Slide - Aula 12 - Descontos - 2024-1

DESCONTOS AULA 12 Prof. Boris Asrilhant 1º semestre 2024 Curso de Administração da FACC - UFRJ Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 1: Os(as) alunos(as) não podem divulgar para terceiros ou divulgar em qualquer domínio público ou privado na internet, em nenhum momento (mesmo após o término da momento (mesmo após o término da disciplina), este arquivo ou o conteúdo deste arquivo, sob pena de infringir os direitos autorais do professor. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 2: Os slides deste arquivo se baseiam no livro: BOGGISS, G.J. et al. Matemática Financeira. 11ª ed. Rio de Janeiro: Editora FGV, Série Gestão Empresarial, 2012. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant OBJETIVOS DA AULA Objetivo Geral: Apresentar conceitos e aplicações relacionados aos descontos. Objetivos Específicos:  Entender os conceitos e sua utilização  Calcular Desconto Simples (Racional e Comercial)  Calcular Desconto Simples (Racional e Comercial)  Calcular o Desconto Composto (Racional e Comercial)  Fixar os conceitos através de exercícios Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant ESCOPO DA AULA Apresentação dos conceitos fundamentais e aplicações de operações de desconto. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant A operação de desconto (descapitalização) de um título de crédito a vencer em uma data futura e à operação de desconto de um ou mais títulos de crédito a vencerem em datas futuras. Exemplos de títulos de crédito descontados no mercado incluem duplicatas, notas promissórias e cheques pré datados. Nota promissória: promessa incondicional de pagar quantia determinada dada pelo emitente do título a terceiro. Duplicata: ordem de pagamento emitida pelo vendedor de uma mercadoria ou pelo prestador de um serviço. CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO ou pelo prestador de um serviço. Um título de crédito é um instrumento através do qual um comprador se obriga a pagar à empresa credora, na data do seu vencimento, a importância representada na fatura (valor futuro ou valor de face). Quando a empresa credora precisa do valor antes da data do vencimento, recorre a um banco comercial para que o banco troque esse título por um valor antecipado, que sofrerá um desconto no valor de face. A empresa fica com o valor descontado e o banco fica com a duplicata a ser cobrada do comprador na data do vencimento. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant A operação de desconto consiste em receber na data de hoje um ou mais valores a que se tem direito de receber somente no futuro (na data do vencimento). A abordagem adotada é a de analisar o problema do ponto de vista das pessoas físicas ou jurídicas que têm necessidade de caixa e não de quem cobra uma recompensa por adiantar o CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO caixa e não de quem cobra uma recompensa por adiantar o dinheiro. A ótica adotada nos problemas da disciplina é da empresa que está precisando de dinheiro hoje. Os bancos comerciais e empresas de fomento mercantil (empresas de factoring) representam as instituições que mais realizam esse tipo de operação. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant O valor nominal, valor de face ou valor de resgate (FV) de um titulo é o valor declarado, em que consta também a data do seu vencimento. Define-se desconto (D) como sendo o valor monetário resultante da subtração do valor nominal do titulo (FV) do seu valor presente (atual) descontado para n períodos antes do seu vencimento (Vdesc). Por isso, Vdesc é quanto o detentor do título recebe hoje na operação de desconto. Isto é, o valor do desconto, ou seja, da recompensa (juros) cobrada pelo adiantamento do valor presente descontado é expresso pela seguinte relação: CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO valor presente descontado é expresso pela seguinte relação: Desconto (D) = FV – Vdesc (ou seja, Juros) Existem operações de desconto simples quanto desconto composto de títulos de crédito. