Slide - Descontos - 2024-1

Matemática Financeira Descontos (Assaf) Prof. Werner Soares Valor Nominal É o Valor de Resgate (o valor definido para um título em sua data de vencimento). Desconto Diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento. Valor Descontado Desconto Simples Desconto Racional (por dentro): Incide no valor descontado (capital efetivamente liberado na operação) Desconto Simples Desconto Racional (por dentro): Como: Então: Desconto Simples Desconto Racional (por dentro): Familiar? Desconto Simples Desconto Racional (por dentro): Desconto Simples Desconto Racional (por dentro): Desconto Simples Desconto Bancário (ou comercial, ou por fora): Incide no valor nominal (valor de resgate). Ocorrem custos adicionais ao tomador de recursos. A modalidade de desconto "por fora" é amplamente adotada pelo mercado, notadamente em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo. Desconto Simples Desconto Bancário (ou comercial, ou por fora): Valor descontado por fora: Desconto Simples Desconto Bancário (ou comercial, ou por fora): Desconto Simples Desconto Bancário (ou comercial, ou por fora): Comparação: Desconto Simples Desconto Bancário (ou comercial, ou por fora): Desconto Simples Desconto Bancário (ou comercial, ou por fora): Desconto Simples Desconto Bancário (ou comercial, ou por fora): Desconto Simples Despesas Bancárias: “Em operações de desconto com bancos comerciais são geralmente cobradas taxas adicionais de desconto a pretexto de cobrir certas despesas administrativas e operacionais incorridas pela instituição financeira. Estas taxas são geralmente prefixadas e incidem sobre o valor nominal do título uma única vez no momento do desconto.” Desconto Simples Despesas Bancárias: V_F = N − D_F V_F = N − N (d × n + t) V_F = N [1 − (d . n + t)] Desconto Simples Despesas Bancárias: Uma duplicata de valor nominal de $ 60.000,00 é descontada num banco dois meses antes de seu vencimento. Sendo de 2,8% ao mês a taxa de desconto usada na operação, calcular o desconto e o valor descontado. Sabe-se ainda que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título, descontados integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa administrativa. Desconto D_F = N (d × n + t) D_F = 60.000,00 × (0,028 × 2 + 0,015) D_F = 60.000,00 × (0,071) D_F = $ 4.260,00 Observe que o desconto de $ 4.260,00 representa: Desconto (N × d × n) 60.000,00 × 0,028 × 2 = $ 3.360,00 Despesa Administrativa (N × t) 60.000,00 × 0,015 = 900,00 $ 4.260,00 Valor Descontado V_F = N [1 − (d × n + t)] V_F = 60.000,00 [1 − (0,028 × 2 + 0,015)] V_F = 60.000,00 [1 − 0,071] V_F = 60.000,00 × 0,929 V_F = $ 55.740,00 Desconto Simples Taxa implícita de juros do desconto “por fora”: Desconto Simples Despesas Bancárias: Logo, há uma taxa implícita de juros na operação, superior aos declarados 5% ao mês, que conduz VF e N a um mesmo resultado no período. Obtida pelo critério dos juros “por dentro”: taxa implícita de juro de 5,26% numa operação de desconto de 5% a.m. (d = 5%) pelo período de um mês. Desconto Simples Despesas Bancárias: À base de juros simples, esta taxa equivale a 5,56% ao mês, ou seja: Desconto Simples Despesas Bancárias: Cálculo direto: Essas taxas mensais são representativas do regime de juros simples. Para cálculos mais rigorosos é necessário adotar o regime de juros compostos. Taxa Efetiva: Desconto Simples Despesas Bancárias: Por exemplo, admita uma taxa de desconto (d) de 2,7% a.m. para uma operação de desconto de 35 dias. O custo efetivo para o período de 35 dias pela fórmula direta atinge: i = \frac{d \times n}{1 - d \times n} i = \frac{0,027 \times 35}{1 - \frac{0,027}{30} \times 35} = \frac{0,0315}{0,9685} ≃ 3,25% p/35 dias A partir deste custo efetivo para todo o período do desconto (35 dias), pode-se apurar o equivalente composto para outros intervalos de tempo: Taxa Efetiva Mensal: (\sqrt[35]{1,0325})^{30} - 1 = 2,78% a.m. Taxa