Lista 3 - Resmat 2 2022-1

Um vaso cilíndrico pressurizado é feito de um aço com tensão de escoamento σe = 250 Mpa e está submetida a uma força normal P=80 kN, conforme indicado na figura. O tanque tem raio igual a 50 mm e está submetido a uma pressão interna de 4,5 MPa. Usando dois critérios de ruptura diferentes determinar o valor das espessura t do vaso se um coeficiente de segurança igual a 1,5 é requerido. Na memória de cálculo deve constar os seguintes itens: a) Definição e justificativa dos critérios de ruptura utilizados; b) Descrição teórica dos dois critérios de ruptura utilizados; c) O estado de tensão utilizado no dimensionamento do vaso de pressão; d) Círculo de Mohr do estado de tensão do item c; e) Descrição detalhada dos cálculos efetuados na aplicação dos dois critérios de ruptura; f) Comparar e analisar os resultados da espessura t calculadas no item e. O elemento estrutural da figura é feito de um aço com tensão de escoamento σe = 250 MPa e é composto de duas barras perpendiculares entre si com seção transversal tubular com diâmetro externo de 25mm e diâmetro interno de 15mm. Utilizando o critério da máxima tensão de cisalhamento, calcular o valor da força uniformemente distribuída q que levaria ao escoamento da estrutura. Na memória de cálculo deve constar: a) Os diagramas dos esforços; b) Seção transversal utilizada na verificação; c) Diagramas mostrando a distribuição de tensões na seção definida no item b; d) A definição do ponto que vai ser utilizado para fazer a verificação do escoamento; e) O estado de tensão e respectivo círculo de Mohr no ponto definido no item d; f) Mostrar de forma detalhada a aplicação do critério de ruptura. σe=250MPa P=80kN r=50mm p=4,5MPa Cs=1,5 (a) Os dois critérios que serão utilizados para determinar o valor de "t" será: TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA E A TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA. A justificativa se dá pelo fato de que a falha será especificada pelo início do escoamento, ou seja, para um material dúctil. (b) CRITÉRIO DE TRESCA - Essa teoria pode ser usada para prever a tensão de falha de um material dúctil sujeito a qualquer tipo de carga. Ela afirma que o escoamento do material começa quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge a tensão de cisalhamento que provoca o escoamento desse material quando sujeito somente a tensão axial. Portanto, para evitar falha, o τmáxabs deve ser menor ou igual a σe/2, onde σe é determinada por um ensaio de tração simples. TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA O escoamento em um material dúctil ocorre quando a energia de distorção por unidade de volume do material é igual ou ultrapassa a energia de distorção por unidade de volume do mesmo material quando submetido a escoamento em um ensaio de tração simples. (c) \(\sigma_1 = \frac{Pr}{t}\) ; \(\sigma_2 = \frac{Pr}{2t}\) ; \(\sigma_N = \frac{P}{A}\) ; \(A = \frac{\pi r^2}{4}\) NOTA: o raio de 