Aula 1-2022 1

Análise Harmônica Exercício: 1.72 Em um ventilador centrífugo (Figura 1.93a), em qualquer ponto o ar está sujeito a um impulso toda vez que a pá passa pelo ponto, como mostrado na Figura 1.93(b). A frequência desses impulsos é determinada pela velocidade de rotação do rotor n e pelo número de pás, N, do rotor. Determine as primeiras três harmônicas da variação de pressão mostrada na Figura 1.93(b) para n = 100 rpm e N = 4. Figura 1.93 (a) Ventilador centrífugo Figura 1.93 (b) Variação ideal da pressão em um ponto Pressão (psi) p_max = 100 7/4 7 5π/4 2π 9π/4 3π (s) Movimento Harmônico É o tipo mais simples de movimento periódico. x = A sin ωt (deslocamento) (dx/dt) = ωA cos ωt (velocidade) d²x/dt² = -ω² A sin ωt = -ω²x (aceleração) Aceleração é diretamente proporcional ao deslocamento, característica de um movimento harmônico simples. Semelhança entre movimento cíclico (harmônico) e movimento senoidal. Movimento Harmônico Definições e terminologia • Ciclo - Espaço de tempo durante o qual ocorre e se completa, com regularidade, um fenômeno; Ex: um resolução (2π) • Amplitude – O máximo deslocamento de um corpo vibratório em relação à sua posição de equilíbrio; • Período de oscilação – O tempo que leva para concluir um ciclo de movimento; τ = 2π / ω • Frequência de oscilação – O número de ciclo em função do tempo; f = 1 / τ = ω / 2π CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA VIBRAÇÕES MECÂNICAS FUNDAMENTOS E CONCEITOS BÁSICOS PROF. VILSON Teoria de Vibração: Estuda os movimentos oscilatórios de corpos e as forças associadas a eles. Vibração ou Oscilação: É qualquer movimento que se repete após um intervalo de tempo. A vibração de um sistema envolve a transferência alternada de sua energia: Sistemas Vibratórios Inclui um meio para armazenar: Energia Potencial (mola ou elasticidade); Energia Cinética (massa ou inércia); E a perda gradual de Energia (amortecimento). Energia Potencial Energia Cinética Conceitos Básicos Graus de Liberdade (gdl): É o número mínimo de coordenadas independentes para determinar as posições de todas as partes de um sistema a qualquer instante de tempo. Sistemas Discretos e Contínuos: Discretos ou de Parâmetros Concentrados: São sistemas com um número finito de graus de liberdade (gdl); Contínuos ou Distribuídos: São sistemas com infinitos de graus de liberdade (gdl); Conceitos Básicos Livre: O sistema oscila somente sob uma perturbação inicial, sem ação de forças após essa perturbação inicial. Forçada: É quando o sistema estiver sujeito a uma excitação externa. Obs: Se a frequência da força externa coincidir com uma das frequências naturais do sistema, ocorre o fenômeno da ressonância. Não Amortecida: É quando nenhuma energia é perdida ou dissipada por atrito ou outra resistência durante a oscilação. Amortecida: A energia é perdida durante a oscilação. Classificação de Vibrações Linear e não linear: Os componentes básicos do sistema (mola, massa e amortecedor) podem se comportarem de forma linear ou não linear. Determinístico e Aleatórios: Se o valor ou magnitude da excitação (força ou movimento) for conhecido a qualquer dado instante, a excitação é denominada determinística, logo