Slide Aula 05 - Estado Plano de Deformações-2022 2

PROFESSOR: RALISOM FELIPE O elemento tende a distorcer. PROFESSOR: RALISOM FELIPE Exemplo 2: Um elemento diferencial de material em um ponto está sujeito a um estado plano de deformação definido por ε_x = -350(10^-6), ε_y = 200(10^-6), γ_xy = 80(10^-6), que tende a distorcer o elemento. Determine as deformações principais no ponto e a orientação do elemento associada. PROFESSOR: RALISOM FELIPE ε_x' = (ε_x + ε_y)/2 + (ε_x - ε_y)/2 cos 2θ + γ_xy/2 sen 2θ ε_x' = [500 + (-300)/2](10^-6) + [500 - (-300)/2](10^-6) cos(2(-30°)) + [200(10^-6)/2] sen(2(-30°)) ε_x' = 213(10^-6) ε_y' = (ε_x + ε_y)/2 - (ε_x - ε_y)/2 cos 2θ - γ_xy/2 sen 2θ ε_y' = [500 + (-300)/2](10^-6) - [500 - (-300)/2](10^-6) cos[2(-30°)] - [200(10^-6)/2] sen[2(-30°)] ε_y' = -13,4(10^-6) γ_x'y'/2 = -(ε_x - ε_y)/2 sen 2θ + γ_xy/2 cos 2θ γ_x'y' = -[500 - (-300)/2](10^-6) sen[2(-30°)] + [200(10^-6)/2] cos[2(-30°)] γ_x'y' = 793(10^-6) Equações gerais de transformação para o estado plano de deformação Convenção de sinal: As deformações por cisalhamento serão positivas se o ângulo interno na origem for menor que 90°. Estados de deformações PROFESSOR: RALISOM FELIPE Equações gerais de transformação para o estado plano de deformação • O problema é determinar a partir de: • εₓ, εy, γxy • O estado de deformação: • εx', εy', γx'y' • Conhecendo o ângulo θ, que é a diferença entre a inclinação dos eixos coordenados. • θ será positivo no sentido anti-horário. Deformação normal e por cisalhamento Deformação normal positiva, εx' Deformação por cisalhamento positiva, γx'y' Equações gerais de transformação no plano de deformação Deformação Normal e por Cisalhamento εx' = εx + εy / 2 + εx - εy / 2 cos 2θ + γxy / 2 sen 2θ εy' = εx + εy / 2 - εx - εy / 2 cos 2θ - γxy / 2 sen 2θ γx'y' / 2 = -(εx - εy / 2) sen 2θ + γxy / 2 cos 2θ Equações gerais de transformação no plano de deformação Deformações Principais Assim como nas tensões, a deformação do elemento é representada pelas deformações normais, sem deformação por cisalhamento. Essas deformações normais são denominadas deformações principais. Com base nas equações das tensões temos: Direção do eixo: tg 2θₚ = γₓᵧ / (εₓ - εᵧ) Deformações principais ε₁ e ε₂: ε₁,₂ = (εₓ + εᵧ) / 2 ± √[(εₓ - εᵧ)² / 2 + (γₓᵧ / 2)²] Deformações principais Ocorrem quando as deformações cisalhantes são nulas. Se o material for isotrópico essas ocorrem nos mesmos eixos das tensões principais. Equações gerais de transformação no plano de deformação Deformação por Cisalhamento Máximo no Plano Da mesma forma que nas tensões, determinam-se: Direção do eixo: tg 2θₛ = -(εₓ - εᵧ) / γₓᵧ Deformação máxima por cisalhamento no plano: γₘₐₓ ₙₒ ₚₗₐₙₒ / 2 = √[(εₓ - εᵧ)² / 2 + (γₓᵧ / 2)²] Deformação normal média associada: εₘₑ𝑑 = (εₓ + εᵧ) / 2 PROFESSOR: RALISOM FELIPE EM RESUMO: tan(2θ) = \frac{γ_{xy}}{ε_x - ε_y} ε_{1,2} = \frac{ε_x + ε_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{ε_x - ε_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{γ_{xy}}{2}\right)^2} γ_{xy}^{MAX}/2 = \sqrt{\left(\frac{ε_x - ε_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{γ_{xy}}{2}\right)^2} ε_{MED} = \frac{ε_x + ε_y}{2} PROFESSOR: RALISOM FELIPE Exemplo 1: Um elemento diferencial de material em um ponto está sujeito a um plano de deformação dado por ε_x = 500(10^{-6}), ε_y = -300(10^{-6}), γ_{xy} = 200(10^{-6}), que tende a distorcer o elemento. Determine as deformações equivalentes que agem sobre um elemento orientado no ponto a 30° no sentido horário em relação à posição original. PROFESSOR: RALISOM FELIPE Usando as equações de transformação da deformação, sendo positivo o sentido anti-horário, para esse problema que é horário, temos θ = -30°. \begin{align*} ε_{x'} &= \frac{ε_x + ε_y}{2} + \frac{ε_x - ε_y}{2}\cos 2θ + \frac{γ_{xy}}{2}\sen 2θ ε_{y'} &= \frac{ε_x + ε_y}{2} - \frac{ε_x - ε_y}{2}\cos 2θ - \frac{γ_{xy}}{2}\sen 2θ \frac{γ_{x'y'}}{2} &= -\left(\frac{ε_x - ε_y}{2}\right)\sen 2θ + \frac{γ_{xy}}{2}\cos 2θ \text{Dados:}\\ ε_x &= 500(10^{-6}),\\ ε_y &= -300(10^{-6}),\\ γ_{xy} &= 200(10^{-6}). \end{align*} Orientação do elemento: \(\text{tg} \, 2\theta_p = \frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x - \epsilon_y} = \frac{80(10^{-6})}{(-350 - 200)(10^{-6})}\) \[ 2\theta_p = -8,28^\circ \text{ e } -8,28^\circ + 180^\circ = 171,72^\circ \] de modo que: \(\theta_p = -4,14^\circ \text{ e } 85,9^\circ\) Deformações Principais: \[ \epsilon_{1,2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2} \] \[ \epsilon_{1,2} = \frac{(-350 + 200)(10^{-6})}{2} \pm \left[ \sqrt{\left(\frac{-350 - 200}{2}\right)^2 + \left(\frac{80}{2}\right)^2} \right](10^{-6}) \] \[ \epsilon_{1,2} = -75,0(10^{-6}) \pm 277,9(10^{-6})\] Logo: \(\epsilon_1 = 203(10^{-6})\) \(\epsilon_2 = -353(10^{-6})\) Deformações principais: \(\epsilon_1 = 203(10^{-6})\) \(\epsilon_2 = -353(10^{-6})\) Podemos determinar qual dessas duas deformações (específicas) distorce o elemento na direção \(x'\) com \(\theta = -4,14^\circ\). Utilizado a equação: \[ \epsilon_{x'} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2} \cos 2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2} \sen 2\theta \] \[ \epsilon_{x'} = \left(\frac{-350 + 200}{2}\right)(10^{-6}) + \left(\frac{-350 - 200}{2}\right)(10^{-6}) \cos 2(-4,14^\circ) + \frac{80(10^{-6})}{2} \sen 2(-4,14^\circ) \] \[ \epsilon_{x'} = -353(10^{-6})\] Logo: \(\epsilon_{x'} = \epsilon_2\) Quando sujeito às deformações principais, o elemento é distorcido: PROFESSOR: RALISOM FELIPE Exemplo 3: Um elemento diferencial de material em um ponto está sujeito a um estado plano de deformação definido por 𝜖ₓ = -350(10⁻⁶), 𝜖ᵧ = 200(10⁻⁶), 𝛾ₓᵧ = 80(10⁻⁶), que tende a distorcer o elemento. Determine a deformação por cisalhamento máximo no plano no ponto e a orientação do elemento associada. PROFESSOR: RALISOM FELIPE Orientação do elemento: 𝑡𝑔 2𝜃ₛ = - \left(\frac{𝜖ₓ - 𝜖ᵧ}{𝛾ₓᵧ}\right) = \frac{(-350 - 200)(10⁻⁶)}{80(10⁻⁶)} 2𝜃ₛ = 81,72° e 81,72° + 180° = 261,72° de modo que: 𝜃ₛ = 40,9° e 131° PROFESSOR: RALISOM FELIPE Deformação por cisalhamento máximo no plano: \frac{𝛾ₘₐₓ\text{ no plano}}{2} = \sqrt{\left(\frac{𝜖ₓ - 𝜖ᵧ}{2}\right)² + \left(\frac{𝛾ₓᵧ}{2}\right)²} \frac{𝛾ₘₐₓ\text{ no plano}}{2} = \sqrt{\left(\frac{-350 - 200}{2}\right)² + \left(\frac{80}{2}\right)²}(10⁻⁶) 𝛾ₘₐₓ\text{ no plano} = 556(10⁻⁶) O sinal adequado de \gamma_{m\acute{a}x \text{ no plano}} pode ser obtido com \theta_s = 40,9° \frac{\gamma_{x'y'}}{2} = \frac{\varepsilon_x - \varepsilon_y}{2} \sin 2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2} \cos 2\theta \frac{\gamma_{x'y'}}{2} = \left(\frac{-350 - 200}{2}\right)(10⁻⁶) \sin 2(40,9°) + \frac{80}{2} \cos 2(40,9°) \gamma_{x'y'} = 556(10⁻⁶) PROFESSOR: RALISOM FELIPE O γ_{máx\ no\ plano} tende a distorcer o elemento de modo que o ângulo reto entre dx' e dy' diminui (convenção de sinal positivo). Além disso, há deformações normais médias associadas impostas ao elemento que são determinadas. ε_{méd} = \frac{ε_x + ε_y}{2} = \frac{-350 + 200}{2} (10^{-6}) = -75(10^{-6}) Essas deformações tendem a provocar contração no elemento. PROFESSOR: RALISOM FELIPE (γ_{xy})_{máx} \frac{(γ_{xy})_{máx}}{2} ε_{méd}dy′ ε_{méd}dx′ 40,9° PROFESSOR: RALISOM FELIPE Exemplo 2 85,9° ε_1dy′ -4,14° ε_2dx′ (γ_{xy})_{máx} \frac{(γ_{xy})_{máx}}{2} ε_{méd}dy′ ε_{méd}dx′ 40,9°