Slide - Vibrações Forçadas - 2023-2

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA VIBRAÇÕES MECÂNICAS VIBRAÇÃO FORÇADA PROF. VILSON Forças Externas Um sistema mecânico sofre vibração forçada sempre que a energia externa é fornecida ao sistema durante a vibração. A energia externa pode ser fornecida ao sistema por meio de uma força aplicada ou por uma excitação de deslocamento imposto. • Força externa impostas da forma: • Harmônica • Não harmônica periódica • Não periódica • Aleatória Excitação harmônica na forma: F(t) = F₀e^(i(ωt+φ)) F(t) = F₀ cos(ωt + φ) F(t) = F₀sen(ωt + φ) Resposta de um sistema não amortecido – Força harmônica: Fator de amplificação: X/δ_st X = δ_st/((ω/ω_n)² - 1) razão de frequências r = ω/ω_n Fator de ampliação de um sistema não amortecido: É observado três tipos de resposta do sistema. Representação Numérica //GRÁFICOS SOLUÇÃO PARTICULAR Tempo [s] FORÇA EXCITADORA Tempo [s] FATOR DE AMPLIAÇÃO DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO Razão de frequência [r = ω/ω_n] Resposta de um sistema não amortecido – Força harmônica: Solução geral Resposta de um sistema não amortecido – Força harmônica: Caso 1 – 0 < ω/ ωn < 1 Resposta harmônica do sistema xp(t) está em fase como a força externa. Resposta de um sistema não amortecido – Força harmônica: Caso 2 – ω/ ωn > 1 Resposta harmônica do sistema xp(t) está defasada 180° em relação a força externa. Resposta de um sistema não amortecido – Força harmônica: Caso 3 – ω/ ωn = 1 A amplitude X torna-se infinita. A condição para o qual a frequência forçante ω é igual à frequência natural ωn , é denominada ressonância. Resposta de um sistema não amortecido – Força harmônica: Fenômeno do Batimento: Ocorre quando a frequência forcante for próxima, mas não exatamente igual à frequência natural do sistema. Para 0 0 0 x = x & = Resposta de um sistema não amortecido – Força harmônica: Fenômeno do Batimento: Ocorre quando a frequência forcante for próxima, mas não exatamente igual à frequência natural do sistema. Representação Numérica //VIBRAÇÕES MECÂNICAS //VIBRAÇÃO FORÇADA /// Sistema MASSA-MOLA // M.du²/dt + K.u(t) = Fo.cos(wt) -> Equação do Movimento. clear clc delete("all") //Dados t = 0:0.01:20; //vetor tempo [s] xo = 0.1; //deslocamento inicial [m] vo = 0.3; //velocidade inicial [m/s] m = 0.5; //massa [kg] k = 55; //rigidez [N/m] wn = sqrt(k/m); //frequência natural [rad/s] im = sqrt(-1); Fo = 1; //amplitude da força [N] delta = Fo/k; //deflexão e = 0.4; //incremento w = [2 wn-e]; //vetor frequência de excitação r = t; //razão de frequência Representação Numérica cont... for i = 1:length(t) F(i,:) = Fo*cos(w(1)*t(i)); //força de excitação xp(i,:) = (Fo/(k-m*w(1)^2))*cos(w(1)*t(i)); //solução particular C1 = xo-Fo/(k-m*w(1)^2); C2 = vo/wn; x(i,:) = C1*cos(wn*t(i))+C2*sin(wn*t(i))+(Fo/(k-m*w(1)^2))*cos(w(1)*t(i)); //resposta forçada xr(i,:) = xo*cos(wn*t(i))+C2*sin(wn*t(i))+((delta*wn*t(i))/2)*sin(wn*t(i)); //Ressonância FA(i,:) = 1/(1-r(i)^2); //fator de amplificação //xb(i,:) = ((Fo/m)/(wn^2-w(2)^2))*(cos(w(2)*t(i))-cos(wn*t(i))); //Batimento para xo = vo = 0 xb(i,:) = ((Fo/m)/(2*e*w(2)))*sin(e*t(i))*sin(w(2)*t(i)); //Batimento para xo = vo = 0 Amp(i,:) = ((Fo/m)/(2*e*w(2)))*sin(e*t(i)); end Representação Numérica cont... //GRÁFICOS scf(1) plot(t,real(x),'k',t,real(xr),'r--’) xtitle('$\Large{MASSA-MOLA-FORÇADO}$’); xlabel("$\Large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\Large{x\;[m]}$") legend(['$\Large{Solução\;geral}$','$\Large{Sistema\;em\;ressonânica\;(\omega/\omega_n=1)}$']); xgrid(color("grey")); scf(2) plot(t,real(xb),'k',t,Amp,'r--',t,-Amp,'r--’) xtitle('$\Large{FENÔMENO\;DO\;BATIMENTO}$’); legend(['$\Large{Batimento}$','$\Large{Amplitude\;-\;(\frac{F_o/m}{2e\omega})\sin(et)}$']); xlabel("$\Large{tempo\;[s]}$") ylabel("$\Large{x(t)}$") xgrid(color("grey")); Representação Numérica cont... //GRÁFICOS scf(3) plot(r(1:200),real(FA(1:200)),'k’) xtitle('$\Large{FATOR\;DE\;AMPLIAÇÃO\;DE\;UM\;SISTEMA\;NÃO\;AMORTECIDO}$’); xlabel("$\Large{Razão\;de\;frequência\;[r=\omega/\omega_n]}$") ylabel("$\Large{X/\delta_{st}}$") xgrid(color("grey")); scf(4) subplot(211) plot(t,xp,'k’) xtitle('$\Large{SOLUÇÃO\;PARTICULAR}$’); xlabel("$\Large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\Large{x\;[m]}$") xgrid(color("grey")); subplot(212) plot(t,F,'k’) xtitle('$\Large{FORÇA\;EXCITADORA}$’); xlabel("$\Large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\Large{F\;[N]}$") xgrid(color("grey")); Representação Numérica //GRÁFICOS MASSA – MOLA – FORÇADO Solução geral Sistema em ressonância (ω/ω_n = 1) x [m] Tempo [s] FENÔMENO DO BATIMENTO Batimento Amplitude - (F_0/m/2εω)sin(εt) x(t) tempo [s] Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Resolução DCL O_x O_y F(t) = F_0 sen ω t F_1 a.senθ b.senθ l.senθ Ox Barra rígida uniforme, massa m F_2 k_2 k_1 M F(t) DD ≡ J_o θ ̈ Barra rígida uniforme, massa m O a b l M y ̈ onde, ẏ ̈ = lθ ̈ Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Resolução Equação do movimento geral: Σ M = Iα onde, F_1 a cosθ + F_2 b cosθ - F cosθ = -J_o θ ̈ - Ml ̈cosθ temos, F_1 = k_1 a senθ ; F_2 = k_2 b senθ ; F = F_0 senωt logo, k_1 a^2 senθ cosθ + k_2 b^2 senθ cosθ - F_0 senωt.l cosθ = -J_o θ ̈ - Ml ̈cosθ Para pequenas oscilações, temos: senθ ≈ θ; cosθ ≈ 1 Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Resolução Então, \(k_1 a^2 \theta + k_2 b^2 \theta - F_o sen \omega t l = -J_0 \ddot{\theta} - M l \ddot{l}\) \((J_0 + M l^2) \ddot{\theta} + (k_1 a^2 + k_2 b^2) \theta = F_o l sen \omega t\) (equação do movimento) Solução particular: \(\theta_p = \Theta sen\omega t\) Substituindo a solução particular na equação do movimento e fazendo as devidas derivações temos, \(\Theta = \frac{F_o l}{(k_1 a^2 + k_2 b^2) - (J_0 + M l^2) \omega^2}\) Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Resolução Equação do movimento: \(M_n \ddot{\theta} + K \theta = U_t\) ou \(\ddot{\theta} + \omega_n^2 \theta = u_t\); onde, \(M_n = J_0 + M l^2\) \(K = k_1 a^2 + k_2 b^2\) \(u_t = \frac{F_o l sen \omega t}{M_n}\) e \(\omega_n = \sqrt{\frac{K}{M_n}}\) Equações de Estado: \({\dot{y_1} \atop \dot{y_2}} = \left[ {0 \atop -\omega_n^2} {1 \atop 0} \right] {y_1 \atop y_2} + \left[ {0 \atop 1} \right] u_t\) onde, \({y_1 \atop y_2} = \left[ {-\theta \atop \dot{\theta}} \right]\) Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Rotina // Disciplina: Vibrações Mecânica // Prof. Vilson // Exercício - Rao(3.19) 16/04/2018 clear; clc; delete("all"); // b // |<---------------->. | F(t)=Fo.sin(w.t) // /|\ | // | k2.y2 _V__ /////|theta | | | ///// .----------.------- .------------| M | /////| /|\ m |____| // a | k1.y1 //// |<------>| // L // |<------------------------------>| // Equação do Movimento // d^2theta/dt^2 + (wn^2)theta = M(t) // onde, M(t)=(Fo.L.sin(w.t))/Mn e wn=sqrt(K/Mn) Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Rotina //DADOS L = 1; //comprimento da viga [m] g = 9.81; //gravidade [m/s²] M = 50; //massa na ponta da viga [kg] m = 10; //massa da viga [kg] Jo = (m*L^2)/3; //momento de inércia [kg.m²] k1 = 5000; //rigidez 1 [N/m] k2 = k1; //rigidez 2 [N/m] a = 0.25; //posicão da rigidez 1 [m] b = 0.5; //posicão da rigidez 2 [m] K = k1*a^2 + k2*b^2; //rigidez equivalente [N/m] Mn = Jo+M*L^2; //massa equivalente [kg] wn = sqrt(K/Mn); //frequência natural [rad/s] w = 1000*(2*%pi/60); //frequência de excitação [rad/s] Fo = 500; //magnitude da força de excitação [N] to = 0; //tempo inicial [s] tf = 10; //tempo final [s] dt = 0.01; //incremento t = to:dt:tf; //vetor tempo [s] yo = [0;0]; //condicoes iniciais [deslocamento [rad] ; velocidade [rad/s]] Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Rotina //ODE //Matriz de Estado A = [0,1;-wn^2,0]; B = [0;1]; //Sistemas de equações 1ª ordem function ydot=viga(t, y, A, u, B) ydot=A*y+B*u(t); endfunction //Força de Excitação function ut=u(t) ut=(Fo*L*sin(w*t))/Mn; endfunction //Resposta - Vetor de estado ye = ode(yo,to,t,list(viga,A,u)); Equações de Estado: \({\dot{y_1} \atop \dot{y_2}} = \left[ {0 \atop -\omega_n^2} {1 \atop 0} \right] {y_1 \atop y_2} + \left[ {0 \atop 1} \right] u_t\) \(A\) \(B\) onde, \({y_1 \atop y_2} = \left[ {-\theta \atop \dot{\theta}} \right]\) Ut=Fo*L*sin(w*t); //Força de excitação Theta = (Fo*L)/(K-(Mn)*w^2); \Ampltude da solução particular xp = Theta*sin(w*t); //solução particular r = w/wn; //razão de frequência \(\theta_p = \Theta sen\omega t\)\quad\Theta = \frac{F_o l}{(k_1 a^2 + k_2 b^2) - (J_0 + M l^2) \omega^2}\) Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Rotina //Visualização de parâmetros disp(r,'Razão de frequência:’) disp(Theta,'Amplitude da solução particular (°):’) disp(wn,'Frequência natural (rad/s):') Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Rotina //GRÁFICOS