P2 - Equações Diferenciais a - 2023-2

EDA - 2a prova em grupo (5 pts, com consulta) 1. (1,5 pts) Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral da equação y'' + y' - 2y = 4 + cos(t). 2. (1,5 pts) Considere a equação não homogênea y'' - \frac{1}{t} y' - \frac{3}{t^2} y = 8t^2 para t > 0. (a) Verifique que y_1(t) = t^3 e y_2(t) = t^{-1} são soluções da equação homogênea associada. (b) Use o método da variação de parâmetros para encontrar a solução geral da equação não homogênea do enunciado. 3. (2 pts) Considere o problema de valor inicial \begin{cases} y'' - xy' + 2y = 0 \\ y(0) = 4, y'(0) = -3. \end{cases} Procure uma solução na forma de série de potências centrada em x_0 = 0. Para essa solução, encontre a relação de recorrência satisfeita pelos coeficientes e obtenha a solução do PVI até a potência x^6. EDA - 2a prova em grupo 1. y'' + y' - 2y = 4 + cos(t) (solução geral) eq. homogênea associada: y'' + y' - 2y = 0 r^2 + r - 2 = 0 \quad \Delta = 9 \quad \frac{-1\pm 3}{2} \rightarrow -2 \rightarrow y_h(t) = c_1e^t + c_2e^{-2t} solução particular para a eq. não homogênea: Y(t) = A + Bcost + Csent \Rightarrow Y'(t) = -Bsent + Ccost Y''(t) = -Bcost - Csent \Rightarrow (-Bcost - Csent) + (-Bsent + Ccost) - 2(A + Bcost + Csont) = 4 + cost const: -2A = 4 \Rightarrow A = -2 cost: -3B + C = 1 \Rightarrow 10C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{10}, B = -\frac{3}{10} sent: -B -3C = 0 \Rightarrow B = -3C \boxed{y_p(t) = A + Bcost + Csont} \Rightarrow solução geral da eq. não homogênea: y_{t_3} = c_e + c_2e^{-2t} - \frac{3}{10}cost + \frac{1}{10}sent 2. y'' - \frac{1}{t} y' - \frac{3}{t^2}y = 8t^2 \quad (t>0) (a) y_1(t) = t^3 \left\{ \begin{array}{l} y_1'(t) = 3t^2 \\ y_1''(t) = 6t \\ y'' - \frac{1}{t} y_1' - \frac{3}{t^2} y_1 = 6t - \frac{1}{t} 3t^2 + \frac{3}{t^2} t^5 = 6t - 3t - 3t = 0 \end{array} \right. (b) MVP: y(t) = U(t)t^3 + U(t)y_2(t) yt = \left[ \begin{array}{cc} t^3 & t^{-1} \\ 3t^2 & -t^{-2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} U'(t) \\ V'(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 8t^2 \end{array} \right] 3tu' + tu' = -t^{-1} \rightarrow 3tu'' + 3u' = 8t^2 \rightarrow [3t^2 t^{-2}(-t^2)(-t')]u'' = 8t^2 \rightarrow 4t^2 + 8t^2 \end{array} u(t) = \int u'(t) dt - \int 2t dt = 2t + c_1 v(t) = \int v'(t) dt = \int (x)^t dt = \frac{2}{5t} ^5 + c_2 Assim, a solução geral da eq. não homogênea é y(t) = (2t + c_1 + t^3 + \left( -\frac{2}{5}t \right) t^3 + \left( \frac{2}{5} t + c_2 \right) t^{-1} \rightarrow yt = c_1^t^3 + c_2t^{-\frac{3}{5}} + \frac{8}{5}t^4 3. y'' - xy' + 2y = 0 { y(0) = 4, y'(0) = -3 } y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \rightarrow y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \rightarrow y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_nx^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty}(x.n-a)=\sum_{n=1}^{\infty} nx^2+ax^n \rightarrow x^{-1} x^{n} = [x^{1} - x^1] { m=x^2 \rightarrow n = m+2 } \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_n x^n - \sum_{n=2}^{\infty}(1-2)nx^2 - 2a_n x^4 = 0 \rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) \ln (n+x^1) + 2. [a_0a_1, 0, 4, a_{n-2}) \sum_{n=0}^{\infty}(n-2)a_n =0 \rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} [b_0_X + a_n] =0 \rightarrow \int xi^3{x)(\frac{2a}{x^1}) \left[ b^1 \sum_{x=1}^{\infty} [ a_n(x^0,a0)] \rightarrow =4 2a_xe^{t} = 2. \rightarrow C(\sum_{n=0}^{\infty}>) \sum_{n=0}^{\infty} (n,x=1) a_nx^{n-2}\end{array} 2a_xx^{1} - \sum_{nl1}^{\infty}(n.a1) [a.e_vn(nx) Por tanto: 4\left[ 1-x \right] - 3(x - \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{120} x^5 ... )}