Efetiva Anual: (\sqrt[35]{1,0325})^{360} - 1 = 38,95% a.a. e assim por diante. Desconto Simples Taxa efetiva de juros: A taxa efetiva de juros de um desconto "por fora" apurado à taxa d é definida pela aplicação do conceito de taxa interna de retorno. Em outras palavras, a taxa efetiva conceitualmente é aquela obtida pelo critério de capitalização composta. Desconto Simples Taxa efetiva de juros: Desconto Simples Apuração da taxa de desconto com base na taxa efetiva Desconto Simples Apuração da taxa de desconto com base na taxa efetiva Desconto Simples O prazo e a taxa efetiva nas operações de desconto "por fora" Dependendo do produto "taxa de desconto x prazo de desconto" a que se chega, pode-se concluir pela existência de um valor descontado negativo. os encargos financeiros (desconto) da operação são $2.400,00 maiores que o valor descontado ($32400,00). Desconto Simples O prazo e a taxa efetiva nas operações de desconto "por fora" Para que esse resultado absurdo não venha a ocorrer, é necessário que as condições de prazo e taxa de desconto sejam definidas da forma seguinte: Desconto Simples O prazo e a taxa efetiva nas operações de desconto "por fora" Para uma mesma taxa de desconto "por fora", quanto maior o prazo de desconto maior o custo efetivo da operação. Ilustrativamente, admita uma taxa de desconto "por fora" de 4o/o ao mês: ... Desconto Simples O prazo e a taxa efetiva nas operações de desconto "por fora" Desconto Simples Taxas de desconto decrescentes para prazos crescentes Diante dessas características comentadas de juros "por fora", é comum no mercado serem definidas taxas de desconto decrescentes de conformidade com a elevação dos prazos de desconto. Neste caso, a taxa efetiva da operação pode permanecer inalterada, variando somente a taxa de desconto "por fora". Desconto Simples Taxas de desconto decrescentes para prazos crescentes Fazer tabelas: a) Taxa de desconto por fora para prazos diferentes para uma mesma taxa efetiva mensal b) Taxa de Juros efetiva mensal para descontos por fora e prazos diferentes Desconto Simples Desconto para vários títulos É bastante adotado na prática, principalmente em operações com bancos comerciais, proceder-se de uma única vez ao desconto de vários títulos (com prazos e valores nominais geralmente diferentes). Uma maneira simples e bastante empregada na prática de solucionar essa questão é definir o prazo de antecipação dos títulos pelo seu valor médio ponderado. prazo médio ponderado de desconto dos títulos desconto taxa de juros racional valor descontado Desconto Simples Desconto para vários títulos é baseada no regime de juros simples (não é critério de capitalização de juros mais correto). O amplo uso desta metodologia, notadamente em banco comercial, é explicado pela simplicidade dos cálculos. Desconto Simples Desconto para vários títulos Ao adotar o regime de juros compostos para a obtenção da taxa efetiva desta operação, a solução passa necessariamente pela taxa interna de retorno (IRR) do fluxo de caixa: Desconto Composto Desconto composto "por fora" raramente empregado no Brasil, não apresentando uso prático O desconto composto "por fora" caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores. Desconto Composto Desconto composto "por fora" Desconto Composto Desconto composto "por fora" Desconto Composto Desconto composto "por fora" Desconto Composto Desconto composto "por dentro" Conforme comentado, o desconto composto "por dentro" (ou racional) é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos. Assim sendo, o valor descontado racional (Vr) equivale ao valor presente de juros compostos: o desconto racional (Dr) tem a seguinte expressão: Desconto Composto Desconto composto "por dentro" O valor do desconto racional Desconto Composto Desconto composto "por dentro" Desconto Composto Desconto composto "por dentro" Desconto Composto Desconto composto "por dentro"