scf(1) subplot(211) plot(t,ye(1,:)) xtitle("$\Large{Deslocamento\;Angular}$"); xlabel("$\large{tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{\theta\;[rad]}$") xgrid(color("grey")); subplot(212) plot(t,ye(2,:)) xtitle('$\Large{Velocidade\;Angular}$’); xlabel("$\large{tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{\frac{d\theta}{dt}\;[rad/s]}$") xgrid(color("grey")); scf(2) plot(ye(1,:),ye(2,:)) xtitle('$\huge{Plano\;Fase}$’); xlabel("$\large{\theta\;[rad]}$"); ylabel("$\large{\dot{\theta}\;[rad/s]}$"); xgrid(color("grey")); Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Rotina //GRÁFICOS Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Rotina //GRÁFICOS scf(3) subplot(211) plot(t(1:250),Ut(1:250)) xtitle('$\huge{Força\;de\;Excitação}$’); xlabel("$\large{tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{F\;[N]}$") xgrid(color("grey")); subplot(212) plot(t(1:250),xp(1:250)) xtitle('$\huge{Solução\;Particular}$’); xlabel("$\large{tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{x_p\;[m]}$") xgrid(color("grey")); Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Rotina //ANIMAÇÃO DA VIGA X = L*cos(ye(1,:)); Y = -L*sin(ye(1,:)); // Pontos x(1) = 0; y(1) = 0; x(2) = X(1); y(2) = Y(1); //Desenhando a viga com a massa na ponta scf(4); clf(); plot(x,y); //viga h1=gce(); h1.children.mark_style=0; h1.children.mark_size=10; h1.children.thickness=3; pot(x(2),y(2),"s"); // ponta da viga h2=gce(); h2.children.mark_size = 40; h2.children.mark_background=2; h2_axes=gca(); h2_axes.data_bounds = [-0.1,-0.2;1.1,0.2]; xlabel("$\huge{x\;[m]}$"); ylabel("$\huge{y\;[m]}$"); xtitle('$\huge{Animação-Barra\;Rígida}$’); isoview; xgrid; Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício: Rao 3.19 - Rotina // Animação for i=1:length(X) drawlater(); h1.children.data=[0,0;X(i),Y(i)]; //viga h2.children.data=[X(i),Y(i)]; //ponta da viga drawnow(); end Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: ( ) 0 1/ 2 2 2 2 2 F X k m c ω ω =   − +     1 2 c tg k m ω φ ω − = − Equação do Movimento: Solução particular, máxima amplitude da solução particular e ângulo de fase, Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Representação: F(t) Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 st X r r δ ζ = − + 1 2 2 1 r tg r ζ φ −   =    −  Fator de ampliação e ângulo de fase: Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Fator de ampliação e ângulo de fase: Rotina clear; clc; delete("all"); r=0:0.01:3.5; //razão de frequência xi=[0.1 0.3 0.4 0.5 1 1.5 2 3 5]; //fator de amortecimento p1 = find(r==1); //pontos do vetor r p2 = find(r==3.5); //pontos do vetor r for i=1:length(xi) M(:,i) = 1./(sqrt((1-r.^2).^2+(2*xi(i)*r).^2)); //fator de ampliação phi1(:,i) = atan((2*xi(i)*r(1:p1))./(1-r(1:p1).^2)); //ângulo de fase phi2(:,i) = ( %pi+atan((2*xi(i)*r(p1+1:p2))./(1-r(p1+1:p2).