a vibração resultante é determinística. A excitação é aleatória quando o valor da excitação em um dado instante não pode ser previsto, logo a vibração resultante é aleatória. Classificação de Vibrações Modelagem matemática/Equações governantes: Representa todos ao aspectos importantes do sistema com o propósito de obter as equações matemática que governam o comportamento do sistema. Solução das equações governantes: As equações do movimento devem ser resolvidas para determinar a resposta do sistema vibratório. Técnicas – Métodos padronizados para resolver equações diferenciais, Transformada de Lapalce, Métodos Matriciais, Métodos Numéricos entre outro. Interpretação dos Resultados Procedimento de Análise https://www.youtube.com/ watch?v=gyp0IAUMfYQ Exemplo 1: Exemplo 2: Rider Strut Tire Wheel Subscripts t: tire v: vehicle w: wheel r: rider s: strut eq: equivalent Mola Linear: A força da mola é proporcional à quantidade de deformação. E o trabalho (U) realizado na deformação de uma mola é armazenado como deformação ou energia potencial na mola. Elemento de Mola 2 1 , 2 F kx U kx = = Elemento de Mola Exemplo: Viga em balanço com uma massa m na extremidade. Pela resistência dos materiais, temos a deflexão estática da viga na extremidade: δ = Fl^3 / 3EI logo, F = kδ → k = F/δ = 3EI/l^3 (a) Sistema atual (b) Modelo com um único grau de liberdade Elemento de Mola Associação de Molas: Molas em paralelo Temos, W = k1 δst + k2 δst = keq δst keq = k1 + k2 + ... + kn Elemento de Massa Exemplo: Resolução Constante elástica equivalente k_eq em relação a θ: Energia Potencial V = \frac{1}{2} k_1 x_1^2 + \frac{1}{2} k_{23} x_2^2 + \frac{1}{2} k_t \theta^2 + \frac{1}{2} k_4 x_3^2 onde, \dot{x}_1 = l_1 \dot{\theta}; \dot{x}_2 = l_2 \dot{\theta}; \dot{x}_3 = l_3 \dot{\theta}; k_{23} = \frac{k_2 k_3}{k_2 + k_3}; logo, \frac{1}{2} k_{eq} \dot{\theta}^2 = \frac{1}{2} k_1 (l_1 \dot{\theta})^2 + \frac{1}{2} k_{23} (l_2 \dot{\theta})^2 + \frac{1}{2} k_t \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} k_4 (l_3 \dot{\theta})^2 k_{eq} = k_1 l_1^2 + \frac{k_2 k_3}{k_2 + k_3} l_2^2 + k_t + k_4 l_2^2 Massa equivalente J_{eq} em relação a θ: Energia Cinética T = \frac{1}{2} m_1 x_1^2 + \frac{1}{2} m_2 x_2^2 + \frac{1}{2} m x_3^2 = \frac{1}{2} J_{eq} \dot{\theta}^2 Elemento de Amortecimento O mecanismo pelo qual a energia de vibração é gradativamente convertida em calor ou som é conhecido como amortecimento. Tipos: Amortecimento viscoso – o mais utilizado em análise de vibrações. Meios de atuação: Fluido (ar, gás, água, óleo, etc). A resistência oferecida pelo fluido ao corpo em movimento faz com que a energia seja dissipada. Amortecimento Coulomb ou atrito seco – a magnitude da força de amortecimento é constante, mas no sentido oposto ao movimento. Amortecimento material ou histerese – quando um material é deformado, ele absorve e dissipa energia. Elemento de Amortecimento Amortecimento material ou histerese – quando um corpo com amortecimento material é sujeito à vibração, o digrama tensão-deformação mostra um ciclo de histerese. Elemento de Amortecimento Amortecedor Viscoso – o amortecimento viscoso pode se construído usando duas placas paralelas. / = 0 1 2 (tensão de cisalhamento) F= /3 = 45 2 6 = 76 (Força de cisalhamento) 7 = 0 5 2 (constante de amortecimento) Elemento de Amortecimento Associação de Amortecedores: Quando amortecedores aparecem em associação, eles podem ser substituídos por um amortecedor equivalente, adotando-se um procedimento semelhante ao descrito com as molas e massas. c_eq = c_1 + c_2 + \cdots + c_n \text{ (Amortecedores em paralelo)} \frac{1}{c_eq} = \frac{1}{c_1} + \frac{1}{c_2} + \cdots + \frac{1}{c_n} \text{ (Amortecedores em série)} Elemento de Amortecimento Exemplo: 1.35 Determine uma única constante de amortecimento equivalente para os seguintes casos. (a) Quando três amortecedores estão em paralelo. (b) Quando três amortecedores estão em série. (c) Quando três amortecedores estão conectados a uma barra rígida (Figura 1.81) e o amortecedor equivalente está no ponto c_1. (d) Quando três amortecedores torcionais estão localizados a eixos engrenados (Figura 1.82) e o amortecedor equivalente está no ponto c_{f1}. Movimento Harmônico OP X Y → = + r r cos sen OP A t i A t j ω ω → = r + r Representação vetorial Movimento Harmônico Representação em números complexos , 1 X a ib i = + = − cos sen i X A iA Ae θ θ θ = + = 2 2 A a b = + tg 1 b a θ − = Movimento Harmônico Representação em números complexos E = 3 cos ) + F3 sen) = 3HIJ onde, ) = => Movimento Harmônico • Ângulo de fase – São dois movimentos denominados síncronos, porque tem a mesma frequência ou velocidade, ω. Duas oscilações síncronas não precisam ter a mesma amplitude e não devem atingir os seus valores máximos ao mesmo tempo. Movimento Harmônico •Frequência natural – Se, após uma perturbação inicial, um sistema continua a vibrar por si próprio sem a ação de forças externas a frequência que oscila é conhecida como frequência natural; • Batimentos – Quando dois movimentos harmônicos cujas frequências estão próximas uma da outra são somadas, o movimento resultante exibe um fenômeno conhecido como batimento. Movimento Harmônico •Oitava – Quando a valor máximo de uma faixa de frequência é duas vezes o seu valor mínimo, ela é conhecida como um faixa de oitava; Exemplo: 75 – 150 Hz, 150 – 300 Hz e 300 – 600 Hz. • Decibel – As variáveis quantidades encontradas na área da vibração e do som (como deslocamento, velocidade, aceleração, pressão e força) são frequentemente representadas usando a notação de decibel. 5 2 0 6 2 0 2.10 N/m - pressão 9,81.10 m/s - acelerção X X − − = = Valores de referências: Análise Harmônica Expansão por série de Fourier 0 0 0 0 2 2 2 ( ) , ( )cos , ( )sen n n a x t dt a x t n tdt b x t n tdt τ τ τ ω ω τ τ τ = = =    Qualquer função periódica de tempo pode ser representada por uma série de Fourier Análise Harmônica Fenômeno de Gibbs - Erro que aparece na vizinhança da descontinuidade do sinal periódico. Análise Harmônica Representação no domínio do tempo e da frequência Espectro de frequência Análise Harmônica Exemplo: Sistema came-seguidor l1 l2 Análise Harmônica Exemplo: Sistema came-seguidor A expansão por série de Fourier do movimento da válvula no sistema 0 0 0 0 2 2 2 ( ) , ( )cos , ( )sen n n a x t dt a x t n tdt b x t n tdt τ τ τ ω ω τ τ τ = = =    Análise Harmônica