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO TAXA DE JUROS SIMPLES TAXA DE JUROS COMPOSTOS RACIONAL DESCONTO SIMPLES RACIONAL ou POR DENTRO (Drs) DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO (Drc) DESCONTO SIMPLES DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL DESCONTO SIMPLES COMERCIAL ou POR FORA (Dcs) DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL OU POR FORA (Dcc) O DESCONTO PODE SER CALCULADO PARA UM TITULO OU CONJUNTO DE TITULOS (DENOMINADO BORDERÔ) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Há dois tipos de operações de desconto quando lidamos com os conceitos relacionados ao regime de juros simples. (a) Desconto simples ou por dentro (ou financeiro ou racional, por seguir o racional da matemática financeira). CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO SIMPLES financeira). (b) Desconto simples ou por fora (ou comercial), que segue o racional das instituições financeiras e que por sua vez não segue o racional da matemática financeira. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant O desconto simples por dentro ou racional (Dr) é basicamente a utilização do juros simples. PV= FV /(1+ i x n) e FV = PV x (1 + i x n) Drs (J) = FV – PV => PV (Vdesc) = FV – Drs (*) CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO SIMPLES POR DENTRO OU RACIONAL Drs = FV – PV => Drs = PV x (1 + i x n) – PV Drs = PV x i x n = FV x i x n (*) (1 + i x n) PV também pode ser chamada de Vdesc Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 1) Uma empresa credora pretende descontar em um banco uma duplicata no valor de face de $2.000 e com prazo de vencimento em três meses é descontada por meio de uma taxa de juros simples por dentro (racional) de 2% a.m. Calcular: (a) o valor do desconto cobrado pelo banco na transação (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido EXERCICIO: DESCONTO SIMPLES POR DENTRO OU RACIONAL (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido hoje pela empresa credora. Dados: n= 3 meses; i = 2% a.m., FV = $2.000 Drs = FV x i x n (1 + i x n) PV (Vdesc) = FV – Drs Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 1) Uma empresa credora pretende descontar em um banco uma duplicata no valor de face de $2.000 e com prazo de vencimento em três meses é descontada por meio de uma taxa de juros simples por dentro (racional) de 2% a.m. Calcular: (a) o valor do desconto cobrado pelo banco na transação (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido EXERCICIO: DESCONTO SIMPLES POR DENTRO OU RACIONAL (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido hoje pela empresa credora. Dados: n= 3 meses; i = 2% a.m., FV = $2.000 Drs = FV x i x n (1 + i x n) (a) Drs= [$2.000 / (1 + 0,02x 3)] x 0,02 x 3 = $113,21 (b) Vdesc = FV – Drs = $2.000 - $113,21 = $1.886,79 (b) Vdesc = FV /(1+ i x n) = 2.000 / (1+ 0,02 x3) = $1.886,79 (a) Drs (J) = FV – Vdesc = 2.000 – 1.886,79 = $113,21 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant O valor monetário do desconto simples por fora ou comercial (Dcs) é definido pelo produto do valor nominal do titulo (FV), pela taxa de juros simples (i) e pelo prazo de antecipação para o desconto (n). Dcs = J = FV x i x n (*) (e não o PV x i x n, como no desconto racional) CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO SIMPLES POR FORA OU COMERCIAL Esta operação de desconto não utiliza as equações do regime de juros simples. Entretanto, este é o tipo de desconto usualmente praticado pelo mercado para títulos com prazo mais curto. O valor presente descontado por fora é: Vdesc = FV – Dcs (*) = FV – FV x i x n = FV x (1 – i x n) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 2) Uma empresa credora pretende descontar em um banco uma duplicata no valor de face de $2.000 e com prazo de vencimento em três meses é descontada por meio de uma taxa de juros simples por fora (comercial) de 2% a.m. Calcular: (a) o valor do desconto cobrado pelo banco na transação (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido EXERCICIO: DESCONTO SIMPLES POR FORA OU COMERCIAL (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido hoje pela empresa credora. Dados: n= 3 meses; i = 2% a.m., FV = $2.000 Dcs = FV x i x n Vdesc = FV – Dcs Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 2) Uma empresa credora pretende descontar em um banco uma duplicata