Fis4 Lista 4 Ufrj

01) Na figura abaixo, a fonte S1 está a uma distancia \( d \) do ponto P, que está no centro de uma esfera de raio \( r. \) A fonte S2 está na superfície da esfera. Ambas as fontes estão em fase e geram uma onda com comprimento de onda \( \lambda \) no vácuo. O meio 1 e 2 possuem respectivamente índices de refração \( n_1 \) e \( n_2 \) respectivamente. a) Qual é diferença de caminho ótico \( \Delta \) entre as duas fontes no ponto P? b) Qual é o comprimento de onda no meio 1? c) Calcule a diferença de fase \( \phi \) entre as ondas que chegam em P. d) Mostre que para haver interferência destrutiva, \( d, \ r, \ \lambda \ e \ n_1, \ n_2 \) se relacionam segundo a seguinte expressão: \[ n_1(d-r) = \lambda \left(m + \frac{1}{2}\right) \ \text{Com} \ m=0,1,2...\] e) Para as respostas dos itens anteriores, faz alguma diferença nos resultados se \( n_2 \ge n_2 \ ou \ n_1 \le n_2 \? f) Para as respostas dos itens anteriores, faz alguma diferença nos resultados se a fonte S2 está em qualquer outro ponto na superfície da esfera? 02) Esqueça agora a fonte S2 e leve em consideração as reflexões internas na esfera provenientes da fonte S1. Dado que o comprimento de onda no meio 1 é \( \lambda_1 = 800 \ nm. \) Qual é o menor comprimento do raio \( r \) para que ocorra interferência construtiva no ponto P se: a) \( n_1=1.3 \ e \ n_2=2.6 \) b) \( n_1=2.6 \ e \ n_2=1.3 \) A diferença entre as duas fontes é que a onda proveniente da primeira percorre \( (d-r) \) no meio 1. Portanto, a diferença de caminho ótico é \[\Delta = n_1 (d-r)\] b) \[\lambda_1 = \frac{\lambda}{n_1}\] c) Podemos obter a diferença de fase pela equação \( \frac{\phi}{2\pi} = \frac{\Delta}{\lambda}. \) Então: \[ \phi = 2\pi \frac{n_1(d-r)}{\lambda} = 2\pi \frac{(d-r)}{\lambda_1} \] Como não houve mudança de fase, para ocorrer interferência destrutiva \[ \phi = 2\pi \left(m + \frac{1}{2}\right) \ \text{com} \ m \in \mathbb{Z}. \ \text{Substituindo} \ \phi \ \text{obtido no item anterior temos}\] \[n_1(d-r) = \lambda \left(m + \frac{1}{2}\right) \] \[n_1 > n_2 \ ou \ n_1 < n_2 \ \text{só seria relevante se houvesse alguma reflexão, podendo ocorrer mudança de fase de} \ \pi \ \text{em alguma das ondas. Como houve apenas refrações, não.} \] \[\text{Não, pois o caminho ótico percorrido pela onda proveninte de S2 dentro da esfera é o mesmo que o da S1,} \ (n_2r).\] Quando a onda, proveniente de S1, reflete internamente na esfera e retorna ao ponto P, ela percorre uma distância de 2r no meio 2. Portanto, diferença de fase será \( \phi = 2 \pi \frac{n_2(2r)}{\lambda} = 2 \pi \frac{(2r)}{\lambda_2} \) Como \(\lambda_n = \frac{\lambda}{n} \) temos que \( n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2 \). Então \[ \lambda_2 = \lambda_1 \frac{n_1}{n_2} \] \[ n_2 > n_1, \) então a onda refletida \( \textit{não muda de fase}. \) Logo, para haver interferência contrutiva \( \phi = 2 \pi m \) com \( m \in \mathbb{Z}. \) Então \[ r = m \frac{\lambda_2}{2} \] Queremos o menor \( r \) então tomamos \( m = 1 \) e como \( \lambda_2 = 400nm, \) \[ r = 200nm\] \[ n_2 < n_1, \) então a onda refletida \( \textit{muda de fase}. \) Logo, para haver interferência contrutiva \( \phi = 2 \pi \left(m + \frac{1}{2}\right) \) com \( m \in \mathbb{Z}. \) Então \[ r = \left(m + \frac{1}{2}\right) \frac{\lambda_2}{2} \] Queremos o menor \( r \) então tomamos \( m = 0 \) e como \( \lambda_2 = 1600nm, \) \[ r = 400nm\]