Caderno Ufrj 2011 2 Física 4

onde, introduzimos o operador Nabla: dl/dx del/dy d/dz CAMPO ESCALAR X VETORIAL: - Temperatura é um CAMPO ESCALAR. T = T (x, y, z) - correntes maritimas sao descritas por um CAMPO VETORIAL. - O campo elétrico também é um campo vetorial, e a sua forma mais geral pode ser escrito como: E (x, y, z) = Ex(x,y,z)x + E2(x,y,z)^ + E(*,x,y,z)^ Convencao: Unidades Cartesianas Exemplo: E(x,y) = x + x^ y_j^ CAMPO DIVERGENTE libbrosio Funcoes de Maxwell (forma integral) - Caso estático: Js E n dA = int guassiana e0 fc E d2 = 0 c campo endnoch Interpreta que o campo eletrocunetico a linha g UID - a stexa do campo magnético . Oloras mante a pro - x - Sancho A - Fondos simetres - Forma Diferencial ( Camo Dimanico) V E = Pint Juo - e0 V di reex direcre. campo eretrico e un cempo binamico V & E = uB) o iondos de ferre V B = 0 - o campo wnergatico nos o dinegro V X B = u| io A Rio, 10/08/2011 lbp@poli.ufrj.br FISICA IV-A (EBJ + IQB) Professor: Marcello Neto (mbam@eq.ufrj.br) Sala A-454 (Ramal: 7349) 1 http://www2.if.ufrj.br/~mbam/Fisica_4_2011_1/Texto Informacoes: Presenca obrigatoria Grupo de Yahoo: fjdsriofjz-subscribe@yahooengup.com.br Criterio de Aprovacao: P1 + P2 >= 7 AM 2 E3 RM ou MF + PF >= 5 AP 2 - Livro Texto: Young e Freedman Tipler e Mosca Moysés Caderno do Marcelle - Ementa do curso: - Ondas eletromagneticas 10/08/11 - Propriedades da luz - Interferencia e Difracao - Relatividade restrita - Origem da teoria quantica - Mecanica Quantica 17/11/11 Criterio de aprovacao: P1 - 03/10 P2 - 17/11 PF - 30/11 ii) \vec{B}(x,y) = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\hat{x} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\hat{y} = \hat{\theta} \text{CAMPO ROTACIONAL} OPERAÇÕES COM O NABLA : \text{Em coordenadas Cartesianas temos:} \vec{\nabla} = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) I) \text{O gradiente} \text{Recebe uma escalar e abstrato sem rotacao:} \vec{E} = -\vec{\nabla} V \text{V}(x_1,x_2,x_3) \vec{E} = \left(-\frac{\partial V}{\partial x}(x_1,x_2,x_3) , -\frac{\partial V}{\partial y}(x_1,x_2,x_3) , -\frac{\partial V}{\partial z}(x_1,x_2,x_3)\right) \text{Para o campo} \vec{E} = x \hat{x} + y \hat{y} : \text{V}(x_1,x_2,x_3) = -\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} + C II) \text{Divergente} \text{Recebe um vetor e abstrato sem escalar:} \text{Definimos o divergente de um campo vetorial como:} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x}(x_1,x_2,x_3) + \frac{\partial E_y}{\partial y}(x_1,x_2,x_3) + \frac{\partial E_z}{\partial z}(x_1,x_2,x_3) \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \left( \begin{array}{ccc} E_x(x_1,x_2,x_3) & E_y(x_1,x_2,x_3) & E_z(x_1,x_2,x_3) \end{array} \right) \text{No exemplo} \vec{E}(x,y) = x \hat{x} + y \hat{y} : \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 1 + 1 + 0 = 2 III) \text{Rotacional} \text{Definimos o rotacional de um campo vetorial como:} \vec{\nabla} \times \vec{E} = \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}, \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}, \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \text{Por exemplo:} ou ainda: \left( \begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} E_x & E_y & E_z \end{array} \right) = \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}, \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}, \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \text{No exemplo} \vec{E} = x \hat{x} + y \hat{y} : \vec{\nabla} \times \vec{E} = (0,0,0) = 0 , (\vec{E} \text{não é um campo rotacional}) \text{No exemplo:} \vec{B} = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\hat{x} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\hat{y} \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} = 0 ( \vec{B} \text{não é um campo divergente} ) \frac{\partial B_x}{\partial x} = -\frac{1}{(x^2 + y^2)^{3/2}} x y \frac{\partial B_y}{\partial y} = -\frac{1}{2(x^2 + y^2)^{3/2}}. \vec{\nabla} \times \vec{B} \neq 0 \text{ (logo tem carga)} \vec{B} \text{é um campo rotacional} PROPRIEDADES DO GRADIENTE: \overrightarrow{\nabla}(f + g) = \overrightarrow{\nabla}f + \overrightarrow{\nabla}g \overrightarrow{\nabla}(fg) = f\overrightarrow{\nabla}g + g\overrightarrow{\nabla}f \overrightarrow{\nabla}(\lambda f) = \lambda\overrightarrow{\nabla}f \ \ \lambda \in \mathbb{R} ou \vec{c} Exemplo: \left( x_1, x_2, x_3 \right) = x_1^2 \hat{i}_y - x_2^2 \hat{i}_z \overrightarrow{\nabla}f = \left( 1x_1, 0, x_2^2 - x_3 \right) PROPRIEDADES DO DIVERGENTE: \overrightarrow{\nabla} \cdot(\vec{E}+ \vec{B})= \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{E} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{B} \overrightarrow{\nabla} \cdot (f\vec{E}) = f\overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{E} + (\overrightarrow{\nabla}f) \cdot \vec{E} \ \ \ \{ \left( x_1, x_2, x_3 \right) \overrightarrow{\nabla} \cdot (\lambda \vec{E}) = \lambda \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{E} \ \ \ \lambda \in \mathbb{R} ou \vec{c} Exemplo: \quad \vec{E} = x^2 \hat{i}_x - xy \hat{i}_y + xyz \hat{i}_z \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{E} = 2x - z + xy = x(2+\frac{q}{c}) PROPRIEDADES DO ROTACIONAL: \overrightarrow{\nabla} \times (\vec{E} + \vec{B}) = \overrightarrow{\nabla} \times \vec{E} + \overrightarrow{\nabla} \times \vec{B} \overrightarrow{\nabla} \times (f\vec{E}) = f(\overrightarrow{\nabla} \times \vec{E}) + (\overrightarrow{\nabla}f) \times \vec{E} \overrightarrow{\nabla} \times (\lambda \vec{E}) = \lambda \overrightarrow{\nabla} \times \vec{E} \ \ \ \lambda \in \mathbb{R} ou \vec{c} Exemplo: \quad \vec{E} = 2xyz \hat{i}_x + xz \hat{i}_y + x^{2}u \hat{i}_z \overrightarrow{\nabla} \times \vec{E} = \left( x^{2} - x^{2} -(x^2)y - 2x^2), \ 2xz - 2x^3 \right) = 0 Rio, 12/09/2011. EQUAÇÕES DE MAXWELL E ONDAS ELETROMAGNÉTICAS Na sua forma integral: \oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} dA = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} \oint_C \vec{B} \cdot d \vec{r} = \mu_0 \left( I + \varepsilon_0 \frac{d \Phi_E}{dt} \right) \text{(\underline{Amperè - Maxwell})} \text{A união tem du na borda de uma região que é atravessada pela corrente I} \text{A união observa uma superfície cuja borda é a curva C.} Gaus: \oint_S \vec{B} \cdot \hat{n}dA = 0 \text{\underline{5}}\text{ tem o momento de medida quanto} \text{tem uma sessão do espaço.} \text{Fluxo magnético variável no tempo} \text{gera um campo elétrico.} \text{Superfície ( S )} (N \hat{o} S) Corrente de deslocamento: (\downarrow ) I_D = \varepsilon_0 \frac{d \Phi_E}{dt} \text{Tem dimensão de corrente?} Da eq. da divergência de E, \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} = \oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} dA \oint_C \vec{B} \cdot d \vec{r} = \mu_0 \left( I + \varepsilon_0 \frac{d \Phi_E}{dt} \right) Área Superior (S_a) \text{1ª Lei de Gauss} \Rightarrow \text{Teorema de Gauss} \Rightarrow \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} = \iiint_V (\overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{E}) dV = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_V Q_{int} dV 1. \ \ \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} Q_{int}, \text{Equação da divergência de } \vec{E} 2. \ \ \text{Analogamente,} 3. \ \ \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{B} = 0, \text{Equação da divergência de } \vec{B} \text{Forma Diferencial} 2º Teorema de Stokes Da Lei de Faraday, ∮c \vec{E}.d\vec{l}= - \dfrac{d}{dt} ∫∫s \vec{B}. \hat{n} dA \vec{E}. \hat{t}(G) \vec{B}. \hat{n}(G) * curva de borda * S(t (t1,t2,t3)) ∮c \vec{E}.d\vec{l}=∫∫s (\nabla x \vec{E}). \hat{n} dA = ∫∫s (\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}).\hat{n} dA (2) \nabla x \vec{E} = - \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} I = ∫∫ \vec{J}. \hat{n} dA Analogamente, (4) \nabla x \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \vec{J} = 0\left(\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) = J (\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}) Equações de Maxwell (na ausência de fontes) a fonte do \vec{E} (início, causa) e fonte do \vec{B} (ato e, apenas) \nabla . \vec{E} = 0 \rightarrow \vec{B} varia no tempo, logo \nabla x \vec{E} não \nabla x \vec{E} = - \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \rightarrow \vec{B} no S, é campo magnético (não varia c/ tempo) do ponto de uma campo elet. circular. Produto \nabla . \vec{B} = 0 \nabla x \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} (um após o outro) B \rightarrow \dfrac{\partial}{\partial t} \alpha \vec{E} e \vec{B} variam com o tempo \alpha \vec{E} varia, no tempo, \beta \vec{B} não. \alpha Âmp. Alternada de variação temporal