no valor de face de $2.000 e com prazo de vencimento em três meses é descontada por meio de uma taxa de juros simples por fora (comercial) de 2% a.m. Calcular: (a) o valor do desconto cobrado pelo banco na transação (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido EXERCICIO: DESCONTO SIMPLES POR FORA OU COMERCIAL (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido hoje pela empresa credora. Dados: n= 3 meses; i = 2% a.m., FV = $2.000 (a) Dcs (J)= $2.000 x 0,02 x 3= $120 (b) Vdesc = FV - Dcs = $2.000 - $120 = $1.880 Dcs = FV x i x n Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Há dois tipos de operações de desconto quando se adotam os conceitos relacionados ao regime de juros compostos. (a) Desconto composto por dentro (ou racional ou financeiro) (b) Desconto composto por fora (ou comercial) CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO COMPOSTO (b) Desconto composto por fora (ou comercial) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant O desconto composto por dentro ou racional (Drc) segue a fórmula dos juros compostos. Drc (J) = FV - PV ; PV= FV /(1+ i)n ; FV = PV x (1+ i)n Drc = FV – FV /(1+ i)n = FV x [1 – 1/ (1+ i)n ] Drc = FV x [ (1+ i)n – 1] / (1+ i)n (*) CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO COMPOSTO POR DENTRO OU RACIONAL Drc = FV x [ (1+ i)n – 1] / (1+ i)n (*) Drc = PV x (1+i)n x [(1+ i)n - 1] /(1+ i)n = PV x [ (1+ i)n - 1] PV (Vdesc) = FV - Drc (*) PV também pode ser chamada de Vdesc Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 3) Uma empresa credora pretende descontar em um banco uma duplicata no valor de face de $2.000 e com prazo de vencimento em três meses é descontada por meio de uma taxa de juros composto por dentro (racional) de 2% a.m. Calcular: (a) o valor do desconto cobrado pelo banco na transação (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido EXERCICIO: DESCONTO COMPOSTO POR DENTRO OU RACIONAL (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido hoje pela empresa credora. Dados: n= 3 meses; i = 2% a.m., FV = $2.000 Drc = FV x [ (1+ i)n – 1] / (1+ i)n Vdesc = FV - Drc Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 3) Uma empresa credora pretende descontar em um banco uma duplicata no valor de face de $2.000 e com prazo de vencimento em três meses é descontada por meio de uma taxa de juros composto por dentro (racional) de 2% a.m. Calcular: (a) o valor do desconto cobrado pelo banco na transação (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido EXERCICIO: DESCONTO COMPOSTO POR DENTRO OU RACIONAL (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido hoje pela empresa credora. Dados: n= 3 meses; i = 2% a.m., FV = $2.000 (a) Drc = FV x [ (1+ i)n - 1] /(1+ i)n = $2.000 x [(1+0,02)3 - 1] /(1+ 0,02)3 = $115,36 (b) Vdesc = FV - Drc = $2.000 - $115,36 = $1.884,64 ou Vdesc (PV) = FV / (1+ i)n = $2.000 / (1+0,02)3 = $1.884,64 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant O desconto composto por fora ou comercial (Dcc) oferece uma fórmula da utilização dos juros compostos que não segue o racional da matemática financeira. PV (Vdesc)= FV x (1-i)n ATENÇÃO PARA O SINAL NEGATIVO DE (1-i)n CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO COMPOSTO POR FORA OU COMERCIAL PV (Vdesc)= FV x (1-i)n ATENÇÃO PARA O SINAL NEGATIVO DE (1-i)n Dcc = FV – PV = FV – FV x (1-i)n = FV x [1 - (1- i)n] (*) PV (Vdesc) = FV – Dcc (*) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4) Uma empresa credora pretende descontar em um banco uma duplicata no valor de face de $2.000 e com prazo de vencimento em três meses é descontada por meio de uma taxa de juros composto por fora (comercial) de 2% a.m. Calcular: (a) o valor do desconto cobrado pelo banco na transação (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido EXERCICIO: DESCONTO COMPOSTO POR FORA OU COMERCIAL (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido hoje pela empresa credora. Dados: n= 3 meses; i = 2% a.m., FV = $2.000 Dcc = FV x [1 - (1- i)n] Vdesc = FV - Dcc Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4) ) Uma empresa credora pretende descontar em um banco uma duplicata no valor de face de $2.000 e com prazo de vencimento em três meses é descontada