Slide - Juros Simples - Mat Fin

© 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 1 Capítulo 1 Matemática Financeira Juros Simples © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 2 Juros simples Juros é a remuneração do capital empregado. Capital. Se aplicarmos o capital durante determinado período, obteremos um rendimento (montante) — ou seja, é igual ao capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação). Remuneração (rendimento do capital) é diferença entre o montante (S) e a aplicação (P). Assim, temos: 1.1 Conceitos básicos: juros, remuneração do capital e taxa de juros © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 3 Em uma aplicação financeira, o rendimento é o produto da taxa de juros (i) vezes o principal, tais como: Para cálculo do rendimento, igualando as duas expressões, pode-se obter o montante: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 4 Juros (porcentagem) e equivalente fracionário © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 5 Juros comerciais — são considerados os anos constituídos por meses de 30 dias. juros exatos — quando o número de dias corresponde àquele do ano civil (365 dias). Aqui, são considerados os anos comerciais (360 dias). Prazo da operação © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 6 A moeda nacional é representada por ‘$’ e a moeda estrangeira, por ‘US$’ (dólar norte-americano). Para as taxas de juros, usa-se a seguinte convenção: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 7 Exercícios 1. Calcular o rendimento de $12.000 aplicados durante os primeiros cinco meses do ano à taxa de juros simples de 40% a.a. Efetuar os cálculos considerando ano comercial (360 dias) e ano civil (365 dias). Dados: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 8 2. Qual é a taxa de juros simples que Transforma $4.500 em um montante de $8.100 em um ano? Dados: 8.100/4.500 = 1,8 ou 8.100 – 4.500 = 3.600/4.500 = 0,8 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 9 1.2 Regime de juros simples Não existe capitalização de juros nesse regime. Os juros de determinado período não são incorporados ao principal para a base de cálculo dos juros do período seguinte. O capital cresce a uma taxa linear, e a taxa de juros tem um comportamento linear em relação ao tempo. A taxa de juros pode ser convertida para outro prazo qualquer com base em multiplicações e divisões, sem alterar seu valor intrínseco (mantém a proporcionalidade existente entre valores realizáveis em diferentes datas). A aplicação dos juros simples é muito limitada — faz sentido apenas no curtíssimo prazo. Os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo principal. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 10 O rendimento de uma aplicação financeira — por um único período a que se refere a taxa de juros — pode ser calculado da seguinte forma: No regime de juros simples, dado o comportamento linear dos cálculos, se aplicarmos um capital durante n períodos a que se refere a taxa de juros, o rendimento poderá ser calculado como segue: Cálculo do rendimento a juros simples © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 11 Algumas vezes, o período de investimento é somente uma fração do período expresso na taxa de juros. Nos casos em que as unidades de tempo da taxa de juros e do período de investimento são diferentes, é necessário homogeneizá-las por meio de um ajuste na taxa. Períodos não inteiros © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 12 Exemplos de ajuste na taxa de juros Se a taxa de juros for mensal e o prazo de aplicação referir-se a dias: Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicação referir-se a meses: Se a taxa de juros for anual e o prazo da aplicação referir-se a dias: As taxas entre parênteses representam taxas proporcionais, homogêneas em relação ao prazo de aplicação. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 13 Ainda no regime de juros simples: Diagrama de fluxo de caixa No cálculo financeiro, serve para mostrar as transações financeiras em determinado período. Exemplo: Tempo = linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes na análise. Entradas ou recebimentos = setas verticais apontadas para cima. Saídas ou pagamentos = setas verticais apontadas para baixo. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 14 Exercício Calcular o rendimento de $12.000 aplicados durante os primeiros cinco meses do ano à taxa de juros simples de 40% a.a. Efetuar os cálculos considerando ano comercial (360 dias) e ano civil (365 dias). Dados: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 15 1.3 Determinação da data de vencimento e prazo das aplicações: contagem de dias entre duas datas Para determinar a data de vencimento e o prazo das aplicações, pode-se usar a tábua para contagem de dias entre duas datas (ver slide a seguir). Subtrair, do número de dias correspondente à data posterior, o número que corresponde à data anterior. Atenção: No caso de anos bissextos, acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 16 Tábua para contagem de dias entre duas datas © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 17 Juros simples: aplicações práticas • São bastante limitadas. • Têm pouca utilização em operações financeiras e comerciais. • Uso restrito a operações praticadas no curto prazo — nesse caso, em seus cálculos, não costumam apurar seu custo ou rentabilidade efetiva. • Basicamente, os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários, e não para determinar o resultado efetivo da operação. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 18 Exemplo: No desconto comercial ou bancário (ver Capítulo 4), os valores monetários (juros, valor de resgate, valor descontado etc.) são calculados pelos juros simples, mas o custo efetivo da operação (taxa de desconto efetiva exponencial) é determinado no regime de juros compostos (ver Capítulo 2). © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 19 Exercício Um capital de $1.000 aplicado em 12 de fevereiro a juros simples de 0,2% a.d. foi resgatado em 14 de julho do mesmo ano. Determinar o valor de resgate. Dados: Determinação do prazo usando a tábua para contagem de dias entre duas datas do ano civil: © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 1 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 1 Capítulo 2 Matemática Financeira Juros Compostos © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 2 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 2 Juros compostos 2.1 Regime de capitalização composta ou exponencial O regime de juros compostos é o mais comum no dia a dia do sistema financeiro e do cálculo econômico. • Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal, para o cálculo dos juros do período seguinte. • Também são denominados juros capitalizados. E chamamos de capitalização o processo de incorporação dos juros ao principal. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 3 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 3 Regime de juros simples e juros compostos Exemplo: Se aplicarmos $1.000 durante três anos à taxa de 20% a.a., teremos: Rendimentos e montantes © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 4 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 4 Exemplo de cálculo de juros Um investimento de $1.000, a juros simples de 20% a.a., ganha $200 por ano. Em três anos, o montante seria de $1.600. Se, à medida que forem recebidos, os juros forem incorporados ao principal, o montante será $1.728 ao término dos três anos. O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos que a juros simples. A juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo. Os rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam a render juros. A juros simples, o montante cresce linearmente, visto que os juros de determinado período não são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte — não há capitalização de juros nesse regime. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 5 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 5 2.2 Capitalização e desconto a juros compostos: cálculo do montante e do principal Para o montante de um capital aplicado a uma taxa de juros composta (i) durante três períodos, temos: Se generalizarmos para n períodos, podemos calcular diretamente o montante, S, resultante da aplicação do principal, P, durante n períodos a uma taxa de juros composta i, obtemos: A taxa de juros deve sempre referir-se à mesma unidade de tempo do período financeiro. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 6 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 6 Exemplo de cálculo de juros Na fórmula • O fator (1 + i)n é chamado fator de capitalização, ou fator de valor futuro para aplicação única. • Trata-se do número pelo qual devemos multiplicar o valor da aplicação inicial para obter seu valor futuro ou de resgate. • Pode ser encontrado nas tabelas financeiras (ver Apêndice) ou com o auxílio de calculadoras. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 7 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 7 Se o capital fosse de $1.000, a taxa composta, 20% a.a., e o prazo, três anos, o montante ao término do terceiro ano poderia ser calculado diretamente da seguinte forma: Como se pode ver, o cálculo do valor presente de um montante ou pagamento único é simplesmente o inverso do cálculo do montante: © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 8 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 8 De forma esquemática: Os fatores de valor futuro (1 + i) n e de valor presente (1 + i) −n permitem efetuar as operações: No diagrama: A seta horizontal superior representa o processo de desconto de um pagamento ou montante único. A seta inferior corresponde ao processo de capitalização de um principal. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 9 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 9 Os fatores (1 + i) n e (1 + i) −n têm a seguinte finalidade: Fator (1 + i)n: ‘empurra’ grandezas para a frente; permite encontrar o montante ou valor futuro de uma aplicação — capitaliza um principal até a data posterior. Fator (1 + i) −n: ‘puxa’ grandezas para trás; possibilita encontrar o principal de determinado montante — desconta um valor futuro até a data anterior. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 10 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 10 2.3 Uso básico da calculadora financeira HP 12c Calculadora HP 12c É a máquina mais utilizada no mundo das finanças. Possui até três funções por tecla: brancas (automáticas), amarelas e azuis (aparecem acima e abaixo das teclas). Para ativar as funções, pressionar as teclas: • (f) para as amarelas; ou • (g) para as azuis. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 11 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 11 Operações básicas da HP 12c © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 12 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 12 Exercício Qual é o capital que, em seis anos, à taxa de juros composta de 15% a.a., monta $14.000? Dados: © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 13 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 13 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 14 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 14 2.4 Equivalência de capitais a juros compostos O princípio de equivalência de capitais é fundamental na resolução dos problemas de cálculo financeiro. Por exemplo: Diz-se que dois capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data com a mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. Importante: No regime de juros compostos, dois conjuntos de obrigações equivalentes em determinada data também o serão em qualquer outra. No regime de juros simples, isso não ocorre (ver Capítulo 1). © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 15 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 15 Exercício Verificar se os conjuntos de capitais A e B são equivalentes, considerando-se uma taxa de juros composta de 10%. Dois conjuntos de capitais são equivalentes em determinada data focal quando a soma de seus valores atualizados para aquela data é igual. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 16 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 16 Escolhendo como data focal a data zero, tem-se: Verifica-se que os valores presentes dos dois conjuntos de capitais são iguais e, portanto, equivalentes. Essa equivalência permanecerá para qualquer outra data focal. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 17 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 17 2.5 Cálculo com prazos fracionários No cálculo financeiro a juros compostos: Às vezes, o prazo da aplicação não corresponde a um número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros, mas sim a um número fracionário. Alternativas: Cálculo pela convenção linear: os juros compostos são usados para a parte inteira do prazo, e os juros simples, para a parte fracionária do prazo. Cálculo pela convenção exponencial: os juros compostos são usados tanto para a parte inteira do prazo quanto para a parte fracionária do prazo. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 18 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 18 Um capital de $27.000 aplicado a juros de 6% a.m. rendeu $5.654,80. Determinar o prazo da aplicação em meses. Exercício Dados: Convenção exponencial: © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 19 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 19 Aplicando logaritmos: © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 20 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 20 Convenção linear: MATEMÁTICA FINANCEIRA Qual é a taxa anual de juros simples ganha por uma aplicação de $ 1.300 que produz após Qual é a remuneração obtida por um capital de $ 2.400 aplicado durante 17 meses à taxa de Calcular o rendimento de um capital de $ 80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 26% a.m. Em quantos meses um capital de $28.000 aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a. produz um montante de $38.080? Um capital aplicado transformou-se em $13.000. Considerando uma taxa de juros simples de 42% a.a. e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da aplicação. Um capital de $ 135.000 transformou-se em $ 180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de juros ganha na operação. Um capital de $4.500 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A primeira a juros simples de 4% a.t., a segunda a juros simples de 6% a.t. e a terceira a juros simples de 10% a.t. Se o rendimento da primeira parcela for de $160 e o rendimento das três parcelas totalizar $ 1.320, calcular o valor de cada parcela. Dois capitais, um de $2.400 e outro de $1.800, foram aplicados a uma mesma taxa de juros simples. Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias rendeu $17 a mais que o segundo em 30 dias. Uma empresa obteve um empréstimo de $200.000 a juros simples de 10% a.a. Algum tempo depois liquidou a dívida, inclusive juros, e tomou um novo empréstimo de $300.000 a juros simples de 8% a.a. Dezoito meses após o primeiro empréstimo liquidou todos seus débitos, tendo pago $35.000 de juros totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos dos dois empréstimos em meses. um ano um montante de $ 1.750? juros simples de 60% a.a.? LISTA 1 (a) Juros Simples e Juros Compostos MATEMÁTICA FINANCEIRA Uma empresa tem duas dívidas a pagar, a primeira, de $2.500, contratada a juros simples de 2,5% a.m., vence em 45 dias, e a segunda, de $3.500, a juros simples de 3% a.m., vence , em 90 dias. Calcular a quantia necessária para liquidar ambas as dívidas no 180 dia, Considerando que no 30a dia a primeira dívida foi amortizada com $1.500 e no 60a dia a segunda foi amortizada com $ 3.000 (data focal: 180a dia). Hoje uma pessoa tem duas dívidas, a primeira, de $8.000 vence em 36 dias e a segunda, de $12.000, vence em 58 dias. Propõe-se a pagá-las por meio de dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de 24% a.a., calcular o valor de cada pagamento Calcular o montante de uma aplicação de $ 3.500, pelas seguintes taxas efetivas e prazos: Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743 à taxa efetiva de 15% a.m.? Um investimento resultou em um montante de $ 43.000 no prazo de três meses. Se a taxa de juros efetiva ganha for de 10% a.m., calcular o valor do investimento. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a quatro anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de: a)13%a.t.; b)18%a.a.; c)14%a.s.; d)12%a.m. Uma pessoa deve pagar três prestações mensais de $3.500 cada, sendo a primeira para 30 dias. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a 3 meses, qual seria o valor desse pagamento considerando uma taxa de juros efetiva de 5% a.m.? Dispõe-se de duas formas de pagamento: a) pagamento à vista de $ 1.400; b) dois cheques pré-datados de $763,61 cada, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada. Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicações, qual será a melhor opção de compra: à vista ou a prazo? a) 4% a.m., 6 meses; b) 8% a.t., 18mes.es; c)12%a.a., 18 meses. LISTA 1 (b) Juros Simples e Juros Compostos MATEMÁTICA FINANCEIRA Nas vendas a crédito uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Desse valor Um apartamento pode ser comprado à vista por $320.000 ou pagando 20% de entrada mais duas prestações de $170.000 cada, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular o custo efetivo do financiamento. Se a taxa de juros vigente é de 2% a.m., qual será a melhor opção de compra? O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo, paga-se uma entrada mais três parcelas mensais de $2.000 cada, sendo a primeira daqui a um mês. Calcular o valor da entrada se a taxa de juros aplicada for de 7% a.m. imajorado, 20% é exigido como entrada e o resto será quitado em duas prestações mensais ue $1.058 cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Se o valor à vista é de $2.000, determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. LISTA 1 (c) Juros Simples e Juros Compostos