Vibrações Livres-2022 1

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA VIBRAÇÕES MECÂNICAS VIBRAÇÕES LIVRES PROF. VILSON Vibração livres sem amortecimento O sistema sofre vibração livre quando oscila somente sob uma perturbação inicial, sem a ação de nenhuma força após essa perturbação inicial. Sistema de translação não amortecido – Segunda Lei de Newton (equação do movimento) Solução da equação do movimento (x(t)): m\ddot{x} + kx = 0 \rightarrow x(t) = Ce^{st} \text{ (função harmônica no tempo)} onde C e s são constantes a determinar. Substituindo a solução na equação do movimento temos: C(ms^2 + k) = 0 ms^2 + k = 0 \quad \text{(equação característica)} s = \pm \left( -\frac{k}{m} \right)^{1/2} onde i = (-1)^{1/2} e, \omega_n = \left( \frac{k}{m} \right)^{1/2} \quad \text{(frequência natural de vibração do sistema)} Solução da equação do movimento (x(t)): onde C1 e C2 são constantes, → (solução da equação do movimento sujeita às condições iniciais) onde A1 e A2 são as novas constantes, se os valores iniciais do deslocamento e velocidade forem especificados, temos: (função harmônica no tempo) Solução da equação do movimento (x(t)): Podemos expressar a solução da equação do movimento de forma diferente com a introdução da notação: A_1 = A \cos \phi A_2 = A \sin \phi onde A e \phi são as novas constantes, A = (A_1^2 + A_2^2)^{1/2} = \left[ x_0^2 + \left( \frac{\dot{x}_0}{\omega_n} \right)^2 \right]^{1/2} = \text{amplitude} \phi = \text{tg}^{-1}\left(\frac{A_2}{A_1}\right) = \text{tg}^{-1}\left(\frac{\dot{x}_0}{x_0\omega_n}\right) = \text{ângulo de fase} Solução expressa como x(t) = A \cos (\omega_n t - \phi) Usando as relações, A_1 = A_0 \sin \phi_0 A_2 = A_0 \cos \phi_0 A solução pode ser expressa como, x(t) = A_0 \sin(\omega_n t + \phi_0) onde, A_0 = A \phi_0 = \text{tg}^{-1}\left(\frac{x_0 \omega_n}{\dot{x}_0}\right) Representação Gráfica da solução da equação do movimento (x(t)): Exemplo - Rotina: // Vibrações Mecânicas //Aula do 14/11/2016 - Atividade // Prof. Vilson // MODELO DINÂMICA // Massa-Mola /////| _______ /////| K | I /////|---xxx---| M | --> x(t) /////| |____| /////| _O____O____ clear; clc; delete ("all"); //Dados: M = 0.5; //kg K = 15; //N/m t0=0; // tempo inicial tf=5; // tempo final t = t0:0.01:tf; //vetor tempo x0=[1; 0]; // condicoes iniciais [desl. [m] ; vel. [m/s]] cont. function dx=MM(t, x) //Sistema de equação de primeira ordem dx = zeros(2,1); // vetor coluna dx(1) = x(2); dx(2) = -(K/M)*x(1); endfunction xe = ode(x0,t0,t,MM); //Vetor de estado a = -(K/M)*xe(1,:); //aceleração //Solução Exata wn = sqrt(K/M); //Freq. Natural [rad/s] xp = x0(1)*cos(wn*t)+(x0(2)/wn)*sin(wn*t); //[m] x(t) = x_0 \cos \omega_n t + \frac{\dot{x}_0}{\omega_n} \sin \omega_n t Exemplo - Rotina: //GRÁFICOS scf(1) subplot(311) plot(t,xe(1,:)) xtitle('$\Large{Deslocamento\;Linear}$’) xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{x\;[m]}$") xgrid(color("grey")) subplot(312) plot(t,xe(2,:)) xtitle('$\Large{Velocidade\;Linear}$’) xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{\frac{dx}{dt}\;[m/s]}$") xgrid(color("grey")) subplot(313) plot(t,a) xtitle('$\Large{Aceleração\;Linear}$’) xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{\frac{d^2x}{dt^2}\;[m/s]}$") xgrid(color("grey")) cont. scf(2) plot(t,xe(1,:)/max(xe(1,:)),'k--',t,xe(2,:)/max(xe(2,:)),'bo-',t,a/max(a),'r’) xtitle('$\Large{Variações\;de\;x(t)\;normalizado}$’) xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{\{\ddot x,\;\dot x,\;x\}\;[m]}$") legend(["$\large{Deslocamento}$","$\large{Velocidade}$","$\large{Aceleração}$"]) xgrid(color("grey")) scf(3) plot(t,xp,'ko',t,xe(1,:),'r’) xtitle('$\LARGE{Comparação:\;Exato\;X\;Numérico}$’) xlabel("$\LARGE{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\LARGE{x\;[m]}$") legend(["$\LARGE{Exato}$","$\LARGE{Numérico}$"]) xgrid(color("grey")) Exemplo - Rotina: Deslocamento Linear Velocidade Linear Aceleração Linear {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}} [\frac{m}{s}] {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}} [\frac{m}{s^{2}}] Variações de x(t) normalizado Deslocamento Velocidade Aceleração Tempo [s] Exemplo - Rotina: Solução exata da equação do movimento sujeita às condições iniciais: x(t) = x_0 \cos \omega_nt + \frac{\dot{x}_0}{\omega_n} \sin \omega_nt Solução numérica: {\left\{ {\dot{x}_1 \atop \dot{x}_2} \right\}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -K/M & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} Condições iniciais: X_0 = \left\{ {x_0 \atop \dot{x}_0} \right\} Comparação : Exato X Numérico Exato Numérico Tempo [s] Exemplo - Rotina: //ANIMAÇÃO DO SISTEMA // Massa-Mola /////| ______ /////| K | | /////|---xxxx---| M | --> x(t) /////| |______| /////| __O____O___ /////| scf(4); clf; X=xe(1,:); plot(X(1),0,"s")//desenhando o retângulo h = gce(); //propriedade do gráfico h.children.mark_size = 70; h.children.mark_background = 2; h_axes = gca(); h_axes.data_bounds = [-1.5,-0.4;1.5,0.4]; xtitle('$\LARGE{ANIMAÇÃO:\;Massa-Mola}$’); xlabel("$\LARGE{x\;[m]}$"); ylabel("$\LARGE{y\;[m]}$"); xgrid; isoview; cont. // Animação for i=1:length(X) drawlater(); h.children.data=[X(i),0]; drawnow(); end Vibração livre com amortecimento Exemplo 2.1: Vibração livre com amortecimento Exemplo 2.1: Rotina // Vibrações Mecânicas //Aula do 14/11/2016 - Atividade // Prof. Vilson // MODELO DINÂMICA // EXEMPLO 2.1 - RAO // CAIXA D'ÁGUA // ______ // | | // | M | --> x(t) // |______| // | // | // | // | L,Iz,E,K (viga engastada livre) // | // | // ___|____ // XXXXXXXXXX // Vibração livre com amortecimento Exemplo 2.1: Rotina cont... clear; clc; delete("all"); //Dados L = 300*12; //altura da caixa d'água [in] g = 386.4; //gravidade [in/s²] P =6e5; //peso da caixa d'água [lb] M = P/g; //massa [lb.s²/in] di= 8*12;//diâmetro interno [in] de= 10*12;//diâmetro externo [in] Iz= (%pi/64)*(de^4-di^4);//momento de inércia [in^4] E = 4e6; //módulo de Young [psi] cont.. //Rigidez - Viga engastada livre K = 3*E*Iz/L^3; //[lb/in] //Vetor tempo to=0; //tempo inicial tf=20; //tempo final t = to:0.05:tf; //[s] //Condicoes iniciais xo = 10; //[in] vo = 0; //[in/s] //SOLUÇÕES EXATAS wn = sqrt(K/M); //Freq. Natural [rad/s] T = 2*%pi/wn; //Período [s] x = xo*cos(wn*t)+(vo/wn)*sin(wn*t); //deslocamento v = -wn*xo*sin(wn*t)+vo*cos(wn*t); //velocidade a = -(wn^2)*xo*cos(wn*t)-vo*wn*sin(wn*t); //aceleração Vibração livre com amortecimento Exemplo 2.1: Rotina cont.. disp('a) Frequência natural e o período da vibração transversal da caixa d´água:’) disp(wn,'Frequência Natual [rad/s]’) disp(T,'Período [s]’) disp('c) Valores máximos da velocidade e aceleração da caixa d´água:’) disp(max(v),'Velocidade máxima [in/s]’) disp(max(a),'Aceleração máxima [in/s²]') Vibração livre com amortecimento Exemplo 2.1: Gráficos Vibração livre com amortecimento Exemplo 2.1: Animação cont... //ANIMAÇÃO DO PÊNDULO xo = 100; //[in] x = xo*cos(wn*t)+(vo/wn)*sin(wn*t); //deslocamento // Pontos xp(1) = 0; yp(1) = 0; xp(2) = x(1); yp(2) = L; cont... //Desenhando a caixa d'água scf(3); clf(); plot(xp,yp); //linha h1=gce(); h1.children.mark_style=0; h1.children.mark_size=10; h1.children.thickness=10; plot(xp(2),yp(2),"o"); // massa na ponta h2=gce(); h2.children.mark_size = 70; h2.children.mark_background=2; h2_axes=gca(); h2_axes.data_bounds = [-1000,0;1000,L+500]; xlabel("$\huge{x\;[in]}$"); ylabel("$\huge{y\;[in]}$"); xtitle('$\huge{Animação-Caixa\;d´água}$’); isoview; xgrid; Vibração livre com amortecimento Exemplo 2.1: Animação cont... // Animação for i=1:length(x) drawlater(); h1.children.data=[0,0;x(i),L]; //linha h2.children.data=[x(i),L]; //massa na ponta drawnow(); end Vibração livre com amortecimento Equação do movimento: mx cx kx = − − && & 0 mx cx kx + + = && & temos, Vibração livre com amortecimento Solução: 0 mx cx kx + + = && & temos, Substituindo na equação de movimento: (equação característica) Vibração livre com amortecimento Solução: 0 mx cx kx + + = && & temos, Substituindo na equação de movimento: (equação característica) Vibração livre com amortecimento Solução geral: x(t) = C_1e^{s_1t} + C_2e^{s_2t} onde as C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema. Constante de amortecimento crítico e o fator de amortecimento: O amortecimento crítico é definido quando o radical das raízes da equação características é igual a zero. \left(\frac{c_c}{2m}\right)^2 - \frac{k}{m} = 0 ; \quad c_c = 2m \sqrt{\frac{k}{m}} = 2\sqrt{km} = 2m\omega_n Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento é definido como: \zeta = \frac{c}{c_c} ; \quad \frac{c}{2m} = \frac{c}{c_c} \frac{c_c}{2m} = \zeta \omega_n Assim as raízes da equação característica pode escrita como: \quad s_{1,2} = \left( -\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1} \right) \omega_n Vibração livre com amortecimento Solução geral: x(t) = C_1 e^{\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right)\omega_n t} + C_2 e^{\left(-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right)\omega_n t} Para o caso de \zeta = 0, resulta em vibrações não amortecidas. Admitindo \zeta \neq 0 temos três casos a serem analisados: Caso 1. Sistema subamortecido (\zeta < 1 ou c < c_c ou c/2m < \sqrt{k/m}). Para essa condição, (\zeta^2 - 1) é negativo e as raízes s_1 e s_2 podem ser expressas como s_1 = (-\zeta + i\sqrt{1-\zeta^2})\omega_n s_2 = (-\zeta - i\sqrt{1-\zeta^2})\omega_n Vibração livre com amortecimento Solução geral: x(t) = e^{-\zeta \omega_n t}(C_1 e^{i \omega_d t} + C_2 e^{-i \omega_d t}) onde, \omega_d = \left(\sqrt{1-\zeta^2}\right)\omega_n \quad (frequência de vibração amortecida) Para as condições iniciais x(t = 0) = x_0 e \dot{x}(t = 0) = \dot{x}_0 C_1' = x_0 \quad e \quad C_2' = \frac{\dot{x}_0 + \zeta \omega_n x_0}{\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n} e, por consequência, a solução torna-se x(t) = e^{-\zeta \omega_n t}\left\{ x_0 \cos\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t + \frac{\dot{x}_0 + \zeta \omega_n x_0}{\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n}\sin\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t \right\} Vibração livre com amortecimento Solução geral: x(t) = e^{-\zeta\omega_n t}\left(C_1 e^{i\omega_d t} + C_2 e^{-i\omega_d t}\right) x(t) = Xe^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t + \phi)\quad\quad x(t) = X_0 e^{-\zeta\omega_n t}\cos(\omega_d t - \phi_0) Vibração livre com amortecimento Solução geral: x(t) = C_1 e^{s_1 t} + C_2 e^{s_2 t} Admitindo ζ ≠ 0: Caso 2. Sistema criticamente amortecido (ζ = 1 ou c = c_c ou c/2m = \sqrt{k/m}). Nesse caso, as duas raízes s_1 e s_2 da Equação são iguais: s_1 = s_2 = -\frac{c_c}{2m} = -ω_n Vibração livre com amortecimento Solução geral: Admitindo ) ≠ 0: Vibração livre com amortecimento Solução geral: x(t) = C_1 e^{(-ζ + \sqrt{ζ^2 - 1}) ω_n t} + C_2 e^{(-ζ - \sqrt{ζ^2 - 1}) ω_n t} Admitindo ζ ≠ 0: Caso 3. Sistema superamortecido (ζ > 1 ou c > c_c ou c/2m > \sqrt{k/m}) \sqrt{ζ^2 - 1} > 0, a Equação mostra que as raízes s_1 e s_2 são reais e distintas e são dadas por s_1 = (-ζ + \sqrt{ζ^2 - 1}) ω_n < 0 s_2 = (-ζ - \sqrt{ζ^2 - 1}) ω_n < 0 com s_2 << s_1. Nesse caso, a solução, pode ser expressa como x(t) = C_1 e^{(-ζ + \sqrt{ζ^2 - 1}) ω_n t} + C_2 e^{(-ζ - \sqrt{ζ^2 - 1}) ω_n t} Vibração livre com amortecimento Solução geral: x(t) = C_1 e^{(-ζ + \sqrt{ζ^2 - 1}) ω_n t} + C_2 e^{(-ζ - \sqrt{ζ^2 - 1}) ω_n t} Admitindo ζ ≠ 0: Para as condições iniciais x(t = 0) = x_0 e \dot{x}(t = 0) = \dot{x}_0, podemos obter as constantes C_1 e C_2: C_1 = \frac{x_0 ω_n (ζ + \sqrt{ζ^2 - 1}) + \dot{x}_0}{2 ω_n \sqrt{ζ^2 - 1}} C_2 = \frac{-x_0 ω_n (ζ - \sqrt{ζ^2 - 1}) - \dot{x}_0}{2 ω_n \sqrt{ζ^2 - 1}} Vibração livre com amortecimento Solução geral: x(t) = C1e^{(-ζ+√{ζ^2-1})ωnt} + C2e^{(-ζ-√{ζ^2-1})ωnt} Admitindo ζ ≠ 0 : Superamortecido (ζ > 1) Criticamente amortecido (ζ = 1) Não amortecido (ζ = 0) Subamortecido (ζ < 1) (ωd é menor do que ωn) Vibração livre com amortecimento Simulação: rotina //VIBRAÇÕES MECÂNICAS //VIBRAÇÃO LIVRE /// Sistema MASSA-MOLA-AMORTECEDOR // M.du²/dt + C.du/dt + K.u(t) = 0 -> Equação do Movimento. clear; clc; delete; //Dados t = 0:0.01:5; // [s] xo = 0.4; // [m] vo = 0.3; // [m/s] m = 5; // [Kg] k = 55; // [N/s] wn = sqrt(k/m); // [rad/s] c = 5; // [N.s/m] im = sqrt(-1); Xi = [0 0.2 2]; // fator de amorteciemento Vibração livre com amortecimento Simulação: rotina cont... u1 = []; u2=u1; u3=u1; u4=u1; for i = 1:length(t) //não amortecido wd = sqrt(1-Xi(1)^2)*wn; C1 = xo; C2 = (vo+Xi(1)*wn*xo)/wd; u1(i,:) = exp(-Xi(1)*wn*t(i))*(C1*cos(wd*t(i))+C2*sin(wd*t(i))); du1(i,:) = exp(-t(i)*wn*Xi(1))*((C2*wd-C1*wn*Xi(1))*cos(t(i)*wd)-(C1*wd+C2*wn*Xi(1))*sin(t(i)*wd)); //subamortecido wd = sqrt(1-Xi(2)^2)*wn; C2 = (vo+Xi(2)*wn*xo)/wd; u2(i,:) = exp(-Xi(2)*wn*t(i))*(C1*cos(wd*t(i))+C2*sin(wd*t(i))); du2(i,:) = exp(-t(i)*wn*Xi(2))*((C2*wd-C1*wn*Xi(2))*cos(t(i)*wd)-(C1*wd+C2*wn*Xi(2))*sin(t(i)*wd)) ; X = sqrt(C1^2+C2^2); A = X*exp(-Xi(2)*wn*t); Vibração livre com amortecimento Simulação: rotina cont... //superamortecido C1 = (xo*wn*(Xi(3)+sqrt(Xi(3)^2-1))+vo)/(2*wn*sqrt(Xi(3)^2-1)); C2 = (-xo*wn*(Xi(3)-sqrt(Xi(3)^2-1))-vo)/(2*wn*sqrt(Xi(3)^2-1)); u3(i,:) = C1*exp((-Xi(3)+sqrt(Xi(3)^2-1))*wn*t(i))+C2*exp((-Xi(3)-sqrt(Xi(3)^2-1))*wn*t(i)); du3(i,:) = C1*exp(t(i)*wn*(-Xi(3)+sqrt(-1+Xi(3)^2)))*wn*(-Xi(3)+sqrt(-1+Xi(3)^2))+C2*exp(t(i)*wn*(-Xi(3)-sqrt(- 1+Xi(3)^2)))*wn*(-Xi(3)-sqrt(-1+Xi(3)^2)); //criticamente amortecido C1 = xo; C2 = vo+wn*xo; u4(i,:) = (C1+C2*t(i))*exp(-wn*t(i)); du4(i,:) = exp(-t(i)*wn)*(C2-C1*wn-C2*t(i)*wn); end Vibração livre com amortecimento Simulação: rotina cont... //GRÁFICOS scf(1) plot(t,real(u1.'),'r',t,real(u2.'),'b',t,real(u3.'),'k--',t,u4.','g’) xtitle('$\Large{FATOR\;DE \;AMORTECIMENTO \; - \; \xi}$’); xlabel("$\Large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\Large{u\;[m]}$") legend(['$\Large{\xi = 0\;- \;Não\;Amortecido}$','$\Large{\xi<1\;- \;Subamortecido}$','$\Large{\xi>1\;- \;Superamortecido}$','$\Large{\xi=1\;-\;Criticamente Amortecido}$’]) xgrid(color("grey")); Vibração livre com amortecimento Simulação: rotina cont... scf(2) plot(t,real(u2.'),'r',t,real(A),'b--',t,real(-A),'b--’) xtitle('$\Large{MASSA-MOLA-AMORTECEDOR}$’); xlabel("$\Large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\Large{u\;[m]}$") legend(['$\Large{Deslocamento}$','$\Large{Amplitude\;(Xe^{- \xi\omega_n t}})$’]) xgrid(color("grey")); Vibração livre com amortecimento Simulação: rotina cont... scf(3) plot(real(u1),real(du1),'-- r',real(u2),real(du2),'b',real(u3),real(du3),'-- g',real(u4),real(du4),'--k',xo,vo,'o’) xtitle('$\Large{PLANO \;DE \;FASE \;DE \;SISTEMA \;AMORTECIDO}$’); xlabel("$\Large{Deslocamento\;[m]}$") ylabel("$\Large{Velocidade\;[m/s]}$") legend(['$\Large{\xi = 0\;- \;Não\;Amortecido}$','$\Large{\xi<1\;- \;Subamortecido}$','$\Large{\xi>1\;- \;Superamortecido}$','$\Large{\xi=1\;-\;Criticamente Amortecido}$','$\Large{\{x_o,v_o\}-\;Condições\;inicias}$’]) xgrid(color("grey")); Vibração livre com amortecimento Decremento logarítmico: Decaimento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. É definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vibração livre com amortecimento Coulomb Atrito seco: Vibração livre com amortecimento Coulomb Atrito seco: A equação pode ser expressa como uma única equação ( ) N = mg ATIVIDADE 2.91 Uma locomotiva de 2.000 kg de massa que está viajando a uma velocidade v = 10 m/s é parada no final da via férrea por um sistema mola-amortecedor, como mostra a Figura 2.92. Se a rigidez da mola for k = 40 N/mm e a constante de amortecimento for c = 20 N.s/mm, determine: (a) o deslocamento máximo da locomotiva após alcançar as molas e o amortecedor; (b) o tempo que leva para atingir o deslocamento máximo. FIGURA 2.92 Equação do Movimento mx¨ + cx˙ + kx = 0 ou x¨ + \frac{c}{m}x˙ + \frac{k}{m}x = 0 ⇒ x¨ + 2ζωnx˙ + ωn^2x = 0 onde, ζ = \frac{c}{cc} ⇒ cc = 2√km e, ωn = \sqrt{\frac{k}{m}} Sistema de equações de 1ª ordem: {y'1 y'2} = [0 1] [-ωn^2 -2ζωn] {x1 y2} Resolução: Rotina // Disciplina: Vibrações Mecânica // Prof. Vilson // Exercício - Rao(2.91) 16/04/2019 - Prof. Vilson clear; clc; delete("all"); // Equação do Movimento // m*d^2x/dt^2 + c*dx/dt + kx = 0 // d^2x/dt^2 + (2*csi*wn)*dx/dt + (wn^2)*x = 0 //DADOS m = 2000; //massa [kg] k = 40000; //rigidez[N/m] c = 20000; //amortecimento [N.s/m] vo = 10; //velocidade [m/s] c_c = 2*sqrt(k*m); //amortecimento crítico [N.s/m] wn = sqrt(k/m); //frequência natural [rad/s] csi = c/c_c; //fator de amortecimento cont... to = 0; //tempo inicial [s] tf = 3; //tempo final [s] dt = 0.001; //incremento t = to:dt:tf; //vetor tempo [s] yo = [0;vo]; //condicoes iniciais [deslocamento - m ; velocidade - m/s] Simplificação do modelo: Resolução: Rotina cont... //ODE A = [0,1;-wn^2,-2*csi*wn]; //Matrizes de Estado function ydot=locomotiva(t, y, A) ydot=A*y; endfunction ye = ode(yo,to,t,locomotiva); //Resposta - Vetor de estado //organizando os dados numéricos x = ye(1,:); //deslocamentos v = ye(2,:); //velocidades x_max = max(x); T = t(find(x==x_max)); Resolução: Rotina cont... //visualizando respostas mtlb_fprintf('Fator de amortecimento (maior que 1, superamortecido): %1.4f \n', csi); mtlb_fprintf('a) Valor do deslocamento máximo: %1.4f m\n', x_max); mtlb_fprintf('b) Valor do tempo para alcançar o deslocamento máximo: %1.4f s\n', T); Resolução: Rotina //GRÁFICOS scf(1) subplot(211) plot(t,x,T,x_max,'ro’) xtitle('$\LARGE{Deslocamento\;Linear}$’); xlabel("$\LARGE{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\LARGE{x\;[m]}$") xgrid(color("grey")); subplot(212) plot(t,v) xtitle('$\LARGE{Velocidade\;Linear}$’); xlabel("$\LARGE{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\LARGE{\frac{dx}{dt}\;[m/s]}$") xgrid(color("grey")); Resolução: Rotina //ANIMAÇÃO DO SISTEMA // Massa-Mola-Amortecedor scf(2); clf; X=x; plot(X(1),0,"s")//desenhando o retângulo h = gce(); //propriedade do gráfico h.children.mark_size = 70; h.children.mark_background = 2; h_axes = gca(); h_axes.data_bounds = [-0.2,-0.2;1,0.2]; xtitle('$\LARGE{ANIMAÇÃO:\:Massa-Mola-Amortecedor}$'); xlabel('$\LARGE{x\:[m]}$'); ylabel('$\LARGE{y\:[m]}$'); xgrid; isoview; cont... // Animação for i=1:length(X) drawlater(); h.children.data=[X(i),0]; drawnow(); end ANIMAÇÃO : Massa – Mola – Amortecedor Simplificação do modelo: