P2 - Equações Diferenciais a - 2004-1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS A Hor´ario: 11:10 - 12:50 - 26/10/2004 2a. Avalia¸c˜ao 1. Um circuito possui um capacitor de 0, 5×10−1 F, um resistor de 25 Ω e um indutor de 5 H, em s´erie. O capacitor se encontra descarregado. No instante t = 0 conecta-se esse circuito a uma bateria cuja tens˜ao ´e de 10e−t/2 V, e o circuito ´e fechado. (a) Determine a carga no capacitor em qualquer instante t > 0. (b) Determine a carga no capacitor quando t → +∞. Obs.: A evolu¸c˜ao temporal da carga no capacitor ´e descrita pela equa¸c˜ao LQ′′ + RQ′ + 1 C Q = E(t). Link para a solu¸c˜ao. 2. Considere esta equa¸c˜ao diferencial (t2 + 1)2y′′ − 6t(t2 + 1)y′ + (10t2 − 2)y = 0. (a) Mostre que y1(t) = t2 + 1 ´e uma solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao. (b) Determine a solu¸c˜ao geral dessa equa¸c˜ao. Link para a solu¸c˜ao. 3. Considere esta equa¸c˜ao diferencial y′′ − 2ty′ + 10y = 0, y(0) = y0, y′(0) = y1. Determine as constantes y0 e y1 para que uma solu¸c˜ao n˜ao-trivial dessa equa¸c˜ao seja polinomial. Nessa situa¸c˜ao, determine esse polinˆomio. Link para a solu¸c˜ao. Solucao 1. (a) 1 5Q” + 25Q! + ———— = 10e~“/4 OP 200" + Tega = Me Dividindo-se por 5: Q” 4 5Q’ 4 4Q _ Je t/4 Equacao caracteristica: r? + 5r +4 =0 Raizes: r = —1,—4 Solucao geral da equacao homogénea: Q(t) = ce! + coe” Solugao particular da forma Q,(t) = Aoe~“/4. 1 4/4 Ao 4/4 Qy(t) =— zoe, Qzt) = Fee" Substituindo-se na equagao: A 5 we _ zoe" + 4Age “/4 = Qe t/4 45 32 —Ajp=2 => A=—= 16° ° 0 5 Solugao geral: 32 Q(t) =cie* + ae + mo Derivada da solugao geral: Q’(t) = —cye' — 4ege~"’ — Re t/4 Substituindo-se t = 0, Q = 0, Q’ = 0: 32 __ _ cr tea + a5 = 0 - Cc, = —8/9 —c, — 4cg — = 0 Co = 8/45 Solucao do PVI: 8 8 32 t) — —fet a Set 4 Pee t/4 Q(t) 5° + 7Re + Fe (b) jim Q(t) =0C Link para a proxima questao. 2. (a) yi(t)=t +2, yi(t) = 2t, yf (t) =2 (t? + 2)?y" — 6t(t? + 2)y’ + (102 —4)y = (t? + 2)? 2 — 6t(t? + 2)2t + (100? — 4)(? +2) = (#? + 2)2— 1274 (10#-4) = 0 (b) y(t) = v(t)(# + 2) y(t) = v'(t)(t? + 2) + v(t)2t y"(t) =v" (t)(? + 2) + 4tu’(t) + 2u(t) Substituindo-se na equagao (t? + 2)?(u"(t? + 2) + 4tu’ + 2v) — 6t(t? + 2)(v'(t? + 2) + v2t) + (10t? — 4)v(t? +2) = 0 (t? + 2)u” — 2tv' = 0 ot " / _ v Pa 5 0 Seja w(t) = v(t). , at w —>—x~w = 0 t? +2 wt w t+42 In |w| = In jt? +2) +c || In(——_) = n( \t2 4 | ) C1 1 Tomando C, = 3 e Cy = 0 obtemos yo(t) = v(t)y,(t) = (t? + 2)(t? + 6t) = t? + 8t° + 12¢ Wane) = ae (eo? eho ) = (# +2) det ( x 5t4 pote 12 ) = (#?+2)(3t*+12#?+12) 40, parat=0 A solugao geral é y(t) = a(t? +2) + c(t? + 2)(t8 + 6t) Link para a proxima questao. 3. Substituindo-se y(t) = S79 dnt”, y(t) = O(n + Danyit” e y(t) = O(n + 2)(n + 1)dnyot” na equagao y” — 2ty' + 8y = 0, obtemos So (n+ 2)(n + Vanyot” — 2tS7(n + Uangit™ +8 S 0 ant” = 0 n=0 n=0 n=0 S (n+ 2)(n + Vansot” — 250 (n+ L)anyit”*! +8 So ant” = 0 n=0 n=0 n=0 So(n + 2)(n + L)anyot” — 2 S- na,t” + 8 S- ant" = 0 n=0 n=1 n=0 2az + 8a9 + Sil(n + 2)(n + 1)dnz2 — 2nay + 8a,]t” = 0 n=1 O que implica em 2a + 8a = 0 (n+ 2)(n+ Lanse — 2nay + 8a, = 0, n= 1,2,3,... ag = —Aag n—A Ona = 2a, n = 1,2,3,... eo (n+1)(n + 2) 4 4 = 340; dg, = 0, k = 3,4,... 2*(2k — 6)(2k — 8) ---(—3) = i _, kk = 1,2,3,4,... Q2k+1 (2k +1)! ’ 94999, Substituindo-se os valores a, encontrados acima, na série de y(t) obtemos y(t) = S- Ant” = S- Ax,t* + S- An, it tt = n=0 k=0 k=0 2, 44 — 2*(2k — 6)(2k — 8) -++(—3) 9, t aoe NE +1 “1 ( +) (2k + D! k=0 Portanto, a solucao geral é y(t) = aoyi(t) + aryo(t), em que 1 yi(t) =l1- At? + se = OF (2h — 6)(2k — 8) +++ (—3) jo, t)=t pert wa(O) +2 (Qk +)! Agora, como y(0) = yo, entaéo substituindo t = 0 e y = yo na expressao de y(t) obtemos que ap = yo. Como y’(0) = yz, substituindo-se t = 0 e y’ = y, na expressao obtida derivando-se y(t): 16 2'(2k — 6)(2k — 8) -- + (—3) ‘(t) = —8t + —t? 1 ASN 2 y (t) wo( + 3 + ay +2 (hy! obtemos a; = y;. Assim a solucao do problema de valor inicial é 4 2'(2k — 6)(2k — 8) -- + (—3) t) = 1 — 4t? + —t4 t ae ee NT KI y(t) wn ( +3 Jen (149) (2k +1)! Para que a solucaéo seja um polindmio devemos ter yo 4 0 e y; = 0. Neste caso a solugao é 4 y(t) = yo (1 — 4t? + i)