^2))) //ângulo de fase end phi = [phi1 phi2]*(180/%pi); //ângulo de fase, vetor completo Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Fator de ampliação e ângulo de fase: Rotina cont... //Gráficos clf(1) subplot(121) plot(r.',M,r.',ones(1,length(r)),'k--',ones(1,length(r)),r.','k--’) h_axes = gca(); h_axes.data_bounds = [0,0;3.2,2.8]; xtitle('$\LARGE{Variação\;de\;X\;com\;a\;razão\;de\;frequência}$’); xlabel("$\LARGE{razão\;de\;frequência:\;r=\frac{\omega}{\omega_n}}$"); ylabel("$\LARGE{razão\;de\;amplitude:\;M=\frac{X}{\delta_{st}}}$"); legend(["$\LARGE{\zeta=0.1}$","$\LARGE{\zeta=0.3}$","$\LARGE{\zeta=0.4}$","$\LARGE{\zeta=0.5}$","$\LAR GE{\zeta=1}$","$\LARGE{\zeta=1.5}$","$\LARGE{\zeta=2}$","$\LARGE{\zeta=3}$","$\LARGE{\zeta=5}$"]) xgrid(color("grey")); Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Fator de ampliação e ângulo de fase: Rotina cont... subplot(122) plot(r,phi,ones(1,length(r)),phi(1,:),'k--’, r,90*ones(1,length(r)),'k--') h_axes = gca(); h_axes.data_bounds = [0,0;3.2,180]; xtitle('$\LARGE{Variação\;de\;\phi\;com\;a\;razão\;de\;frequência}$’); xlabel("$\LARGE{razão\;de\;frequência:\;r=\frac{\omega}{\omega_n}}$"); ylabel("$\LARGE{ângulo\;de\;fase:\;\phi}$"); legend(["$\LARGE{\zeta=0.1}$","$\LARGE{\zeta=0.3}$","$\LARGE{\zeta=0.4}$","$\LARGE{\zeta=0.5}$","$\LARG E{\zeta=1}$","$\LARGE{\zeta=1.5}$","$\LARGE{\zeta=2}$","$\LARGE{\zeta=3}$","$\LARGE{\zeta=5}$"]) xgrid(color("grey")); Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – Exemplo 3.2 RAO Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – Exemplo 3.2 RAO ( ) mx cx kx F t + + = && & ( ) ( ) ( ) h p x t x t x t = + Equação do Movimento: Solução da geral // Massa-Mola-Amortecedor com excitação /////| K ______ /////|---xxxx---| | /////| | M | --> F(t) /////|----|-----|______| /////| C _O____O__ // Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – Exemplo 3.2 RAO - Rotina // Dinâmica //Aula do 25/06/2019 - Atividade-Exemplo 3.2 Rao // Prof. Vilson // MODELO DINÂMICA // Massa-Mola-Amortecedor com excitação ////| K _______ ////|---xxxx---| | /////| | M | --> F(t) /////|-----|-----|______| /////| C _O____O__ // clear; clc; delete; cont... //Dados M = 10; //kg K = 4000; //N/m C = 20; //N.s/m Fo = 100; //N w = 10; //rad/s to=0; // tempo inicial tf=15; // tempo final t = to:0.01:tf; //vetor tempo xo=[0.01;0]; // condicoes iniciais [desl. [m] ; vel. [m/s];] Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – Exemplo 3.2 RAO - Rotina cont... //Matrizes de estado A = [0,1;-K/M,-C/M]; B = [0;1]; function ydot=MMA(t, y, A, u, B) ydot=A*y+B*u(t); Equações de Estado: endfunction function ut=u(t) ut=(Fo*cos(w*t)/M); //Força de Excitação endfunction xe = ode(xo,to,t,list(MMA,A,u)); //Vetor de estado F = Fo*cos(w*t); //Força de Excitação a = F/M-(C/M)*xe(2,:)-(K/M)*xe(1,:); //aceleração function dx=MMA2(t, x) //Definição da força aplicado tau=2; //tempo de duração da força if t < tau F=Fo*cos(w*t); else F=0; end //Sistema de equação de primeira ordem – Forçado/livre dx = zeros(2,1); // vetor coluna dx(1) = x(2); dx(2) = F/M-(C/M)*x(2)-(K/M)*x(1); endfunction x = ode(xo,to,t,MMA2); //Vetor de estado Fe = F; //Força de Excitação Fe(find(t==2):$) = 0; //zerando a força para t=2s Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – Exemplo 3.2 RAO - Rotina cont... function dx=MMA3(t, x) //Sistema de equação de primeira ordem – Sistema livre dx = zeros(2,1); // vetor coluna