Lista 2 de Exercícios de Cálculo 2

a UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESP/RITO SANTO 2° LISTA DE EXERCICIOS DE CALCULO II Disciplina: Calculo II. Prof.: Filipe de Oliveira Barbosa. Livro.: Calculo Vol. 2, 7% edicgao, 2014, James Stewart. Contetido.: Sequéncias e Séries Numéricas e Série de Taylor. (Exercicio 1) Verifique se cada uma das sequéncias abaixo é convergente ou divergente. Calcule o limite, caso convergente. 3 *) aw svn et vn bm = n b) an = vn +1 n>1 n-1 i) Qy = na",aeER C) Gn = Yn senn —1\” d) an = — ; _({” ya n j) Qn = ( 7 ) e) Gn = Ya,a>1 _ n , (-1)" (n + 1)” Dan = a / 1 (Exercicio 2) Considere a sequéncia V2, V2V2, \/2V 2v2, ... a) Verifique que a sequéncia é crescente e limitada. b) Calcule o limite da sequéncia. (Exercicio 3) Seja a sequencia definida por a1 = 1 e an+1 = 1+ Van. Verifique se {an} é convergente e, em caso afirmativo, calcule seu limite. (Exercicio 4) Determine os quatro primeiros termos de cada seqiiéncia, analise a sua convergéncia e encontre o limite, caso exista: a) Gn = we "nn +2 b) a, = (-1)" te” _ (-))" ©) dn = “Gayl d) dn = sen(2n +1) +n 2n+ 1 oo . ns "1 . 1 (Exercicio 5) Considere a sequéncia an = 7 dx. Tomando p > 1, mostre que lim a, = Dod’ 1 x n>c p _ 1 v3 (Exercicio 6) Verifique se a sequéncia V2, Ja”, V2”? , -. converge. Se for convergente, calcule o limite dessa sequéncia. 9g” (Exercicio 7) Considere a sequéncia {=}. Calcule o limite dela por meio do Teorema do Sanduiche para sequéncias infinitas. nr (Exercicio 8) Estudaremos 0 crescimento das somas parciais da série harménica. ” dt a) Sabemos que Inz = / Tr para qualquer x > 0. Mostre que 1 1 1 1T+i4+..+- < 14lnn, 2 n para todo n > 2. 12 b) Sabendo que In 10 < 5 conclua que para qualquer m € N, r¢e4q04¢42 26 14" 2 ” 10™ 5 Isso mostra que, embora a série harménica seja divergente, suas somas parciais crescem muito lentamente. (Por exemplo, 1 1 1+ 5 +--+ qpi000 < 2401). 1 1 c) Considere a sequéncia an = 1 + 3 +..4—-—Inn,n> 1. Mostre que a sequéncia {an} 6 uma sequéncia decrescente limitada n inferiormente. O nimero 1 1 = lmil+=+..4+--—--1 é chamado de constante de Euler-Mascheroni e vale aproximadamente 0, 57721. (Exercicio 9) Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. oS (Law pS pee n=0 10” n=1 (n!)P on nt — 1 5) d* cos (“). Jef <1 8) a (arctg n)” oe 1 7 ) Dm(r+ yp) Pr b) D2 co 1 . co d —— i) (/1 + n? — n) ) a Vn + 1+ Jn » oF o° 1 \ 2022 Jn —— j 14+ 3 ° aan vUGes) (Exercicio 10) Classifique as séries abaixo em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: = 1 = _ a) S3(-1)"— d) So (-1)"nle " n=1 vn n=1 Inn “(1)” b “ee ATs) X n °) a 10” nl c —1)"= f ——— ) DI "= ) a 3 Fe (Exercicio 11) Determine o intervalo maximo de convergéncia de cada uma das séries de poténcias abaixo: 2 “Nn nm Sinn n a) ae d) yo (@ - &) n=1 n=1 co a” oo b ee n ) d ne e) D_(senn)a 10” = nl —-_ (x7 — 7)” f lg ) ami ) ) pe oD” n=1 n=1 (Exercicio 12) Usando derivacao e integragéo termo a termo, calcular as somas das séries de poténcias: co ge” oo hn ye 2) om n=1 n n=1 co co a” b 1)a” d ——_— ) Solr + Va ) aw oD n=0 n=2 (Exercicio 13) Determine as expanses em séries de poténcias em torno de zo = 0 das seguintes funcées e os valores de x para os quais essas expansoes sao validas: 1 22 ) 1) = Gyo OI) = Gay b) f@) = a> d) fl) =n (-S Ls) = —— x) = In | — > (1 + x) 1 + 32? (Exercicio 14) Desenvolva em série de poténcias de x as seguintes fungoes, indicando o intervalo de convergéncia. a) f(x) = xe” c) f(z) = sena? * 2 b) f(x) = cos? a d) f(z) = / sent dt 0 (Exercicio 15) Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes fungdes.Determine os valores de x para os quais a série converge. a) f(a) = ",c =0 c) f(z) = In(3+2),c=0 b) f(z) =1+27,c=2 d) f(x) = #7In(1+2),c =0 3