Atividade 1 - Bloco 2 - Cálculo 2 2021 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO CENTRO UNIVERSITARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA Calculo II - Atividade 1 do Bloco 2 ATENCAO: Justifique todas as suas respostas. 0,5 pt 1. (a) Use a soma dos seis primeiros termos para estimar a soma da serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}. Quão boa é essa estimativa? (b) Encontre um valor de n que garanta que o erro na aproximacao s \approx s_n seja menor que 0,000001. 0,5 pt 2. Calcule o limite das sequencias abaixo: (a) a_n = \frac{(-1)^{n-1}(n+2)}{n^2+n+2} (b) a_n = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} (c) a_n = \ln (n+1) - \ln n (d) a_n = n^3 - n^2 1,0 pt 3. Decida sobre a convergencia ou divergencia das seguintes series: (a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n-2)^{n+\frac{1}{2}}} (b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin n + \cos n}{1+3^n} (c) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2(k+2)}{(k+3)^3} 1) (1) S_6 = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{6^2} \approx 0,81 ou DO[..] TEOREMA DO ERRO APROXIMADO: 1) TESTE DE CONVERGENCIA: Sendo S = \sum (..1)^n \ln n, como \ln n]\ln n+1]/, \left(\frac{1}{n^2}\right) \ge \frac{1}{(m+1)^2} e . \lim am = \lim \frac{1}{m^2} = 0, a SERIE CONVERGE. ii) DO TESTE: am+1 = \left(\frac{-1}{(m+1)^2}\right) \le \epsilon, \text{p/m} = 6; \epsilon \ge 0,02, [..] m [..] relativamente baixo. [...] DO TEOREMA DO ERRO APROXIMADO: \left|\frac{(-1)^m}{(m+1)^2}\right| \le 10^{-6} \implies m > 10^3; m > 999, logo, 999 GARANTE! 2) a) COMO (m^2+m+2) CRESCE MAIS QUE (m+2) \lim_{m \to \infty} am = \boxed{0} [...] am = \frac{m^2 \cdot 1}{m^2}; \lim_{m \to \infty} \frac{m^2 \cdot 1}{m^2} = 1, APLICANDO L'HOSPITAL; L = \lim_{m \to \infty} \frac{2m}{2m} = \boxed{1} [...] am = \ln (m+1) - \ln (m) = \ln \left(\frac{m+1}{m}\right) [..] \lim \ln \left(\frac{m+1}{m}\right) [..]L; APLICANDO L'HOSPITAL: L = \lim \left(\frac{m+1}{m}\right) = \lim_{m \to \infty} 1 + \frac{1}{m} = \boxed{1} D) am = m^3 - m^2; L = \lim_{m \to \infty} m^3 - m^2 = \lim_{m \to \infty} \left(1 - \frac{1}{m}\right) m^3 = \infty [Digitalizado com CamScanner] 3) B) am= (-1)^m * |sen(m)+cos(m)| / 1+3^m , Im= |sen(m)+cos(m)| / 1+3^m I) Como |sen(m)+cos(m)| <= √2 |Im| <= √2 / 1+3^m II) Se ∑_{m=1}^{∞} √2 / 1+3^m CONVERGE, ∑(om) CONVERGE ABSOLUTAMENTE. III) TESTE DA RAZÃO L= lim|Im+1 / Im| = lim 1+3^m / 1+3^(m+1) ; APLICANDO L'HOSPITAL: L= lim log_3 3^m / log_3 3^(m+1) = 1/3 , logo, a série é CONVERGENTE, OU SEJA, ∑ om CONVERGE! (ABSOLUTAMENTE) C) L = lim QK = lim K^2(K+2) / (K+3)^3 = (1+1/K)^2 / (2+3/K)^3 = 2 LOGO, DIVERGE. D) om= 1 / (3m-2)^m+1/3 , como Im= 1 / (3^m)^m+1/3 POSSUI MESMA CONV GENCIA VISTO QUE lim x->∞ Im/om ≠ 0; temos, como 1/m = cm DIVERGE, que ∑_{m=1}^{∞} om Diverge.