Lista - Equações Diferenciais - 2023-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS-UFMG-BELO HORIZONTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS Prof. Luis Alberto Garcia Santisteban Disciplina: EDA Semestre: segundo semestre de 2023 1. Em cada um dos problemas encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t → ∞. (a) y′ + 3y = t + e−2t (b) ty′ + 2y = sent, t > 0 (c) 2y′ + y = 3t (d) ty′ − y = t2e−t, t > 0 2. Em cada um dos problemas encontre a solução do problema de valor inicial dada. (a) y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0 (b) ty′ + 2y = sent, y( π 2) = 1, t > 0 (c) ty′ + (t + 1)y = t, y(ln2) = 1, t > 0 3. Considere o problema de valor inicial y′ + 2 3y = 1 − 1 2t, y(0) = y0. Encontre o valor de y0 para o qual a solução toca, mas não cruza, o eixo dos t. 4. Em cada e exercício resolva a equação diferencial. (a) y′ + y2senx = 0 (b) xy′ = (1 − y2) 1 2 (c) dy dx = x2 1+y2 5. Em cada um dos problemas determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo na qual a solução está definida. (a) y′ = (1 − 2x)y2, y(0) = −1 6 (b) y′ = (1 − 2x)y, y(1) = −2 6. Resolva o problema de valor inicial y′ = 2−ex 3+2y, y(0) = 0 e determine onde a solução atinge seu valor máximo. 7. Resolva a seguintes equações diferenciáveis. (a) t2y′ + 2ty − y3 = 0, t > 0 (b) y′ + 2y = g(t), y(0) = 0 onde g(t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1 e g(t) = 0, t > 1 8. Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe. i ii (a) (4 − t2)y′ + 2ty = 3t2, y(−3) = 1 (b) t(t − 4)y′ = −y, y(2) = 1 (c) y′ + y3 = 0, y(0) = y0 (d) y′ + 4t y = 0, y(0) = y0. 9. Para cada equação, determine se ela é exata. Se for, encontre a solução. (a) (2x + 3) + (2y − 2)y′ = 0 (b) (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y′ = 0 (c) (exseny + 3y)dx − (3x − exseny)dy = 0 (d) (3x2 − 2xy + 2) + (6y2 − x2 + 3)y′ = 0 10. Encontre o valor de b para o qual a equação (xy2 + bx2y) + (x + y)x2y′ = 0 seja exata e logo resolver usando o valor de b. 11. Resolver as equações não exatas, mas torna-se exata quando multiplicada pelo fator integrante µ = µ(x, y). (a) x2y3 + x(1 + y2)y′ = 0, µ(x, y) = 1 xy3 (b) ydx + (2x − yey)dy = 0, µ(x, y) = y 12. Nas seguintes equações encontre um fator integrante e resolva a equação. (a) (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2 + y2)dy = 0 (b) ydx + (2xy − e−2y)dy = 0 (c) dx + ( x y − seny)dy = 0 13. As seguintes equações tem a forma dy dt = f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos criticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty. (a) dy dt = ay + by2, a > 0, b > 0, y0 ≥ 0 (b) dy dt = ey − 1, −∞ < y0 < ∞ (c) dy dt = y(y − 1)(y − 2), y0 ≥ 0 14. Em cada um dos problemas defina ϕ0(t) = 0 e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado. (a) y′ = 2(y + 1), y(0) = 0 (b) y′ = −(y + 1), y(0) = 0 (c) y′ = −y 2 + t, y(0) = 0 i. Determine ϕn(t) para um valor arbitrário de n. ii. Faça o gráfico de ϕn(t) com n = 1, 2, 3