Atividade 2 - Cálculo 2 2021 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Cálculo II - Atividade 2 do Bloco 2 Aluno(a): ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas. 2,0 pt 1. Calcule a derivada d/dx (1/(1 - x^4)) como uma série de potências e determine o seu raio de convergência. 2,0 pt 2. Encontre uma representação em série de potências para a função f(x) = ln |1 - x| e seu raio de convergência. 1) d/dx (1/(1 - x^4)) Usando uma série geométrica como aproximação, 1/1 - x^4, temos uma razão r = x^4 1/1 - x^4 = 1 + x^4 + x^8 + x^12 + ... logo 1/1 - x^4 = ∑_(n=0)^∞ x^(4n) Fazendo a derivada de série encontrada, temos: d/dx (∑_(n=0)^∞ x^(4n)) = 4n⋅x^(4n-1) logo, d/dx (1/(1 - x^4)) = d/dx (∑_(n=0)^∞ x^(4n)) = ∑_(n=0)^∞ 4n⋅x^(4n-1) O raio de convergência será igual ao raio de convergência da série geométrica, logo: R = 1 2) f(x) = ln(1 - x) => f'(x) = -1/(1 - x) Usando uma série geométrica, temos: f'(x) = 1/1-x = ∑_(n=0)^∞ x^n Se fizermos a integral, temos: ∫ x^n = x^(n+1)/(n+1) logo f(x) = -∑_(n=0)^∞ x^(n+1)/(n+1) O raio de convergência de f(x) será igual ao raio de convergência da série geométrica, logo: R = 1