Lista 3 - Transformada de Laplace e Sistemas Diferenciais - 2023-2

Lista 3 de EDA Transformadas de Laplace e sistemas diferenciais Contetido 3.1 Transformadas de Laplace............ 02. c eee eer ceeeee I 3.1.1 Tabela de transformadas deLaplace................... 1 3.1.2 Tabela de propriedades de natureza geral................ #1 3.2 Sistemas diferenciais ........... 02. ee ee eee eee eee eee SB 3.1 Transformadas de Laplace 3.1.1 Tabela de transformadas de Laplace +00 Tabela de Transformadas de Laplace F(s) = Z{f(f)}(s) = [ exp(—st) f(0) dt 0 f(t) Fs) | Ft) FG) | Ft F(s) ! 1. 1 | 2. ¢” * 3. tP Mp+)) S gNtl spt] 4 (at) + 5 (bt) — 6 (bt) Pb . exp(a soa . COs ae . sen ae Ss b 1 7. cosh(bt) Zope | 8. senh(bt) Zope | 9. u(t—a) ; exp(—as) 10. <d(ft) 1 | ll. 6(t-a exp(—as) | 12. f(Hd(t-a) f(@ exp(—as) n! b 1 b n -1l{2 = 13. exp(at)t Goal | 14. tan ( -} ; sen(bt) | 15. exp(at)sen(bt) Goa2e ee 16 tcos(bt) oe | 17. ¢ (bt) 2s _ | 18 (at) (bt) S74 . cos (a ep . tsen (a ep . exp(at) cos Gow2se 3.1.2 Tabela de propriedades de natureza geral Propriedades de natureza geral l Pp 1. Lay fi(t) + a fo(t)}(s) = a Fy (s) + a2 Fo(s) 2, Li foer(f)}(s) = =r | exp(—St) fper(t) dt 1—exp(—ps) Jo 3. Liexp(t+at)f(H} = F(s—a) 4. Liexp(—at) f(H} = F(st+a) 5. Li{f(at)}(s) = (1/a)F(s/a) 6. LA{f'(H}(s) = sF(s)— f (0) 7. Lf" (is) = s?F(s)— sf) - f'(0) 8. LIF" (Os) = 8 F(s) — 8° f(0) — sf’) - f" 0) 9. Li{f(t-a)u(t— a} =exp(—as)F(s) 10. Li{f(t+au(t+ a} =exp(+as)F(s) t 1] t l1. if f@ drh(s) = = F(s) 12. if f(t-n)g() dth(s) = F(s)G(s) 13. Lit" f(H}(s) = (-)"—IF(s)] | 14, {V9 -|[ F(o) do ds” t s Definigao 3.1.1 Considere-se uma fungao f: [0, +co) — R continua por partes e com cres- cimento de ordem exponencial. A transformada de Laplace de f avaliada em um ponto 1 Capitulo 3. Lista 3 de EDA— 2013/2 3.1. Transformadas de Laplace 2 seRouseC é definida por +00 Lf (O}(s) =| exp(—st) f()dt. 0 Observagao 3.1.2 Uma integral da espécie que define a transformada de Laplace é deno- minada integral impropria pois o intervalo de integracdo estende-se até o infinito positivo. Calcula-se esse tipo de integral através do limite +00 R [ exp(—st) f(t) dt:= lim [ exp(—st) f(0 dt 0 R-+o00J0 e diz-se que a integral a esquerda da igualdade converge relativamente a um valor s € R ou s€Cse, esomente se, existe o limite a direita da igualdade. Exercicios sugeridos desta secao (x): 1.5, 1.8, 2.4, 2.6, 2.7, 3.5, 3.7, 3.9 Exercicio 1 Calcular as transformadas de Laplace das fung6es indicadas. 1.1 f(t) = t*sen(t). +1, 0<t<l 1.2 f(@) =P exp(2n). * 1.8 f[@= -l, 1<t<2 1.3 f(t) =46(t-2). f(t-2), 2<t. 14 f(t)=sen@(t-l)u(t-D. +2, O<t<3 t 1.9 f= 40, 3<ft<4 * 1.5 Fy = en Mo t f(t-4), 4<t. t)-1 1.6 fy = PO exp(t), O<t<2 t 1.10 f(t)= 2), 2<t - <t. 4, O<t<2 f , 17 fm=412-4t, 2<t<4 t—8, 4<t. Exercicio 2 Calcular as transformadas inversas de Laplace das funcées indicadas. 8s" 45412 2.3 3 2.1 F(s)= ea 2.5 F(s)= 5 + 2 OPS) - 2 OPS). 25-3 _ C-—exp(—2s))(1+ exp(—4s)) 2.2 F(s)= > —— . . * 2.6 P(s) = > s©+25+10 1 —2exp(—s) + exp(—2 2.3 F(s)= 6s-17 * 2.7 F(s) = LO ZOXPESS) + exp 2s) ° 2 6s49° s(1 — exp(—2s)) 4s* —554+6 2(1—exp(—s)) * 2.4 F(s) = ———,——. 2.8 F(s) = ———_——_.. ‘s) (s + 1)(s* +4) s(1— exp(—3s)) Exercicio 3 (Problemas de valores iniciais) Resolver os problemas de valores iniciais abaixo indicados. dx(t) + 3.1 ——-2x()=4 (teER{); x(0) =1. dt dy + 3.2 ar 12 = ME 4) ue 9) (te Ry); y(0) =0. 3.3 ay 347 —2y=2exp(3t) (teRt); yO)=5, y(0)=7 “dt? ~ dt ” , , d’y dy 3.4 az tea +4y=sen(2t) (teR*); y)=1, y'(0)=0. 2 0, <0, * 3.5 or +3y=f(O=4t, O<t<a, (teRt); yO=1, y(O=1. mT, Wt. Capitulo 3. Lista 3 de EDA— 2013/2 3.2. Sistemas diferenciais 3 3.6 FY WY sy a(t —5) (teRt); y(0)=0, y'(0)=0 ~ dt dt , d’y jdy * 3.7 —>+2—+4+5y=6(t-2 te Rt); 0) =0, 'O)=1. dtz dt y=o( ) x) y(0) y (0) d’y dy 3.8 — +4— +3y=26(t-6 teRt); 0) =0, '(0) =2. dtz dt J ( ) +) y(0) y (0) d’y dy *3.9 —+4+2—4+2y=f(t te Rt); 0) =0, '(0) =0. qa) oY fo ( a y(0) y'(0) 3.2 Sistemas diferenciais Exercicios sugeridos desta secao (x): 4.1, 4.3, 4.6, 4.11, 4.15, 5.2, 6.1 Exercicio 4 (Sistemas diferenciais) Resolver os sistemas diferenciais abaixo indicados e classificar 0 ponto de equilibrio. 14) _|t4 —1 Ae 14. }tl +5 *4.1 x (f= i =| x00. n6 prop rep 4.9 x (f)= nA 3 x(t). esp. atr hor +1 0 a, 4.2 x(= | 0 al x(f). nO prop. rep. = 4.10 x'(t)= ie a x(t). nd imp. rep * 4.3 x'(t) = i a x(t). sela 430-1 * 4.11 x'( = ie =] xco, no imp. atr 4.4 x'(t)= 2 0 x(t). n6 prop. atr 0-3 +1 +2 4.12 x'(H= |x, linha rep. —2 0 +4 +8 4.5 x(f= x(t). n6 prop. atr = 0-8 +4 -3 , a) . 4.13 x'(t)= re 3 x(t). linha atr * 4.6 x(t) = ie 73] x(0- esp rep. anti +1 +2 4.14 x'(t)= 5 +2 x(t). centro hor 4.7 x'(H= vi i x(t). esp. rep. hor . “147 -5 . -l -2 +4 -6 J _ . I _ * 4.8 x(H= ss wg |x(0- esp atr anti * 4.15 x (H= ie Eo) centro anti Exercicio 5 (Sistemas diferenciais) Resolver os sistemas diferenciais nao homogéneos abaixo indicados. r_}| 0 -l sen(2t) try _|t4 -2 exp(+1?) 5.1 x(o=| 9 019+] cosan |: «5.2 x(D=| 06 _3/XO +] p|- Exercicio 6 (Problemas de valores iniciais) Resolver os problemas de valores iniciais abaixo indicados que envolvem sistemas diferenciais. dx dy 4 * 6.1 ar 12 = expC, ar 2 7 OxPGID (t ER); x(0)=0, y(0)=0. dx dy 4 6.2 ar =+4x+y—36t, ar =-2x+y-2exp(t+lf) (te RZ); x(0)=0, y(0)=1. Respostas, solucdes, sugest6es 1 —2exp(-s) + exp(-2 1.8. Resposta: F(s) = Lo 2exp(=s) + exp 25) s(1+exp(—s)) 1.1. Solugdo: Usar a propriedade de natureza geral 2(1 — exp(—3s)) da” 1.9. Resposta: F(s) = ———————., Lit" OMS) =D" FGF s(1—exp(—4s)) s juntamente com a tabela da transformada de Laplace da fungao seno. 1.10. Resposta: F(s) = exp(+2s) — exp(2) (s—1)(exp(+2s) —-1) R ta: Fis) = 6s -2 esposta: F(s) = (s2 + 1)° . 2.1. Solucao: Usar a decomposicao em fracées parciais Fis 8s? —45+12 6 = —T244) 1.2. Resposta: F(s) = —r' s(s* +4) (s—2) 5s-4 3 1.3. R F 2 ca 3. ta: =4 —2s). esposta: F(s) = 4exp(~2s) juntamente com as tabelas das transformadas de Laplace das fung6es cos- 3 seno, seno e constante. 1.4. Resposta: F(s) = =— exp(-s). s? +3? Resposta: f(t) = 5cos(2t) —2sen(2f) +3. 1.5. Solucao: Antes de usar a tabela de transformadas de Laplace para uma 5 funcao genérica dividida pela primeira poténcia da varidvel temporal 6 ne- 2.2, Resposta: f(t) = 2exp(—11) cos(3#) — ~ exp(—12) sen(32). cessario verificar o limite 3 lim sen(t) =lim cos(t) =1. 2.3. Solugao: Usar a decomposigao em fragoes parciais to «oft 0 1 6s-17 Portanto, como o limite existe, pode-se usar a propriedade de natureza geral F(s)= 6549 ( t) +00 g{ Mh [ F(a) do ~§ , 1 t s s-3 (s—3)% juntamente com a tabelas das transformadas de Laplace da fungao exponen- _jyntamente comas tabelas das transformadas de Laplace das funcdes potén- cial e da fungao constante. Os detalhes sao os seguintes, cia e o primeiro teorema do deslocamento. sen(f) _ +00 4 2{ t his “Js Zisen(H}(o) do Resposta: f(t) = 6exp(3t) + texp(32). too] +00 = [ Stal do =tan™! co 2.4. Solucao: Usar a decomposicao em fracées parciais o*+ 7: . F(s) = 4s*-5s+6 = 5 ~tan™'(s) =cot™'(s) v= (s+ 1)(s2 +4) 3 s—6 1 = _ -1 = — + —_ =tan (=): stl s*4+4 3 s 2 =——+—— -3—— ; sen(f) yl st] s24+4 © 5244 Resposta: 2 { t his) = tan (<). juntamente com as tabelas das transformadas de Laplace das fung6es cos- seno, seno e constante. 1.6. Solucgao: Antes de usar a tabela de transformadas de Laplace para uma funcao genérica dividida pela primeira poténcia da varidvel temporal é ne-_ Resposta: f(t) = 3exp(—12) + cos(2t) —3sen(2?). cessario verificar o limite lim exp(f) — 1 = lim exp(f) =1 2.5. Resposta: t0 t 0 1 f() =24+3(t-Du(t-1)-3(t-3)u(t-3) Portanto, como o limite existe, pode-se usar a propriedade de natureza geral 2 O<r<l f oo _ 2{-“\iy= | F@)do ={3r-1, 1<r<3 t s juntamente com as tabelas das transformadas de Laplace da funcao expo- 8, 3<t. nencial e da funcdo constante. Os detalhes sao os seguintes, 2 exp(f) —1 \is) _ [200 ~ (0) do 2.6. Solucao: Escrever a funcao na forma t s (1—exp(—2s)) (1 + exp(—4s)) +00, | 1 +00 F(s) = TT Oo? -/ (— -—}do = (Inlo-1\-In\01) s 5 o-l oa 5 1 1 1 1 = 3 — wz exp(-2s) + = exp(-4s) — = exp(-6s) o-1)|*? s-l ss s s = (In | a | =In|1|-In | ~. | e usar as tabelas de transformadas de Laplace. Ss = n(— ). Resposta: s- f(O = tu(t - (t-2)u(t-2) + (t-4u(t—4) -— (t-6)u(t-6) H-1 Resposta: {PO} =In(—}. t, O<ts2 f s~ 2, 2<t<4 1.7. Solucgdo: Escrever a func¢éo com o auxilio da fungao degrau unitdrio ~)t-2 4<t<6 (fungao de Heaviside), 4 6<t f(0) =4u(f) —-4(t-2)u(t- 2) +5(t-4u(t-4) e utilizar as tabelas de transformadas de Laplace. 2.7. Solucdo: Escrever a funcdo na forma 8 4 5 F(s)= 1 —2exp(—s) + exp(—2s) Resposta: F(s) = a exp(—2s) + Zz exp(—4s). (s) = s(l ~exp(-25)) 4 1 _ ey. == (1-2exp(—s) + exp(—2s)) (1 — exp(-2s)) 1 Problema de valor inicial: Problema Algébrico l dy zL [sY(s) — y(0)] + Y(s) = —(1-2exp(—s) + exp(—2s)) an (YO= u(t—2)-—u(t—5) _ exp(—2s) _ exp(—5s) s y(0) =0 s s x (1+ exp(—2s) + exp(—4s) + exp(—6s) + ---) | 1 = —(1—2exp(—s) + 2exp(—2s) — 2exp(—3s) + 2exp(—4s) 5 Resol. do PVI Resol. do —2exp(—5s) +2exp(—6s) —---) (EDO+C) ! Prob. Alg. 1 2 2 2 2 | = ———exp(—s) + — exp(—2s) — — exp(—3s) + — exp(—4s) | ‘° . . . Y Solucgao do 2 2 = -F exp(—5s) + 5 exp(—6s)—---. so seD gl Problema Algébrico < Y(s)=F -2 Através das tabelas de transformadas de Laplace, y( i (t f S in S Or s) St oe s); 9 —f(t-—5)u(t- , f(t) = u(t) - 2u(t- 1) +2u(t-2) —2u(t-3) + 2u(t-4) f(t) =1—exp(—1) rt) -t- —2u(t-—5)+2u(t—6)—---- S stl +1, O<t<l = {- 1l<t<2 1.0 + _ — fi) jd) 2 : =F] SH 06 4 = Soa ~ 2.8. Resposta: f(t) =2u(t) —2u(t—1) + 2u(t-3) —2u(t-4) + 2u(t—6) —2u(t-7) +++ 8 " +2, O0<t<l 0.05 i < < - a = { 1<t<3 t f(t-3) 3<t. 3.3. Resposta: y(t) = 2exp(3f) + 4exp(f). 3.4. Resposta: 1. : = -2. 1 7 3 7 3.1. Resposta: x(t) = 3exp(2tf) — 2 y(t) = — 5 cos(21) + , exp(-5 ‘) cos( + vi [-24}sen(%2 t) 2 Plog 2) 3.2. Resposta: y(t) = (1 — exp(—(t — 2))u(t— 2) — (1—exp(-(t- 5)))u(t—5). 1.0 + Para resolver esse PVI aplica-se o método de transformadas de Laplace. O resultado é os : 1 1 [sY(s) + y(0)] + Y(x) = — exp(—2s) — — exp(—5s); > Ss s S 0.0) \ apos a substituigao da condicao inicial e de manipulacoées algébricas ele- <& mentares, obtém-se - ¥()=— (-23)-— (5s) “ — ho) OF St Pe) sey PS — yt) = F(s) exp(—2s) — F(s) exp(—5s) 9 2 4 : 8 10 12 1 em que F(s) = ———.. Para calcular a transformada inversa Laplace de F, s(s+) 3.5. Resposta: reescrevemos a funcao na forma sO KESP . 1 1 1 y(t) = t+cos(t) — (t—m)u(t—m) +sen(t—m)u(t—7) F(s) = ——~ =--—; S(st]1) s stl _ | t+cos(t), O0<t<na, logo, ~ )at cos(t)—sen(t), m<t. 1 1 1 ~ g-lft. _~g-lft _g-l _q_ _ fD=2 Lahr? {=} g {fos exp(-2). . — f(t) Consequentemente, 44] — y(t) - y(t) = LY (S)}() = LY{F(s) exp(-2s) — F(s) exp(-5s)} (0) a; : = £'{F(s)exp(—25)}(t) - LZ! {F(s) exp(—55)}(0) s = f(t)u(t—2) — f(t—5)u(t—5) =? - = (1-exp(—(t—2)))u(t- 2) - (1 -exp(-(t-5)))u(t—5) 1 { 0, 0<t<2; ol 0 2 4 6 8 10 12 = 4 1-exp(-(t-2)), 2<t<5; t {1 —exp(—(t— 2))]-[1-exp(-(t-5))], 5st. 3.6. Resposta: O diagrama a seguir é uma sintese da resolugao do problema de valor inicial 2 ] VI5 como aplicagao da transformada de Laplace. yO = Vis exp(- 4 (t- 5) sen| 7 (t- 5) u(t—5) 5 \. O<t<5, plt.plot(t,solucao(t) ,color=’darkblue’, lw=2,label="$y( = 1 V5 t)$") exp( ra 5)) sen 4 (t 5), ot. plt.xlabel(r"$t$",fontsize=20) plt.ylabel (r"$y(t)$",fontsize=20) O diagrama a seguir é uma sintese da resolugao do problema de valor inicial plt.legend(loc="best" , fontsize=20) como aplicacao da transformada de Laplace. Problema de valor inicial: Problema Algébrico plt.savefig("pvi_tl_3 —-2.pdf") g 2 _ “oy plt .show() d’y dy _* _ 2[s°¥(s)— sy(0)— y'(0)] ees 2a tap teu = 8E-5) +sY(s)— y(0) + Y(s) y(0) =0; y/(0) =0 = exp(—5s) | 0.30 Y : ql Y 4 | 0.25 — d(t-2) |. | — yt) | Resol. do PVI Resol. do 0.20 (EDO+CI) | Prob. Alg. 015 | | = 0.10 ~ Y i Solucao do PVI fs ” (EDO+CI) Solugao do 0.00 (2) 2 ve) GZ Problema Algébrico ~0.05! : y(t) = == exp|- —— ] ——— 7(s) = F(s) exp(—25); vis 4 F P 70-205 2 4 6 8 10 15(t-5 3s) =—— t xsen( 0) ur) (s} 2s27 +542 3.8. Resposta: y(t) = exp(—1t) — exp(—32) + [exp(—(t — 6)) — exp(—3(t — 6))]u(t—6) 0.8 ‘ ‘ : + _ Jexp(-f) —exp(-30), 0<t<6, 06 =] ~ exp(—f) — exp(—31f) + exp(—(t — 6)) —exp(—3(t—-6)), 6<t. — y(t) 0.4 ¥ < 1.0, 4 ~ 0.2) < 0.0 = 0.5 . -0.2 “ oa ~0.4| L i 4 s 0.0) 2 0.865 5 10 15 20 - ‘ “ — 1] — y(t) 3.7. Resposta: -10 [————+ l l 0 2 4 t 8 10 12 y(t) = 3 exp(—f)sen(2t) + 2 exp(—(t— 2)) sen(2(t— 2)) u(t — 2) 1 : * exp(—2) sen(2f), 0<t<2, 3.9. Resposta: = 1 = _ _ +5 exp(-)sen(21) + 5 exp(-(t—2))sen(2(r—2)), 21. yO) -|[ f(t— 1) exp(—1) sen(t) dr. Em particular, se f(t) = exp(2t) entao Listagem 3.1: Codigo Python para esbogar a solugao do PVI x(t) =- a exp(—1£) cos(t) — exp(—2) sen(t) + a exp(20). import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt 4.1. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema # Definicao da funcao de Heaviside (degrau unitario) homogéneo associado sao def heaviside(t): turn .5*(np.sign(t)+1.) A, =+3, v= +1). Az2=+2, wo= + re . p.sig . 1 » ME] af 2 » V2=! 5]. # Definicao da solucao do PVI Os autovalores sao reais, distintos e ambos positivos; as diregdes dos auto- def solucao(t): vetores associados indicam os subespacos invariantes, ambas repulsoras; as return .5*np.exp(—1+t) «np. sin(2«t) \ trajet6rias sao assintoticamente instaveis. A solucao geral do sistema é +0.5*np.exp(—1*(t—2))*np. sin (2*(t—2)) *heaviside (t t +1 +1 ") Pt (2) snp (era) x(t) = ea = cvexp(+30)] "| + cxexpcvzn [3]. O ponto de equilibrio é um n6 proprio repulsor (assintoticamente instavel). # Vetor dos pontos para esbocar o grafico da solucao t= li 0,10,201 * as ~ . : . np. Hinspace ( ) Listagem 3.2: Codigo Python para a solugao do sistema diferencial # Criacao da figura from sympy import symbols, Eq, Function fig, ax = plt.subplots(figsize =(8,5) ) from sympy. solvers.ode.systems import dsolve_system plt.quiver({2], [0], [0], [.25], angles=’xy’, scale_units=’xy’,color=’r’, scale=2) xX, y = symbols("x y", cls=Function) ax.spines[’top’].set_visible (False) t = symbols("t") ax.spines[’right’].set_visible (False) ax.spines[’bottom’].set_visible (True) # Definicao da matriz do sistema diferencial ax.spines[’left’].set_visible (True) a= +4.0; b = -1.0 ax. grid(color=’k’) c = +2.0; d = +1.0 plt.plot({2,2],[0,0.1],’r—’ ,lw=1, label="$\ delta (t—2)$") 6 # Definicao das equacoes do sistema diferencial yoo | equacoes = [Eq(x(t).diff(t), a*x(t)+b*y(t)), —— no proprio repu Sor : Eq(y(t). diff(t), c*x(t)+d*y(t))] - | ] , # Solucao do sistema diferencial solucao = dsolve_system (equacoes) 0.5 x_sol = solucao [0] [0] — y_sol = solucao[0][1] A, display(x_sol); display (y_sol) 0.0 -0.5 ff % “4 Resultado da solucao do sistema diferencial através do cédigo Python: x(t) = 0.5C) e+ 1.0C,¢%! hp -1.0 —— y(t) = 1.0C, e?" + 1.0C,e2". t -4 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x(t) = i ofc. Resultado da solucao do sistema diferencial através do codigo Wolfram: solve {x?(t)=+4x(t)-ly(t), y? (t)=+2x(t)+1y(t)} x(1) = cye""(2e' — 1) —me*(e' -1) y(t) = 2c, e7' (e' — 1) — cge*"“(e" — 2) 4.2. Resposta: Os autovalores sdo reais, repetidos e com sinais positivos, Ay =+l1. Qualquer vetor é autovetor; logo, qualquer diregao é invariante, sempre re- pulsora; as trajetorias sAo retilineas e assintoticamente instaveis. A solugao Listagem 3.3: Codigo Python para os retratos de fase geral do sistema é a ing: ~8 —x— t +1 0 # *— coding: utf-8 —* x(t) = if 1 =c, exp(+1f) | +c2exp(+12) |. import numpy as np yO 0 +1 from scipy.integrate import odeint O ponto de equilibrio é um né proprio repulsor (assintoticamente instavel). import matplotlib.pyplot as plt # Definicao da matriz do sistema diferencial Lo no préprio repulsor a = +4.0; b = -1.0 N \ ) c = +2.0; d = +1.0 \ ht A / Kh A def f(x, y, t): » ‘ 4/4 4 return a*xtb+y, c*x+d+y 0.5F WOK AAY \\ ‘ld /a Zz # Criacao da grade de pontos. = ~ * . Br t = np.linspace(-1.0, +1.0, 26) > NNT 4 > x, y = np.meshgrid(t, t) 0.0 = : acs # Geracao do campo vetorial nos pontos da grade. _— We < dx, dy = f(x, » t =< Be vy} \s KX y y —0.5 Zo ty y # Criacao da figura. 0 Hey x fig, ax = plt.subplots(figsize=(5,5)) 8 p p & yial\y \ -1.0. # Campo vetorial 1 0 —1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 ax.quiver( x[::2,::2], yli:2,::2], x (= ohfxco. dx[::2,::2], dy[::2 ,::2]) # Trajetorias (orbitas) do retrato de fase ax.streamplot(x, y, dx, dy, color=’ olivedrab’ , linewidth=2) # Subespacos invariantes (autoespacos) 4.3. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema plt.plot({+1,-1],[+1,-1], homogéneo associado sao *darkgreen’ , linewidth =3) 41 41 pit. plot([+1./2.,-1./2.],[+1,-1], A, = +4, v= [ff Az = -2, ve=[*i]. *darkgreen’ , linewidth =3) Os autovalores sao reais, distintos e com sinais opostos; as direg6es dos auto- plt.title(u"no proprio repulsor") vetores associados indicam os subespacos invariantes, uma atratora e outra pit. savefig("retrato001.pdf") repulsora; as trajet6rias nao sao assintoticamente instaveis e nem instaveis. plt .show() A solucao geral do sistema é a _ [xO] _ +1 +1 x(t) = rin = c, exp(+4f) ] C2 exp(—21f) ) : O ponto de equilibrio é uma sela (nao assintoticamente estavel nem insta- vel). 7 Lo sela sp 10 no proprio atrator SEZ \N AA y N \ -/Y \ Z \ 05 ) osMOXS \\ Wb) i/ “AA DMA YK Ir Te | j Y ~ ~ 4 ‘ > EX. 0.0 0.0 _ . — - ae xy 4 » \ -0.5 —-0.54 LM 4 Ss A ty) aL » NS . fat) dh\ N \\N —1.0 = -1.0 é 1 3 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 2 0 —1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 ! _|t + ! _|_ x(H= KS Hx. x(H= 0 xo. 4.6. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema sao . -14+3i . -1-3i 4.4. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema A =2+3i, v= 5 , Ag =2—3i, vo= 5 | , homogéneo associado sao Os autovalores sao complexos conjugados; os autovetores também sao com- +1 0 plexos conjugados; nao existem direg6es invariantes. A solucao geral do sis- A, =-2, Vv= ) A2 = -3, V2 = . 4 0 +1 tema é Os autovalores sao reais, distintos, ambos negativos; as direcdes dos autove- x(f) = ea = cexp(2t) cos(3 1) | tores associados a cada um dos autovalores sao atratoras; as trajet6rias sao y(t) —(1/2) cos(3t) + (3/2) sen) assintoticamente estaveis. A solucdo geral do sistema é sen(32) + c2 exp(2f) . x(t) +1 0 —(3/2) cos(3t) — (1/2) sen(3 0) x(t) = = c, exp(—21) c2 exp(—3f) : yD 0 +1 O ponto de equilibrio é uma espiral repulsora (assintoticamente instavel). O ponto de equilibrio é um né6 proprio atrator (assintoticamente estavel). Lo espiral repulsora Lo No proprio atrator ae , « +N ‘ \ " K \ lave ¥ \ i 0.5 / »\ MN t 0.5 t } / ir / | t/} 0.0 , 4 00 : lt fap fa } { | w\ \s “a J 4 ft 7 -0.5 { . = MA -0.5074 \ \ SS ~ LL; J ; NIWA SSE \ > V -1ol) \ \ —| i | \ -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -1.0 4 +1 -2 -10 -0.5 0.0 0.5 10 x(H= x(t) (f= -2 0 () +5 +3 X(H=] 9 _3|x0. 4.7. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema sao . +1 . +1 A, =34+2i, w= [ria]) Azo =3-2i, v= [714 4.5. Resposta: Os autovalores sAo reais, repetidos e com sinais negativos, Os autovalores sio complexos conjugados; os autovetores também sao com- Ay =-2. plexos conjugados; nao existem direg6es invariantes. A solucao geral do sis- Qualquer vetor é autovetor; logo, qualquer direcdo é invariante, sempre atra- temae tora; as trajetorias sao retilineas e assintoticamente estaveis. A solugao geral x(t) = |? Al =c, exp(20) cos(3) | do sistema é y(t) —(1/2) cos(3t) + (3/2) sen(3t) _ [x] _ +1 0 sen(3f) x(t) = rol = c, exp(—21) a + co exp(—2f) .] : + c2 exp(2t) | -ta/2) costa (1/2) senta0)| . O ponto de equilibrio é um né6 proprio atrator (assintoticamente estavel). O ponto de equilibrio é uma espiral repulsora (assintoticamente instavel). 8 . homogéneo associado sao espiral repulsora 1.0) 7 FIZ . -2-i . -2-i f | A, =-lt+i, w= 1 ; A2=-1-i, we 1 . / 1 4 Vf ume t 4 Os autovalores sao complexos conjugados (com parte real negativa); os au- ost 4 f tovetores também sao complexos conjugados; nao existem direc6es invari- / ~ antes; o ponto de equilibrio é atrator; trajetdrias sao espirais que convergem 4 fel so \ para a origem (assintoticamente estaveis). A solucdo geral do sistema é t A ‘ y WV Vay x(t) +c, cos(t) + co sen(f) t= = -t : 0.0 \ r X\ 47) )\)\) + \\ x(0) ea exp( | on cninennto te +2c2) sen(t) ~ XN yl yt de O ponto de equilibrio é uma espiral atratora (assintoticamente estavel). S ar d'ly -0.5 “a . 4 y Lo espiral atratora = Z y | | SV QR?e&_ururc SSN EY HLL] S eS -1.0 ’ SS =1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 . \ x (N= +1 +2 x(Z) 0.5 SS SS ~[-4 +5 s x Solucao obtida através do Wolfram Alpha: \ KG ~~ O as solve {x?(t)=1x(t)+2y(t), y? (t)=-4x(t) +5y(t)} POR&XYR < : X(t) = co exp(31t) sen(2f) + c) exp(31)(cos(2f) —sen(2t)) x Yay . y(t) = co exp(312)(sen(21) + cos(2f)) — 2c exp(31) sen(2 ft) -0.5 S ~ > + S x SQ NS 4.8. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema RSs RQ Ss = homogéneo associado sao “1.05 -0.5 0.0 0.5 1.0 t+1+i +1-i x (N= + x(t) A, =-3+2i, “=| 2 |: Az = -3-2i, v= 2 |. ~[-1 -3 . Os autovalores sao complexos conjugados (com parte real negativa); os auto- vetores também sao complexos conjugados; nao existem direg6es invarian- 4,10, Resposta: O autovalor, o correspondente autovetor e o autovetor gene- tes; o ponto de equilibrio é atrator pois as partes reais dos autovalores com- __yalizado do sistema diferencial sdo plexos sao negativas; trajet6rias so espirais que convergem para a origem 4] 0 (assintoticamente estaveis). A solucao geral do sistema é A,=+1, v= al 5 WH al . x(t) = c) exp(-32) Irs ¢ H- ae °) + cexp(-32) [es o+ oe | : Os autovalores sAo reais, repetidos e com sinais positivos; a direcao do tnico cos(2t) sen(21) autovetor indica a direcao do tinico subespac¢o invariante, que é repulsora; O ponto de equilibrio é uma espiral atratora (assintoticamente estavel). as trajet6rias sao assintoticamente instdveis. A solucao geral do sistema é t +1 +1 0 x(t) = rin =c, exp(+1f) al coexp(+10){1 al + 0] \ 10 espiral atratora y h f l Y | tf pe yA O ponto de equilibrio é um no improprio repulsor (assintoticamente insta | vel). | ) ys 0 | , S 5 | | » ye 10 no imprdéprio repulsor | { vf [rif my NX Hf, SN\\ t/ [4/4 WP LO FA 0.0 op} h w\TAUT Ar ga asf ‘ : 0.5 \\, XQ ade dalla \ Mla CA AGF “ ye qt XO df« AE ~ = -0.5 ~ 4 4 f NF ee [ge > 14 4 f t 0.0 ee / ] Uy a = be LLM I | \ 2 1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -o5 ra _|- _ x(H= le v5 x: Solucao obtida através do cédigo Python (biblioteca SymPy): -10 7 U7 X(t) = (0.5C) —0.5C2) e@?"" cos (2.01) — (0.5C + 0.5C2) e~ >" sin (2.02) ‘oo -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x (= x(t). y(t) = 1.0C, e~?" cos (2.01) — 1.0C,e73 sin (2.02) tt) 0 hl () Solucao obtida através do Wolfram Alpha: x(t) =c) ef- 30) (sin(2f) + cos(2f)) — oe! —3t)sin(2t) 4.11. Resposta: O autovalor e 0 correspondente autovetor do sistema sao y(O= 2c,e! —3f)sin(2t) + cel — 3f)(cos(2f) — sin(21t)) A, =-2, w= 7) . Os autovalores sAo reais, repetidos e negativos; o unico autovetor indica a 4.9. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema _ unica direcao invariante; 0 autovetor generalizadoéw=[1 0] TA solucao 9 geral do sistema é homogéneo associado sao x(t) +1 -1 1 +3 +1 x(t) = Fenn] venp(-20)| 5] + coexpt-20 {| 1 |+ [a]: A, =0, w= a): Ag =-2, ve= [2]. O ponto de equilibrio é um no improprio atrator (assintoticamente estavel). Os autovalores sao reais, distintos, um nulo e outro negativo; a direcao do au- tovetor associado ao autovalor negativo é atratora; retas paralelas a essa dire- ; ; ¢ao também sao invariantes (denominadas subespa¢os afins); ha uma linha 1.0 no improprio atrator de pontos de equilibrio, que sao todos atratores e pertencem ao autoespaco \ \N , BAe associado ao autovalor nulo; as trajet6rias sao assintoticamente estaveis. A DNA 4 ta SS solugao geral do sistema é LS » pa _ [x]. [43 on {tl 0.5 \ Y ——— x= | =ar| iy C2 exp(—21) 42" ‘ =—= Os pontos atratores formam uma linha reta que passa pela origem (é 0 su- { ~~ bespago associado ao autovalor nulo) Os pontos de equilibrio sao atratores 0.0 - ~ = 1 (assintoticamente estaveis). x ~ YN SQ linha de atratores 1.0 7 -0.5 Ss S hy Uy = ‘Y ost / -1.0 — a 2 2 A 4 x -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1 [43-1 x(H= -1 x(t) 0.0} 4.12. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema f homogéneo associado sao -0.5 4 +1 —2 A, =9, m=([Ti} A2 =0, ve= [Fi]. Vf Os autovalores sao reais, distintos, um nulo e outro positivo; a direcao do " Hy autovetor associado ao autovalor positivo é atratora; retas paralelas a essa -1.0 4 f /| direcao também sao invariantes (denominadas subespacos afins); ha uma +4. 3 -1.0 -9.5 0.0 0.5 1.0 linha de pontos de equilibrio, que sao todos repulsores e pertencem ao auto- x(t) = +8 “al x(t). espaco associado ao autovalor nulo; as trajet6rias sao assintoticamente ins- taveis. A solucao geral do sistema é x(t) = rol = c, exp(+9t) ea C2 I] . 4.14. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema yO +4 +1 homogéneo associado sao Os pontos repulsores formam uma linha reta que passa pela origem (é 0 su- 5-3; 543i bespaco associado ao autovalor nulo) Os pontos de equilibrio sao repulsores A, =4+3i, w= 17 | ; A2=-3i, Wo= 17 : (assintoticamente instaveis). Os autovalores sao complexos conjugados (com parte real nula); os autove- tores também sao complexos conjugados; nao existem diregées invariantes; 10 linha de repulsores o ponto de equilibrio é nao é atrator nem repulsor pois as partes reais dos , H/ I autovalores complexos sao nulas; as trajetdrias sao elipses percorridas no f sentido hordrio que contornam a origem das coordenadas; as solucGes sao f periddicas (nao assintoticamente estaveis). A solucao geral do sistema é 0.5 () = —5cos(3t) +3sen(3t) + —3cos(3t) —5sen(3t) / MS 17cos(3t) © 17sen@t) O ponto de equilibrio é um centro (estavel mas nao assintoticamente esta- 0.0 | vel). Lo centro -0.5 | / \ | 0.5 -1.0 1 2 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 ri _ {tl + x(H= A ec . 0.0 | Solucao obtida através do Wolfram Alpha: solve {x?(t)=t1x(t)+2y(t), y? (t)=+4x(t)+8y(t)} 1 2 -05 x(Hj= 9 Ci (exP(90) + 8) + 5 ¢2(exp(94) — 1) . \ 4 1 YD) = Fer (exp) — L) + 5 ca(Bexp9t) +) -1.0L.1 ‘ -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1a [+5 +2 4.13. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema * (= -17 -5 x(d). 10 Solucao obtida através do cédigo Python (biblioteca SymPy): solugao geral do sistema homogéneo associado é x(t) = (0.176470588235294C, + 0.294117647058824C») sin (3.08) x,(0 sao : I: cost Le F sent n(t) = =C) 2 — (0.294117647058824C, — 0.176470588235294C») cos (3.02) Yn) +sen(Z) +cos(Z) y(t) = 1.0C; cos (3.02) — 1.0C2 sin (3.02) Uma solucao particular do sistema nao homogéneo é Solucao obtida através do Wolfram Alpha: Xp(t) = Fl = ee cos(2 | . solve {x?(t)=5x(t)+2y(t), y?(t)=-17x(t) -5y(t)} Yp(H}] | +(1/3)sin(22) x(t) = 2/3co sin(3f) + 1/3c) (5sin(30) +3cos(32) A solucao geral do sistema é y(t) = 1/3c2(3.cos(3t) — 5 sin(32)) — 17/3c sin(3t) x(t) = rin =Xn(t)+Xp(t) _ +cos(t) + —sen(t) + —(1/3) cos(2t) 114 sen(t)| *% |+cos(t)| * | +(/3)sin(20) |” 4.15. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema sao 3 3 Retrato de fase do sistema nao homogéneo + + A=44v2i, w=|, o,]) te=-av2i w= |) 320): “yaf 2 7 sen(21) 2-2V2i 2+2V2i XO=] 1 g/*¥F | cosy] Os autovalores sao complexos conjugados (com parte real nula); os autoveto- res também sao complexos conjugados; nao existem direcées invariantes; 0 es xe . : 4 — - ponto de equilibrio nao é atrator nem repulsor pois as partes reais dos auto- | A LZ 4, = \ valores complexos sAo nulas; as trajet6rias sao elipses percorridas no sentido 3 YF —_ = Oe anti-hordrio que contornam a origem das coordenadas; as solucées sao pe- — riddicas e estaveis (mas nao assintoticamente estaveis). A solucao geral do 2 Lt [% ‘ sistema é tA \\\ _ 3c0s(30) WS//9 ly peas" SN xO =e ocos(4v3r} x2 sent4v30| / I~ ON t OF : : fh ke +3sen(4V21) ' + 2 -2/2cos(4v2t) + 2sen(4v20)|° alls XY 7 A O ponto de equilibrio 6 um centro (estavel mas nao assintoticamente esta- Se | _ “RQ ZZ BEL 4 —3N ~ centro SS ee YY 1.0 Uf Z \ -4 S = J) —_— -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Ye~ ‘ | 0.5 \ hs YY VM) 0.0 [7 w Yi y {. 4 fA NS Y -0.5 « SS MA, 4 \\ Yj Wy os -1.0 OL V/ Vy, -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x (N= ts “4 x(t). 5.2. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema + homogéneo associado sao Solucdo obtida através do cédigo Python (biblioteca SymPy): A=0, w= 2 - Ay=4l, w= A ; x(t) = (0.5C) — 0.707106781186548C>) cos (5.65685424949238 1) — (0.707106781186548C, + 0.5C>) sin (5.656854249492382) Os autovalores sao Teals e distintos (um dos quails e zero); os autovetores tam- . bém sao linearmente independentes; existe uma linha de pontos de equili- y(t) = 1.0C, cos (5.65685424949238 rt) — 1.0C2 sin (5.65685424949238 2) brio (a reta pela origem e direcao de vy, = [1 2] T A soluciio geral do sis- tema homogéneo associado é Solucao obtida através do Wolfram Alpha: x, (1) 41 42 ? = - ? = - =|vh = solve “ (t)=4x(t)-6y(t), y’ (t)=8x(t) -4y(t)} xp (0) Fr C1 2) +c. exp(+0) 3) X(t) = aa (V2sen(4v22) +2cos (4v2z)) — (3¢2 sen((4V2¢)) / (2v2) Uma solucgao particular do sistema nao homogéneo é 1 _ [xpO] _ (4t — 3) exp(+2) — exp(—f) y(t) = V2c sen(4Vv2t) + 7@ (2cos(4vV2t) — V2sen(4v21)) Xp(t) = Fr = | (Gt —6)exp(+0) — (6/2) exp(—0) | A solucao geral do sistema é x(t) = xp(t) + Xp() 5.1. Resposta: Os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema 1 2 (4-3) (0 an homogéneo associado sao =c|* * — 2) exPC+ 1) = exp(— 8 “1 [E2] seen [3 * lee oem. Gaempten . +i . -i A, =i, w= [th A2 =-i, ve=| i}: Retrato de fase do sistema nao homogéneo Os autovalores sao complexos conjugados (imaginarios puros); os autoveto- ran _[t4 -2 exp(+0) res também sao complexos conjugados; nao existem direcées invariantes. A * (= 46 3 x(t exp(-1) | 11 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 6.1. Solução: Aplicar a transformada de Laplace às duas EDO’s do sistema na variável temporal, usar as duas condições iniciais e obter o sistema na variável frequencial sY (s)− X (s) = 1 s −1 sX (s)+Y (s) = 1 s +1 . Resolver para uma das funções incógnitas, Y (s) = s2 +2s −1 (s2 +1)(s +1)(s −1) = 1 2 1 s −1 + 1 2 1 s +1 − s −1 s2 +1 . Através das tabelas de transformadas inversas de Laplace, resulta y(t) = cosh(t)−cos(t)+sen(t). finalmente, a partir da primeira EDO resulta x(t) = y′(t)−exp(t), isto é, x(t) = −cosh(t)+cos(t)+sen(t). Resposta: x(t) = −cosh(t)+cos(t)+sen(t) y(t) = +cosh(t)−cos(t)+sen(t). 6.2. Solução: Aplicar a transformada de Laplace às duas EDO’s do sistema na variável temporal, usar as duas condições iniciais e obter o sistema na variável frequencial; resolver o sistema obtido e, finalmente, aplicar a trans- formada inversa de Laplace. Resposta: x(t) = +10exp(+2t)−8exp(+3t)−1exp(t)+6t −1 y(t) = −20exp(+2t)+8exp(+3t)+3exp(t)+12t +10. Solução obtida através do Wolfram Alpha: solve {x’(t)=+4x(t)+1y(t)-36t,y’(t)=-2x(t)+1y(t)-2exp(t), x(0)=0, y(0)=1} x(t) = 6t −exp(t)+10exp(2t)−8exp(3t)−1 y(t) = 12t +3exp(t)−20exp(2t)+8exp(3t)+10 12