2t = | —~at / t2 +2 que pode ser resolvida usando o método da substituicdo, fazendo u = t? +2 e du = 2tdt.Assim, 2t = ———dt = / t? +2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Entao 5 5 5 1 5 xX — t+1l)+— tend AbH I+ Dy x* —2x4+3 t-+2 2t = | =—<dt / t? +2 que pode ser resolvida usando o método da substituicdo, fazendo u = t? +2 e du = 2tdt.Assim, 2t 1 = —— dt = —du = / t?242 / u Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Entao 5 5 o(t+1 5 xX — t+1l)+— dx = ee Dt x* —2x+3 t“+2 2t = | =—<dt / t2 +2 que pode ser resolvida usando o método da substituicdo, fazendo u = t? +2 e du = 2tdt.Assim, 2t 1 = /=—<dt = —du = Inju|+k / t?242 / u jul Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Entao 5 5 5 1 5 xX — t _ / 2x2 / t+ 1) +-2 4, x? —2x+3 t?242 2t = | —~at / t?42 que pode ser resolvida usando o método da substituicdo, fazendo u = t? +2 e du = 2tdt.Assim, 2t 1 = | =—dt = —du = | k / t?242 / u “ nul + = In(t?+2)+k = Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Entao 5 5 5 1 5 — t — / 2x2 8 / et +2, x? —2x+3 t?242 2t = | —~at / t?42 que pode ser resolvida usando o método da substituicdo, fazendo u = t? +2 e du = 2tdt.Assim, 2t 1 = In(t?+2)+k = In((x—1)?+2)+k Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 7 1 Para calcularmos | ——————~ax, 2 x*— 2x42 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 7 1 Para calcularmos | —— ~——>dx, observamos que x* —2x+2 2 _ x°—-2x4+2 = Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 7 1 Para calcularmos | —— ~——>dx, observamos que x* —2x+2 2 _ 2 _ x*— 2x42 = (x*—2x+1)4+2-1 = Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 7 1 Para calcularmos | —— ~——>dx, observamos que x* —2x+2 2 _ 2 _ x*— 2x42 = (x*—2x+1)4+2-1 = Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 7 1 Para calcularmos | —— ~——>dx, observamos que x* —2x+2 2 _ 2 _ 2 x© —2x4+2 = (x* —2x+1)4+2-1 = (x-1)°4+1. Se u = x — 1, entao 1 >— dx = / x2 — 2x +2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 7 1 Para calcularmos | —— ~——>dx, observamos que x* —2x+2 2 _ 2 _ 2 x© —2x4+2 = (x* —2x+1)4+2-1 = (x-1)°4+1. Se u = x — 1, entao 1 1 —>— ax = | = du = lees lea Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 7 1 Para calcularmos | —— ~——>dx, observamos que x* —2x+2 2 _ 2 _ 2 x — 2x2 = (x*—2x+1)4+2-1 = (x-1)°+1. Se u = x — 1, entao 1 d . d tan(u)+k —= or OX +> au =arctan\| u = x? — 2x +2 u2+1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 7 P Icul ! dx, ob ara Calcularmos =r ax, Observamos que x? — 2x +2 4 x? 2x42 = (x*-—2x+1)4+2-1 = (x-1)? 41. Se u = x — 1, entao — gu =arctan(u)-+k =arctan(x—1)+k >a IX +> qu =arctan\| u =arctan\| x — . x? — 2x +2 u2+1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 7 P Icul ! dx, ob ara Calcularmos =r ax, Observamos que x? — 2x +2 4 x? 2x42 = (x*-—2x+1)4+2-1 = (x-1)? 41. Se u = x — 1, entao — gu =arctan(u)-+k =arctan(x—1)+k >a IX +> qu =arctan\| u =arctan\| x — . x? — 2x +2 u2+1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 8 —>———_ dx / x? 4+2x+4 «O> «<ffr «Bre B = NAQ Alexandre Federici = Clculo Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 8 ! d => OX x24+2x+4 observamos que Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 8 1 d. => OX x? 4+2x+4 observamos que 2 _ x°+2x+4= Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 8 1 >—.