50mm dado no exercício não foi especificado se é interno ou externo! -> consideranei interno \[\sigma_1 = \frac{4,5 \times 10^6 \times 50 \times 10^{-3}}{t} = \frac{225000}{t}\] \[\sigma_2 = \frac{4,5 \times 10^6 \times 50 \times 10^{-3}}{2t} = \frac{112500}{t}\] \[A = \frac{\pi\cdot0,05^2}{4} = 0,00196m^2\] \[\sigma_N = \frac{80 \times 10^3}{0,00196} = 40,744 \times 10^6Pa\] \(\sigma_2 + \sigma_N\) d) \(\sigma_x = \frac{112500}{t} + \frac{40,744 \times 10^6}{t}\) \(\sigma_y = \frac{225000}{t}\) \(\tau_{xy} = 0\) x (\(\sigma_x; -\tau_{xy}\)) y (\(\sigma_y; \tau_{xy}\)) (MPa) (MPa) 225000 (e) CRITÉRIO DE TRESCA \(\sigma_1\) e \(\sigma_2\) tem sináis iguais, logo: \(|\sigma_1| = \sigma_e\) \(|\sigma_2| = \sigma_e\) \[\frac{112500}{t} + 40,744 \times 10^6 = \frac{\sigma_e}{c.s}\] \[\frac{112500}{t} = \frac{250 \times 10^6}{1,5} - 40,744 \times 10^6\] \[\frac{112500}{t} = 125,9227 \times 10^6\] \[t = \frac{112500}{125,9227 \times 10^6} = 0,0009m\] \[t = 0,9mm\] \[\frac{225000}{t} = \frac{250 \times 10^6}{1,5}\] \[\frac{225000}{t} = 166,667 \times 10^6\] \[t = \frac{225000}{166,667 \times 10^6} = 0,00135m\] ; \[t = 1,35mm\] Adota-se: \[t = 1,35mm\] ENERGIA DA DISTORÇÃO MÁXIMA \[\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2 = \frac{\sigma_e^2}{c.s^2}\] \[\left(\frac{225000}{t}\right)^2 - \left(\frac{225000}{t}\right)\left(\frac{112500}{t} + 40,744 \times 10^6\right) + \left(\frac{112500}{t}\right)^2 = \frac{\sigma_e^2}{c.s^2}\] \[\frac{5,0625 \times 10^{10}}{t^2} - \frac{2,53125 \times 10^{10}}{t} - 9,1674 \times 10^6\] \] \[\left(\frac{112500}{t} + 40,744 \times 10^6\right)^2 = \frac{\sigma_e^2}{c.s^2}\] \[\frac{2,53125 \times 10^{10}}{t^2} - \frac{9,1674 \times 10^{12}}{t} + \frac{1,266 \times 10^{10}}{t^2} + \frac{9,1674 \times 10^{12}}{t} + 1,66 \times 10^{15} = \frac{\sigma_e^2}{c.s}\] \[\frac{3,797 \times 10^{10}}{t^2} = \frac{(250 \times 10^6)^2}{(1,5)^2} - 1,66 \times 10^{15} = 2,64118 \times 10^{16}\] \[t = \sqrt{\frac{3,797 \times 10^{10}}{2,64118 \times 10^{16}} = 0,0012m}\] \[t = 1,2mm\] X(5,9917 \times 10^6 q; -748,97 \times 10^3 q)\nY( 0 \quad \quad j \quad 748,97 \times 10^3 q)\n\sigma_{med}= \frac{5,9917 \times 10^6 q}{2}\n\sigma_{med} = 2,99585 \times 10^6 q\nF_x = 748,97 \times 10^3 q\nCF = 5,9917 \times 10^6 q - 2,99585 \times 10^6 q = 2,99585 \times 10^6 q\nR = \sqrt{(FX)^2 + (CF)^2}= \sqrt{(748,97 \times 10^3 q)^2 + (2,99585 \times 10^6 q)^2}\nR = 3,088 \times 10^6 q\n\sigma_1 = OC + R = 2,99585 \times 10^6 q + 3,088 \times 10^6 q = 6,08385 \times 10^6 q\n\sigma_2 = OC - R = 2,99585 \times 10^6 q - 3,088 \times 10^6 q = -92,15 \times 10^3 q f)\n\sigma_1 = 6,08385 \times 10^6 q\n\sigma_2 = -92,15 \times 10^3 q\n* Critério da máxima tensão de cisalhamento\n|\sigma_1 - \sigma_2| = \sigma_e\n|6,08385 \times 10^6 q - (-92,15 \times 10^3 q)| = \sigma_e\n6,176 \times 10^6 q = 250 \times 10^6\n\frac{q}{6,176 \times 10^6} = \frac{250 \times 10^6}{6,176 \times 10^6} = 40,5 N/m\n\boxed{q = 40,5 N/m}