dx(1) = x(2); dx(2) = -(C/M)*x(2)-(K/M)*x(1); endfunction xl = ode(xo,to,t,MMA3); //Vetor de estado Equações de Estado: {ẏ1} = [ 0 1 ] {y1} {ẏ2} [-K/M -C/M] {y2} Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – Exemplo 3.2 RAO - Rotina //RESPOSTA TOTAL FORÇADA DO SISTEMA AMORTECIDO wn = sqrt(K/M); //frequência natural [rad/s] delta = Fo/K; //deflexão [m] csi = C/(2*sqrt(K*M)); //fator de amortecimento wd = sqrt(1-csi^2)*wn; ////frequência amortecida [rad/s] r = w/wn; // razão de frequência X = delta/(sqrt((1-r^2)^2+(2*csi*r)^2)); //Amplitude de xp(t) phi = atan(2*csi*r/(1-r^2)); // fase de xp(t) //visualização dos parâmetros mtlb_fprintf('Frequência natural: %1.4f rad/s\n', wn); mtlb_fprintf('Deflexão: %1.4f m\n', delta); mtlb_fprintf('Fator de amortecimento: %1.4f \n', csi); mtlb_fprintf('Frequência amortecida: %1.4f rad/s\n', wd); mtlb_fprintf('Razão de frequência: %1.4f \n', r); mtlb_fprintf('Amplitude da resposta particular: %1.4f m\n', X); mtlb_fprintf('Ângulo de fase da resposta particular: %1.4f°\n', phi*180/%pi); Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – Exemplo 3.2 RAO //GRÁFICOS scf(1) subplot(311) plot(t,F) xtitle('$\Large{Força\;de\;Excitação}$’); xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{F\;[N]}$") xgrid(color("grey")); subplot(312) plot(t,xe(1,:)) xtitle('$\Large{Deslocamento\;Linear}$’); xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{x\;[m]}$") xgrid(color("grey")); subplot(313) plot(t,xe(2,:)) xtitle('$\Large{Velocidade\;Linear}$’); xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{\frac{dx}{dt}\;[m/s]}$") xgrid(color("grey")); scf(2) subplot(311) plot(t,Fe) xtitle('$\Large{Força\;de\;Excitação}$’); xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{F\;[N]}$") xgrid(color("grey")); subplot(312) plot(t,x(1,:)) xtitle('$\Large{Deslocamento\;Linear}$’); xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{x\;[m]}$") xgrid(color("grey")); subplot(313) plot(t,x(2,:)) xtitle('$\Large{Velocidade\;Linear}$’); xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{\frac{dx}{dt}\;[m/s]}$") xgrid(color("grey")); Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – Exemplo 3.2 RAO //GRÁFICOS Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – Exemplo 3.2 RAO //GRÁFICOS scf(3) subplot(311) plot(t,xe(1,:)) xtitle('$\Large{Resposta\;Forçada}$’); xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{x\;[m]}$") xgrid(color("grey")); subplot(312) plot(t,xl(1,:)) xtitle('$\Large{Resposta\;Livre}$’); xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{x\;[m]}$") xgrid(color("grey")); subplot(313) plot(t,x(1,:)) xtitle('$\Large{Resposta\;Forçada-Livre}$’); xlabel("$\large{Tempo\;[s]}$") ylabel("$\large{x\;[m]}$") xgrid(color("grey")); Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – 3.24 RAO Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: Sistema massa-mola-amortecedor - Deslocamento da base e o deslocamento da massa em relação à sua posição de equilíbrio estático no tempo. Equação do movimento: Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: Resposta em regime permanente Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: A razão entre a amplitude da resposta xp(t) e a do movimento da base é denominada transmissibilidade de deslocamento. Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: z x y = − Se Sistema massa-mola-amortecedor -Movimento relativo: movimento da massa em relação a base. v v v Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: Exercício – Exemplo 3.3 RAO Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: Exercício – 3.42 RAO 3.42 Determine o deslocamento horizontal do piso (massa m) da estrutura de edifício mostrada na Figura 3.50 quando a aceleração do solo é dada por \( \ddot{x}_g = 100 \sin \omega t \) mm/s. Suponha que \( m = 2.000 \) kg, \( k = 0,1 \) MN/m, \( \omega = 25 \) rad/s e \( x_g(t = 0) = \dot{x}_g(t = 0) = x(t = 0) = \dot{x}(t = 0) = 0 \). Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: Exercício – 3.42 RAO Equação do movimento: \[ m \ddot{x} + k (x - x_g) = 0 \] onde, \[ z = x - x_g \] temos, \[ m (\ddot{z} + \ddot{x}_g) + k (x - x_g) = 0 \] \[ m\ddot{z} + kz = -m\ddot{x}_g = -mA \sin \omega t \] Aceleração harmônica: \( \ddot{x}_g = A \sin \omega t \) Integrando, temos: \[ \dot{x}_g = -\frac{A}{\omega} \cos \omega t + C_1 \] e, \[ x_g = -\frac{A}{\omega^2} \sin \omega t + C_1 t + C_2 \] Esquema representativo: Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: Exercício – 3.42 RAO Assumindo, \[ x_g(t = 0) = \dot{x}_g(t = 0) = 0 \] temos, \[ \dot{x}_g = -\frac{A}{\omega} \cos \omega t + C_1 \] \[ \dot{x}_g(t = 0) = 0 \rightarrow C_1 = \frac{A}{\omega} \] e, \[ x_g = -\frac{A}{\omega^2} \sin \omega t + C_1 t + C_2 \] \[ x_g(t = 0) = C_2 = 0 \] logo, \[ x_g = -\frac{A}{\omega^2} \sin \omega t + \frac{A}{\omega^2} t = \frac{A}{\omega^2} (t - \sin \omega t) \] Resposta de um sistema amortecido – Movimento harmônica de base: Exercício – 3.42 RAO Solução em regime permanente, zp = Z senωt temos, Z = -(mA)/(k - mω^2) logo, zp = xp - xg xp = zp + xg xp = -(mA)/(k - mω^2) senωt + (A/ω^2) (t - senωt) Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – 3.26 RAO Resposta de um sistema amortecido – Força harmônica: Exercício – 3.26 RAO Resposta à uma força periódica Função forçante geral não harmônica: • Periódica; • Não periódica. A função forçante pode agir em um tempo: • Curto; • Longo; • Infinito. • Se a duração da função forçante for pequena em comparação ao período natural do sistema, esta é denominada “choque”. Resposta à uma força periódica: Geral Seja F(t) uma força externa periódica com período 2π τ ω = Usando a série de Fourier, tem-se: Resposta à uma força periódica: Geral Para um sistema massa-mola-amortecedor temos: Equação de movimento Resposta à uma força periódica: Geral Pelo princípio da superposição, a solução em regime permanente é a soma das soluções em regime permanente: Equações de movimentos Resposta à uma força periódica: Geral Solução completa para regime permanente: Equação de movimento • A solução completa é a soma das soluções parciais. Resposta à uma força periódica: Geral Exemplo 4.1 – RAO Resposta à uma força periódica: Geral Exemplo 4.1 – RAO - Rotina // MODELO DINÂMICA // VÁLVULA: Massa-Mola-Amortecedor //Esquema // // ______ // | | // | | // X | // K X |_| c // X | // | | // _|___|_ // | M | // |______| // ^^^^^^ // |||||| P(t) // //Dados tau = 2; //período [s] to = 0; //tempo inicial [s] tf = 6; //tempo final [s] t = to:0.01:tf; //vetor tempo [s] d = 0.05; //diâmetro da câmera [m] Ar = %pi*d^2/4; //área da seção transversal da câmera [m²] w = 2*%pi/tau; //frequência de excitação [rad/s] M = 0.25;//kg K = 2500;//N/m C = 10; //N.s/m wn = sqrt(K/M);//frequência natural [rad/s] r = w/wn; //razão de frequência csi = C/(2*M*wn); //fator de amortecimento Resposta à uma força periódica: Geral Exemplo 4.1 – RAO - Rotina //PULSO TRINAGULAR - Força for i = 1:length(1:find(t==tau)) if t(i) <= tau/2 F(:,i) = 50e3*Ar*t(i); else F(:,i) = 50e3*Ar*(tau-t(i)); end end Resposta à uma força periódica: Geral Exemplo 4.1 – RAO - Rotina //APLICANDO A SÉRIE DE FOURIER N = 100; //número de termos da série Fmax = max(F); //amplitude máxima da força //FUNÇÃO PERIÓDICA: ONDA TRIANGULAR for i=1:length(t) Fs=0; a0 = Fmax; for n=1:N an = (2*Fmax)/(n^2*%pi^2)*(cos(n*%pi)-1); bn = 0; Fs = Fs + an*cos(n*w*t(i))+bn*sin(n*w*t(i)); end FS(i) = a0/2 + Fs; end Resposta à uma força periódica: Geral Exemplo 4.1 – RAO - Rotina //Solução particular for i=1:length(t) Xp=0; a = Fmax/(2*K); for n=1:N an = (2*Fmax)/(n^2*%pi^2)*(cos(n*%pi)-1); phi = atan(2*csi*n*r/(1-n^2*r^2)); Xp = Xp + ((an/K)/sqrt((1-n^2*r^2)^2+(2*csi*n*r)^2))*cos(n*w*t(i)-phi); end xp(i) = a + Xp; end Resposta à uma força periódica: Geral Exemplo 4.1 – RAO - Rotina //ODE yo = [0;0]; //condições iniciais [deslocamento - m ; velocidade - m/s] //Matrizes de Estado A = [0,1;-wn^2,-2*csi*wn]; B = [0;1]; function ydot=valvula(t, y, A, B) for i=1:length(t) Fs=0; a0 = Fmax; for n=1:N an = (2*Fmax)/(n^2*%pi^2)*(cos(n*%pi)-1); bn = 0; Fs = Fs + an*cos(n*w*t(i))+bn*sin(n*w*t(i)); end FS(i) = a0/2 + Fs; end //Sistema de equação de primeira ordem ydot=A*y+B*FS/M; endfunction ye = ode(y0,to,t,valvula); //Resposta - Vetor de estado Equações de Estado: { ẏ1 \ ẏ2 } = { 0 1 }{ y1 \ y2 } + { 0 }(F/M) [-ωn^2, -2ζωn] [ 1 ] onde, { y1 \ y2 } = { θ \ θ̇ } Resposta à uma força periódica: Geral Exemplo 4.1 – RAO - Rotina Resposta à uma força periódica: Geral Exemplo 4.1 – RAO - Rotina https://www.youtube.com/watch?v=XhOqm6T5CcE&feature=emb_rel_end Resposta à uma força periódica: Geral Exemplo 4.1 – RAO - Rotina //variável y = ye(1,:); scf(5);clf; plot(0,y(1),"s")//desenhando o retângulo h = gce(); //propriedade do gráfico h.children.mark_size = 40; h.children.mark_background = 2; h_axes = gca(); h_axes.data_bounds = [-d/2,-0.01;d/2,0.05]; xtitle('ANIMAÇÃO: Comportamento da Válvula’); xlabel('x [m]’); ylabel('y [m]’); xgrid; isoview; // Animação for i=1:length(t) drawlater(); h.children.data=[0,y(i)]; drawnow(); end