P2 - Equações Diferenciais - 2023-2

EDA - 2ª prova individual (30 pts, sem consulta) 1. (10 pts) Determine a solução para o PVI abaixo usando o método dos coeficientes indeterminados. y'' + 9 y = cos(3t) + 1, y(0) = 1, y'(0) = 0. 2. (10 pts) Determine a solução para o PVI abaixo usando o método de variação de parâmetros. y'' + 5 y' + 6 y = t², y(0) = 0, y'(0) = 0. Lembrete: Método de variação de parâmetros Se a solução geral da equação y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 é yh(t) = c1y1(t) + c2y2(t) (c1, c2 constantes), procuramos a solução geral para y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t) na forma y(t) = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t), com u1 e u2 obtidos a partir da equação diferencial reduzida a u'1y1 + u'2y2 = g(t) e da condição u'1y1 + u'2y2 = 0. 3. (10 pts) Usando série de potências em torno de x0 = 0, determine a solução para o PVI abaixo até pelo menos o termo em x⁶. y'' - 2x y' + 4 y = 0, y(0) = 4, y'(0) = 7. EDA - 2ª Prova Individual 1) y'' + 9y = cos(3t) + 1 y(0) = 1, y'(0) = 0 Método dos Coeficientes Indeterminados: Eq. homogênea associada: y'' + 9y = 0 → eq. característica: r² + 9 = 0 → r² = -9 → r = ±i3 → sol. geral yh(t) = C1cos(3t) + C2sen(3t) O termo cos(3t) é solução particular de yh(t) e por isso devemos testar: Y(t) = [Acos(3t) + Bsen(3t) + C Y'(t) = [Acos(3t) + Bsen(3t)] + t[-3Asen(3t) + 3Bcos(3t)] Y''(t) = 2[-3Asen(3t) + 3Bcos(3t)] + t[-9Acos(3t) - 9Bsen(3t)] + 9 [Acos(3t) + Bsen(3t)] + 9C = cos(3t) + 1 Const: 9C = 1 → C = 1/9 sen(3t) : -6A = 0 → A = 0 Y(t) = 1/6 t sen(3t) + 1/9 cos(3t): 9B = 1 → B = 1/6 sol. geral: y(t) = C1cos(3t) + C2sen(3t) + 1/6 t sen(3t) + 1/9 c.i.: y(0) = C1 + 1/9 = 1 → C1 = 8/9 y'(t) = = 3C1sen(3t) + 3C2cos(3t) + 1/6 sen(3t) + 1/2 tcos(3t) y'(0) = 3C2 = 0 → C2 = 0 solução do D.V.I. y(t) = 8/9 cos(3t) + 1/6 t sen(3t) + 1/9 Verificação: y(t) = 8/3 sen(3t) + 1/6 sen(3t) + 1/2 tcos(3t) = 5/2 sen(3t) + 1/2 tcos(3t) y''(t) = -15/2 cos(3t) + 1/2 cos(3t) - 3/2 sen(3t) = -7cos(3t) - 3/2 sen(3t) → y'' + 9y = -7cos(3t) - 3/2 t sen(3t) + 9[8/9 cos(3t) + 1/6 tsen(3t) + 1/9] = cos(3t) + 1 ok! 2) y'' + 5y' + 6y = t² y(0) = 0, y'(0) = 0 Método de Variação de Parâmetros: eq. homogênea: y'' + 5y' + 6y = 0 → Δ = 1, y = -5/7 +-3 soluções fundamentais y1(t) = e^{-2t} y2(t) = e^{-3t} Propomos y(t) = y1(t)y1(t)u'1 + u2(t)y2(t) = 1 1) u'2 = -y2/u1 u'1 = -e^{-t}u1 2) u'1 [ -2e^{-2t}e^{-3t} = t² → u'1 = t² e^{2t} u2 = t² e^{3t} y'1 y'2 Obs: I(k) = \int t² e^{kt} dt = t²/k e^{kt} - 2/k \int k t e^{kt} dt = t²/k e^{kt} - 2k I(k) u = t² → du = 2tdt | u = t → du = dt dσe^{kt}dt, σ · 1/k e^{kt} dσ = e^{kt}dt, σ = e^{kt}/k e^{kt} = 1/k e^{kt} iu = e^{kt} → I(k) = [t²/k + 2/k² e^{kt} u1(t) = \int t² e^{2t} dt = 1(2) = (t²/2 t/2 + 1/4) e^{2t}, c1 u2(t) = \int t² e^{3t} dt = 1(3) = -(t²/3 + 2t/9 - 2/27) e^{3t} + c2. Portanto: y(t) = [(t²/2 t² 2/4 + C1)e^{2t} + i(t²/3 + 2t/9 - 2/27)e^{3t} → y(t) = 1/6 t² - 5/18 t² + 19/108 + c1 e^{-2t} + c2 e^{-3t} y'(t) = 1/3 - 2C1 e^{2t} - 3c2 e^{3t} c.i.: y(0) = 19/108 + C1 + C2 = 0 → 3c1 + 3C2 = 5/108 → C1 = -1/4, C2 = 2/27 y'(0) = -5/18 - 2C1 - 3C2 = 0 → -2C1 - 3C2 = 18 solução do P.V.I. y(t) = 1/6 t² - 5/18 + 19/108 - 1/4 e^{-2t} + 2/27 e^{3t} Verificacao y(t) = \frac{1}{3} t - \frac{5}{18} + \frac{1}{2} e^{-2t} - \frac{2}{9} e^{-3t} y'(t) = \frac{1}{3} - e^{-2t} + \frac{2}{3} e^{-3t} y''+5y'+6y = \frac{1}{3} - \frac{9}{2} e^{-2t} + \frac{2}{3} e^{-3t} + 5 \left( \frac{1}{3} t - \frac{5}{18} + \frac{1}{2} e^{-2t} - \frac{2}{9} e^{-3t} \right) + 6 \left( \frac{1}{6} t^2 - \frac{5}{18} t + \frac{1}{108} - \frac{1}{12} t e^{-2t} + \frac{2}{7} e^{-3t} \right) = t^2 \quad ok! (3) \quad y'' - 2xy' + 4y = 0 \quad y(0) = 4, \quad y'(0) = 7 \displaystyle y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \displaystyle y'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} \displaystyle y''(x) = \sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2} \rightarrow \displaystyle \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2} - 2x \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} + 4 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = 0 \displaystyle \sum_{m=0}^\infty (m+2)(m+1)a_{m+2} x^m - \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2n a_n x^n + \displaystyle \sum_{n=0}^\infty 4 a_n x^n = 0 (2a_2 + 4 a_0) + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left[ (n+2)(n+1) a_{n+2} - 2(n-z)a_n \right] x^n = 0 n = 0: \quad 2a_2 + 4a_0 = 0 \rightarrow a_2 = -2a_0 n \geq 1: \quad (n+2)(n+1)a_{n+2} - 2(n-z)a_n = 0 \rightarrow \boxed{a_{n+2} = \frac{2(n-z)}{(n+2)(n+1)} \cdot a_n} n = 1: \quad a_3 = \frac{2(-1)}{3 \cdot 2} a_1 = -\frac{1}{3} a_1 n = 2: \quad a_4 = \frac{2(0)}{4 \cdot 3} a_2 = 0 n = 3: \quad a_5 = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 4} a_3 = \frac{1}{10} a_3 = -\frac{1}{30} a_1 n = 4: \quad a_6 = \frac{2 \cdot 2}{6 \cdot 5} a_4 = 0 \displaystyle y(x) = a_0 + a_1 x - 2a_0 x^2 - \frac{1}{3} a_1 x^3 - \frac{1}{30} a_1 x^5 + ... = a_0 (1 - 2x^2) + a_1 (x - \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{30} x^5 + ...) \text{condicoes iniciais} \left\{ \begin{array}{l} y(0) = a_0 = 4 \\ y'(0) = a_1 = 7 \end{array} \right. \text{Solucao do P.V.I.} \displaystyle y(x) = 4(1 - 2x^2) + 7\left(x - \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{30} x^5 + ... \right)