Exemplo: Sistema came-seguidor Termos da série: 0 0 0 0 2 2 2 ( ) , ( )cos , ( )sen n n a x t dt a x t n tdt b x t n tdt τ τ τ ω ω τ τ τ = = =    Análise Harmônica Exemplo: Sistema came-seguidor Rotina: Representação do Sinal // Disciplina: Vibrações Mecânica // Prof. Vilson // Exercício - Sistema Came-seguidor clc clear delete("all") //Dados: w = %pi; //frequência [rad/s] T = 2*%pi/w; //período [s] A = 1; //amplitude máxima tau = 2; //duração do pulso [s] N = 100; //número de termos da série t = 0:0.001:4*T; //vetor tempo [s] //FUNÇÃO PERIÓDICA: ONDA TRIANGULAR for i=1:length(t) ps=0; a0 = A; for n=1:N an(n) = (A*sin(n*%pi)*(2*n*%pi*cos(n*%pi)-sin(n*%pi)))/(n^2*%pi^2); bn(n) =(A*(-2*n*%pi*cos(2*n*%pi)+sin(2*n*%pi)))/(2*n^2*%pi^2); ps = ps + an(n)*cos(n*w*t(i))+bn(n)*sin(n*w*t(i)); end p(i) = a0/2 + ps; end //GRÁFICO scf(1) plot(t,p',"thickness",2) xtitle('$\LARGE{ONDA\;TRIANGULAR}$’) xlabel("$\LARGE{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\LARGE{Amplitude}$") xgrid(color("grey")) Análise Harmônica Exercício: Resolução Análise Harmônica Exercício: Resolução // Disciplina: Vibrações Mecânica // Prof. Vilson // Exercício - Rao(1.72) 16/04/2019 clc Clear delete("all") //Dados: nr = 100; //velocidade de rotação do rotor [rpm] np = 4; //número de pás w = nr*(2*%pi/60)*np; //frequência [rad/s] T = 2*%pi/w; //período [s] A = 100; //amplitude da pressão máxima [psi] tau = T/4; //duração do pulso [s] N = 100; //número de termos da série t = 0:0.0005:4*T; //vetor tempo [s] //ONDA QUADRADA for i=1:length(t) ps=0; a0 = A/2; for n=1:N an(n) = (A/(%pi*n))*sin(n*%pi/2); bn(n) =(2*A/(%pi*n))*sin(n*%pi/4)^2; //bn(n) =-(A/(%pi*n))*(cos(n*%pi/2) - 1); ps = ps + an(n)*cos(n*w*t(i))+bn(n)*sin(n*w*t(i)); end p(i) = a0/2 + ps; end //Resposta: disp('- As três primeiras harmônicas da variação da pressão [psi]:’) disp(an([1:3]),'Coeficientes de an:’) disp(bn([1:3]),'Coeficientes de bn:’) //GRÁFICO scf(1) plot(t,p',"thickness",2) xtitle('$\LARGE{FUNÇÃO\;IMPULSO\;DA\;PRESSÃO}$’) xlabel("$\LARGE{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\LARGE{Pressão\;[psi]}$") xgrid(color("grey")) Análise Harmônica Exercício: Resolução // Disciplina: Vibrações Mecânica // Prof. Vilson // Exercício - Rao(1.72) 16/04/2019 clc Clear delete("all") //Dados: nr = 100; //velocidade de rotação do rotor [rpm] np = 4; //número de pás w = nr*(2*%pi/60)*np; //frequência [rad/s] T = 2*%pi/w; //período [s] A = 100; //amplitude da pressão máxima [psi] tau = T/4; //duração do pulso [s] N = 100; //número de termos da série t = 0:0.0005:4*T; //vetor tempo [s] //ONDA QUADRADA for i=1:length(t) ps=0; a0 = A/2; for n=1:N an(n) = (A/(%pi*n))*sin(n*%pi/2); bn(n) =(2*A/(%pi*n))*sin(n*%pi/4)^2; //bn(n) =-(A/(%pi*n))*(cos(n*%pi/2) - 1); ps = ps + an(n)*cos(n*w*t(i))+bn(n)*sin(n*w*t(i)); end p(i) = a0/2 + ps; end //Resposta: disp('- As três primeiras harmônicas da variação da pressão [psi]:’) disp(an([1:3]),'Coeficientes de an:’) disp(bn([1:3]),'Coeficientes de bn:’) //GRÁFICO scf(1) plot(t,p',"thickness",2) xtitle('$\LARGE{FUNÇÃO\;IMPULSO\;DA\;PRESSÃO}$’) xlabel("$\LARGE{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\LARGE{Pressão\;[psi]}$") xgrid(color("grey"))