——_ dx | x? 4+2x+4 observamos que 2 _ 2 _ xo 4+2x+4= (x* + 2x4+1)4+4-1= Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 8 1 >. dx | x? 4+2x+4 observamos que x? 42x +4= (x? 4+2x+1)4+4-1= (x41)? 43. Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 8 1 >. dx | x? 4+2x+4 observamos que x? 42x +4= (x? 4+2x+1)4+4-1= (x41)? 43. Se u=x +1, entao Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 8 1 >. dx | x? 4+2x+4 observamos que x? 42x +4= (x? 4+2x+1)4+4-1= (x41)? 43. Se u=x +1, entao x —— dx = | x2 + 2x +4 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 8 1 > d | x2 42x 44 observamos que x? 42x +4= (x? 4+2x+1)4+4-1= (x41)? 43. Se u=x +1, entao x 1 ——*~ dx = | —-<d l= lea Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 8 1 > d | x2 42x 44 observamos que x? 42x +4= (x? 4+2x+1)4+4-1= (x41)? 43. Se u=x +1, entao x 1 ——*~ dx = | —-<d l= lea 3 1 = v3 arctan () +k. 3 V3 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 9 x me pax 3% 2x~ +4x +3 40> «<@§r«2Ebrod«aeB = DAG Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 9 x me pax 3% 2x* +4x +3 observe que Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Exemplo 9 x me pax 3% 2x* +4x +3 observe que 2 _ 2x°+4x+3= Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fungdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 9 x 5 dx 2x* +4x +3 observe que 2x? +4x+3= 2(x? 4+2x+41)4+3-2= Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 9 x —>————— d / 2x2 +4x4+3 * observe que 2x? +4x +3 = 2(x? 42x41) +3-2= Ax41)? 41. Se u=x +1, entdo x dy = / 2x2 44x 3°" Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 9 x —>————— d / 2x2 +4x4+3 * observe que 2x? +4x +3 = 2(x? 42x41) +3-2= Ax41)? 41. Se u=x +1, entdo x u—1 —~___¢x= | ——d | seve * lara 0 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 9 x —>————— d / 2x2 +4x4+3 * observe que 2x? +4x +3 = 2(x? 42x41) +3-2= Ax41)? 41. Se u=x +1, entdo x u—1 —~___¢x= | ——d | seve * lara 0 1 = =In(2u? +1 i n(2u* + 1) Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 9 x —>————— d / 2x2 +4x4+3 * observe que 2x? +4x +3 = 2(x? 42x41) +3-2= Ax41)? 41. Se u=x +1, entdo x u—1 —~___¢x= | ——d | seve * lara 0 7 (2u? + 1) 1 act (V2u) +k = —In\(2u — —= arctan u 4 va Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 9 x —>————— d / 2x2 +4x4+3 * observe que 2x? +4x +3 = 2(x? 42x41) +3-2= Ax41)? 41. Se u=x +1, entdo x u—1 —~___¢x= | ——d | seve * lara 0 ! In(2u* + 1) } arctan(V/2u) + k = — u - U 4 va = in(2(x + 1)2 +1) — ~~ arctan(V2(x +1)) +k 4 v2 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exemplo 9 x —>————— d / 2x2 +4x4+3 * observe que 2x? +4x +3 = 2(x? 42x41) +3-2= Ax41)? 41. Se u=x +1, entdo x u—1 —~___¢x= | ——d | seve * lara 0 ! In(2u* + 1) } arctan(V/2u) + k = — u - U 4 va = in(2(x + 1)2 +1) — ~~ arctan(V2(x +1)) +k 4 v2 Alexandre Federici Calculo | _ Soni Denominadores Quadraticos Observacées Exercicios Denominador com fatores irredutiveis de 1°e2°graus 3dx _ x4—x3—x4+1 40> «<@§r«2Ebrod«aeB = DAG Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Denominador com fatores irredutiveis de 1°e2°graus 3dx —1 1 x+1 4_ 3 = / + I+ dx = xt — x3 — x41 x—-1l (x-1)?) x*4+x41 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Denominador com fatores irredutiveis de 1°e2°graus 3dx —1 1 x+1 4ux3oeanid = yoni +t Rope + ~axni)*= x4 — x3 —x+1 x-1l (x-1)%) x*+x41 1 x+1 = —In|x—1)—- —— ax | | x—1 + / x2+x+1 Alexandre Federici Calculo | Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Observa¸c˜ao 1 A cada fator irredut´ıvel da forma (ax2 + bx + c)n no quociente corresponde uma soma de fra¸c˜oes da forma A1x + B1 ax2 + bx + c + A2x + B2 (ax2 + bx + c)2 + . . . + Anx + Bn (ax2 + bx + c)n Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Observa¸c˜ao 1 A cada fator irredut´ıvel da forma (ax2 + bx + c)n no quociente corresponde uma soma de fra¸c˜oes da forma A1x + B1 ax2 + bx + c + A2x + B2 (ax2 + bx + c)2 + . . . + Anx + Bn (ax2 + bx + c)n Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Observa¸c˜ao 1 A cada fator irredut´ıvel da forma (ax2 + bx + c)n no quociente corresponde uma soma de fra¸c˜oes da forma A1x + B1 ax2 + bx + c + A2x + B2 (ax2 + bx + c)2 + . . . + Anx + Bn (ax2 + bx + c)n Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Observa¸c˜ao 2 Se o polinˆomio que est´a no quociente da fra¸c˜ao tiver grau maior ou igual a 3, devemos fator´a-lo, escrevendo como o produto de fatores irredut´ıveis. Por´em muitas vezes os fatores obtidos tem grau maior que 2. De forma an´aloga ao que fizemos para denominadores irredut´ıveis de grau 2, a cada quociente irredut´ıvel da forma anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 corresponder´a uma fra¸c˜ao da forma An−1x−1n + An−2xn−2 + . . . + A2x2 + A1x + A0 anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Observa¸c˜ao 2 Se o polinˆomio que est´a no quociente da fra¸c˜ao tiver grau maior ou igual a 3, devemos fator´a-lo, escrevendo como o produto de fatores irredut´ıveis. Por´em muitas vezes os fatores obtidos tem grau maior que 2. De forma an´aloga ao que fizemos para denominadores irredut´ıveis de grau 2, a cada quociente irredut´ıvel da forma anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 corresponder´a uma fra¸c˜ao da forma An−1x−1n + An−2xn−2 + . . . + A2x2 + A1x + A0 anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¸c˜oes Racionais Denominadores Quadr´aticos Observa¸c˜oes Exerc´ıcios Observa¸c˜ao 2 Se o polinˆomio que est´a no quociente da fra¸c˜ao tiver grau maior ou igual a 3, devemos fator´a-lo, escrevendo como o produto de fatores irredut´ıveis. Por´em muitas vezes os fatores obtidos tem grau maior que 2. De forma an´aloga ao que fizemos para denominadores irredut´ıveis de grau 2, a cada quociente irredut´ıvel da forma anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 corresponder´a uma fra¸c˜ao da forma An−1x−1n + An−2xn−2 + . . . + A2x2 + A1x + A0 anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 Alexandre Federici C´alculo I Primitivas de Fun¢gdes Racionais Denominadores Quadraticos Observac¢ées Exercicios Exercicios Resolva as seguintes integrais pelo método das fracGes parciais: (x + 1)dx / dx _e ray b) | —*— (2) [ (x — 1)2(x — 2) (5) | a4 3x (c) x? dx (d) / dx Cc —— —— x2 +x —6 16x* — 8x2 +1 (e) / dx (d) / e* dx e —_—____. ee 16x* — 1 (e* +1)? Alexandre Federici Calculo |