por meio de uma taxa de juros composto por fora (comercial) de 2% a.m. Calcular: (a) o valor do desconto cobrado pelo banco na transação (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido EXERCICIO: DESCONTO COMPOSTO POR FORA OU COMERCIAL (b) o valor presente descontado da duplicata, a ser recebido hoje pela empresa credora. Dados: n= 3 meses; i = 2% a.m., FV = $2.000 (a) Dcc = FV x [1 - (1 - i)n] = $2.000 x [1 - (1- 0,02)3] = $117,62 (b) Vdesc = FV - Dcc = $2.000 - $117,62 = $1.882,38 ou Vdesc= FV x (1-i)n = $2.000 x (1-0,02)3 = $1.882,38 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO VALORES DESCONTADOS (QUANTO A EMPRESA RECEBE HOJE) TAXA DE JUROS SIMPLES TAXA DE JUROS COMPOSTOS $1.886,79 $1.884,64 RACIONAL $1.886,79 $1.884,64 COMERCIAL $1.880 $1.882,38 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Na prática se desconta um conjunto de títulos de crédito com prazos de vencimento distintos e não um titulo individualizado. Esse conjunto de títulos é denominado borderô, termo francês que significa listagem ou relação. CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO DE VÁRIOS TITULOS Em um borderô os títulos são considerados de acordo com os seus prazos de vencimento. Títulos com o mesmo prazo de vencimento ao invés de serem considerados individualmente passam a constituir um título único cujo valor é a soma dos valores de todos os títulos a serem descontados. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Por exemplo, um borderô contendo 5 títulos de $500 com vencimento de 60 dias pode ser considerado como um único titulo no valor de 5 x $500 ($2.500) com o mesmo prazo de vencimento (60 dias). Calcular o valor do desconto cobrado pelo banco e o valor presente descontado a ser recebido pela empresa CONCEITOS BÁSICOS: DESCONTO DE VÁRIOS TITULOS valor presente descontado a ser recebido pela empresa em um borderô requer o cálculo do desconto e o valor presente descontado para cada uma das datas de vencimento dos títulos, considerando os valores totais dos títulos relacionados a cada data de vencimento e depois somar esses valores. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5) Uma empresa pretende descontar em um instituição financeira o borderô de títulos com as características da tabela. A taxa de juros simples por fora (comercial) cobrada na operação é de 4,5% a.m. Calcule o valor do desconto total cobrado e o valor presente descontado total a ser recebido pela empresa nesse borderô. EXERCICIO: DESCONTO DE VÁRIOS TITULOS Sacado Vencimento Valor ($) Sacado Vencimento Valor ($) Empresa A 30 dias 1.000 Indústria B 60 dias 1.500 Indústria C 60 dias 2.000 Empresa D 90 dias 6.000 Empresa E 90 dias 4.000 Empresa F 90 dias 3.300 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5) Uma empresa pretende descontar em um instituição financeira o borderô de títulos com as características da tabela. A taxa de juros simples por fora (comercial) cobrada na operação é de 4,5% a.m. Calcule o valor do desconto total cobrado e o valor presente descontado total a ser recebido pela empresa nesse borderô. EXERCICIO: DESCONTO DE VÁRIOS TITULOS Prazo de Vencimento Valor ($) 30 dias 1.000 60 dias 3.500 90 dias 13.300 i = 4,5% a.m. = 4,5 / 30 = 0,15% a.d. = 0,0015 a.d. Valor de face total = $17.800 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant EXERCICIO: DESCONTO DE VÁRIOS TITULOS Desc30 = FV x i x n = $1.000 x 0,0015 x 30 dias= $45 Desc60 = FV x i x n = $3.500 x 0,0015 x 60 dias = $315 Desc90 = FV x i x n = $13.300 x 0,0015 x 90 dias = $1.795,50 Desc total = $45 + $315 + $1.795,50 = $2.155,50 VDesc total = VFtotal – Desc total = $17.800 - $2.155,50 = $15.664,50 OU OU VDesc30 = FV – D30= $1.000 - $45 = $955 VDesc30 = FV – D30= $1.000 - $45 = $955 VDesc60 = FV – D60 = $3.500 - $315 = $3.185 VDesc90 = FV – D90 = $13.300 - $1.795,50 = $11.504,50 VDesc total = $955 + $3.185 + $11.504,50 = $15.664,50 OU OU VDesc30 = FV x (1 – i x n)= $3.000 x (1 – 0,0015 x30) = $955 VDesc60 = FV x (1 – i x n)= $3.500 x (1 – 0,0015 x60) = $3.185 VDesc90 = FV x (1 – i x n)= $13.3000 x (1 – 0,0015 x90) = $11.504,50 VDesc total = $955 + $3.185 + $11.504,50 = $15.664,50 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant