Atividade 2 - Bloco 2 - Cálculo 2 2021-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO CENTRO UNIVERSITARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA Calculo II - Atividade 2 do Bloco 2 Aluno(a): — ATENCAO: Justifique todas as suas respostas. . d 1 . . . . 2,0 pt 1. Calcule a derivada a \ioat como uma série de poténcias e determine o seu raio de xt —2 convergéncia. 2,0 pt 2. Encontre uma representagao em série de poténcias para a fungao f(x) = In| 1—2 | e seu raio de convergéncia. Questao 1 Calcularemos: d 1 dx \1—x4 como série de poténcia. Para tanto, recorreremos a seguinte série de poténcia: 1 co nn = y y 1— y n=0 Entdo, tomando y = x* temos: 1 4 Tan = he)" 1—(x4) ou seja: I ~ 4n aoe de 1—x n=0 De posse disso, podemos entao calcular a derivada desejada. Com efeito: d 1 d[{< “fF — y xn dx \1—x4 dx\& n=0 _ — d 4n = y dx Pe" n=o 4% = y Anx*"—! n=1 e assim obtemos a derivada em série de poténcia como sendo dada por: d 1 = 4 —|—— ] = 4nx"!, dx \1—x4 » n= 4n-1 a ns ; 1 Agora, definamos a, = 4nx o termo geral da série de poténcia da derivada de To Com isso determinaremos o raio de convergéncia da série usando o teste da raza4o, onde calcularemos o seguinte limite: . | an+1 | lim | —— n+} Ay e posteriormente, imporemos que: . Qn+1 lim ee <1 no} Ay 1 nosso objetivo aqui é obter uma desigualdade do seguinte tipo com esse limite: Ix) <b onde b sera 0 raio de convergéncia da série. Nesse sentido, temos 0 seguinte desenvolvimento: 4 1 An+3 lim fest | — lim oa Ix n>] Ay no} 4nx4n—! 1 = lim +7 -|x4| noo n = |x|? . . . a Fazendo a imposi¢ao de que: limy_;.0 es < 1 temos que: an . Gn+1 4 fim "|< => |x\"<1 nol Ay Portanto, temos que: Ix] <1 disso temos que 0 raio de convergéncia da série dada é R = 1. Questao 2 Calcularemos uma série de poténcia para a fungao f(x) = In|(1 —x)|. Para tanto, basta recorrer- mos ao conhecido resultado da série de poténcia de In|(1 + y)| que nos diz que: oo (-1)""! In|(1+y)| = }) ———y" n=1 n entao fazendo y = —x obtemos que: (a9) = Ye Inj(l—x)| = ~—____(—x)" n=1 n co (| n+l _— y ( ) (—1)” x n n=1 co (| 2n+1 _— y ( ) xt n=1 n _ y aa" n=1 | 2 e com isso temos que a série de poténcia da fungao pedida é: co x” In|(1—x)| = y —— n n=1 Agora, definamos a, = —— 0 termo geral da série de poténcia de f(x) = In|(1—x)|. Com isso n determinaremos 0 raio de convergéncia da série usando o teste da razao, onde calcularemos 0 seguinte limite: . an+1 lim al n—-oo an e posteriormente, imporemos que: . Qn+1 lim al <1 n+} Ay nosso objetivo aqui é obter uma desigualdade do seguinte tipo com esse limite: Ix) <b onde b sera 0 raio de convergéncia da série. Nesse viés, temos 0 seguinte desenvolvimento: An+1 _ xt n lim | ——} = lim |—— . — nv! An no} n+] — x" lim |". |x = lim |——__|- |x n—eo|n(1+1/n) li 1 Le = 1m | ———- |: |x n—eo| (1 + 1/n) = |al . tow : Qn+1 Fazendo a imposi¢ao de que: lim,_,..] ——| < 1 temos que: an . Qn+1 Him [| => |x| <1 n+} Ay Portanto, temos que: Ix] <1 disso temos que 0 raio de convergéncia da série dada é R = 1. 3